Кривая кубической плоскости - Cubic plane curve

Подборка кубических кривых. Щелкните изображение, чтобы просмотреть подробную информацию на странице с информацией.

В математике , А кубическая кривая плоскость является плоским алгебраическим кривым С определяется кубическим уравнением

F ( х , у , z ) = 0

применяется к однородным координатам x : y : z для проективной плоскости ; или неоднородный вариант для аффинного пространства, определяемый положением z = 1 в таком уравнении. Здесь F - ненулевая линейная комбинация мономов третьей степени

x ³ , y ³ , z ³ , x ² y , x ² z , y ² x , y ² z , z ² x , z ² y , xyz .

Их десять; Поэтому кубические кривые образуют проективное пространство размерности 9, в отношении любого данного поля K . Каждая точка P накладывает один линейное условие на F , если мы спросим , что C проходит через P . Следовательно, мы можем найти некоторую кубическую кривую через любые девять заданных точек, которая может быть вырожденной и может быть не единственной, но будет единственной и невырожденной, если точки находятся в общем положении ; сравните с двумя точками, определяющими линию, и с тем, как пять точек определяют конус . Если две кубики проходят через данный набор из девяти точек, то на самом деле пучок кубик проходит, и точки удовлетворяют дополнительным свойствам; см. теорему Кэли – Бахараха .

Особая кубика y ² = x ² ⋅ ( x + 1) . Параметризация задается как t ↦ ( t ² - 1, t ⋅ ( t ² - 1)) .

Кубическая кривая может иметь особую точку , и в этом случае она имеет параметризацию в терминах проективной линии . В противном случае известно, что неособая кубическая кривая имеет девять точек перегиба над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа . Это можно показать, взяв однородную версию матрицы Гессе , которая снова определяет кубику, и пересекая ее с C ; пересечения затем подсчитываются по теореме Безу . Однако только три из этих точек могут быть реальными, так что остальные нельзя увидеть в реальной проективной плоскости, нарисовав кривую. Девять точек перегиба неособой кубики обладают тем свойством, что каждая прямая, проходящая через две из них, содержит ровно три точки перегиба.

Действительные точки кубических кривых изучал Исаак Ньютон . Вещественные точки неособой проективной кубики распадаются на один или два «овала». Один из этих овалов пересекает каждую действительную проективную прямую и, таким образом, никогда не ограничивается, когда кубика рисуется на евклидовой плоскости ; он выглядит как одна или три бесконечных ветви, содержащие три реальные точки перегиба. Другой овал, если он существует, не содержит реальной точки перегиба и выглядит либо как овал, либо как две бесконечные ветви. Как и в случае конических сечений , линия разрезает этот овал не более чем в двух точках.

Неособая плоская кубика определяет эллиптическую кривую над любым полем K, для которого определена точка. Эллиптические кривые теперь обычно изучаются в некотором варианте эллиптических функций Вейерштрасса , определяя квадратичное расширение поля рациональных функций, полученное путем извлечения квадратного корня из кубики. Это зависит от наличия K - рациональной точки , которая служит в качестве точки на бесконечности в форме Вейерштрасса. Есть много кубических кривых, у которых нет такой точки, например, когда K - поле рациональных чисел .

Особые точки неприводимой плоской кубической кривой весьма ограничены: одна двойная точка или один острие . Приводимая плоская кубическая кривая является либо коникой и линией, либо тремя линиями, и, соответственно, имеет две двойные точки или тактический узел (если коническая и прямая), или до трех двойных точек или единственная тройная точка ( параллельные линии ), если три строки.

Кубические кривые в плоскости треугольника

Предположим, что ABC - треугольник со сторонами a = | BC | , b = | CA | , c = | AB | . По сравнению с ABC , многие именованные кубики проходят через хорошо известные точки. В приведенных ниже примерах используются два вида однородных координат: трилинейные и барицентрические .

Чтобы преобразовать трилинейное уравнение в барицентрическое в кубическом уравнении, замените его следующим образом:

х ↦ bcx , y ↦ cay , z ↦ abz ;

чтобы преобразовать из барицентрического в трилинейный, используйте

x ↦ ax , y ↦ by , z ↦ cz .

Многие уравнения для кубиков имеют вид

f ( a , b , c , x , y , z ) + f ( b , c , a , y , z , x ) + f ( c , a , b , z , x , y ) = 0.

В приведенных ниже примерах такие уравнения записываются более кратко в «обозначении циклической суммы», например:

[циклическая сумма f ( x , y , z , a , b , c )] = 0.

Кубики, перечисленные ниже, могут быть определены в терминах изогонально сопряженной, обозначаемой X *, точки X не на боковой линии ABC . Далее следует конструкция X *. Пусть L _A будет отражением прямой XA относительно биссектрисы внутреннего угла угла A , и определим L _B и L _C аналогично. Тогда три отраженные линии совпадают в X *. В трилинейных координатах, если X = x : y : z , то X * = 1 / Икс : 1 / y : 1 / z .

Кубический Нойберг

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма (cos A - 2 cos B cos C ) x ( y ² - z ² )] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма ( a ² ( b ² + c ² ) + ( b ² - c ² ) ² - 2 a ⁴ ) x ( c ² y ² - b ² z ² )] = 0

Кубика Нойберга (названная в честь Джозефа Жана Батиста Нойберга ) - это геометрическое место точки X такой, что X * находится на прямой EX , где E - точка бесконечности Эйлера ( X (30) в Энциклопедии центров треугольников ). Кроме того, эта кубика является геометрическим местом X такого, что треугольник X _A X _B X _C является перспективным относительно ABC , где X _A X _B X _C - отражение X в прямых BC , CA , AB соответственно.

Кубика Нойберга проходит через следующие точки: центр окружности , центр описанной окружности , ортоцентр , обе точки Ферма , обе изодинамические точки , точка бесконечности Эйлера, центры других треугольников, эксцентрики, отражения A , B , C на сторонах ABC и вершины шести равносторонних треугольников, воздвигнутых по сторонам ABC .

Для графического представления и обширного списка свойств кубики Нойберга см. K001 в Кубике Берхарда Гиберта в плоскости треугольника .

Кубический Томсона

Пример кубики Томсона (черная кривая). Х на кубический, таким образом, что изогональный конъюгат X ( X ') находится на линии Х (2) - X .

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма bcx ( y ² - z ² )] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма x ( c ² y ² - b ² z ² )] = 0

Кубика Томсона - это геометрическое место точки X такой, что X * находится на прямой GX , где G - центроид.

Кубика Томсона проходит через следующие точки: центр тяжести, центр тяжести, центр описанной окружности, ортоцентр, симедиана, центры других треугольников, вершины A , B , C , эксцентрики, середины сторон BC , CA , AB и середины сторон треугольника. высоты ABC . Для каждой точки P на кубике, но не на боковой линии кубики, изогональное сопряжение P также находится на кубике.

Для графиков и свойств см K002 на Cubics в треугольнике плоскости .

Кубический Дарбу

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма (cos A - cos B cos C ) x ( y ² - z ² )] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма (2 a ² ( b ² + c ² ) + ( b ² - c ² ) ² - 3 a ⁴ ) x ( c ² y ² - b ² z ² )] = 0

Кубика Дарбу - это геометрическое место точки X такой, что X * находится на прямой LX , где L - точка де Лоншана . Кроме того, эта кубика является геометрическим местом X, таким что педальный треугольник X является чевиановым треугольником некоторой точки (лежащей на кубике Люка). Кроме того, эта кубика является геометрическим местом точки X такой, что педальный треугольник X и антицевианский треугольник X являются перспективными; перспектива лежит на кубике Томсона.

Кубика Дарбу проходит через центр окружности, центр описанной окружности, ортоцентр, точку де Лоншана, центры других треугольников, вершины A , B , C , эксцентрики и противоположности A , B , C на описанной окружности. Для каждой точки P на кубике, но не на боковой линии кубики, изогональное сопряжение P также находится на кубике.

Для графики и свойств см. K004 в кубиках в плоскости треугольника .

Наполеон-Фейербах кубическая

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма cos ( B - C ) x ( y ² - z ² )] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма ( a ² ( b ² + c ² ) - ( b ² - c ² ) ² ) x ( c ² y ² - b ² z ² )] = 0

Кубика Наполеона – Фейербаха - это геометрическое место точки X * на прямой NX , где N - центр из девяти точек ( N = X (5) в Энциклопедии центров треугольников ).

Кубика Наполеона-Фейербаха проходит через центр окружности, центр окружности, ортоцентр, 1-ю и 2-ю точки Наполеона, центры других треугольников, вершины A , B , C , эксцентрики, проекции центроида на высоты и центры шестиугольника. равносторонние треугольники возведены по сторонам ABC .

Для графики и свойств см. K005 at Cubics in the Triangle Plane .

Лукас кубический

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма (cos A ) x ( b ² y ² - c ² z ² )] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма ( b ² + c ² - a ² ) x ( y ² - z ² )] = 0

Кубика Лукаса - это геометрическое место точки X, такое что чевиан треугольник X является педальным треугольником некоторой точки; точка лежит на кубике Дарбу.

Кубика Лукаса проходит через центр тяжести, ортоцентр, точку Жергонна, точку Нагеля, точку де Лоншама, другие центры треугольников, вершины антикомплементарного треугольника и фокусы циркумеллипса Штейнера.

Для графики и свойств см. K007 в Кубике в плоскости треугольника .

1-й кубический Брокар

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма bc ( a ⁴ - b ² c ² ) x ( y ² + z ² ] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма ( a ⁴ - b ² c ² ) x ( c ² y ² + b ² z ² ] = 0

Пусть A ′ B ′ C ′ - 1-й треугольник Брокара. Для произвольной точки X пусть X _A , X _B , X _C - пересечения прямых XA ′, XB ′, XC ′ со сторонами BC , CA , AB соответственно. Первая кубика Брокара - геометрическое место X, для которого точки X _A , X _B , X _C коллинеарны.

Первая кубика Брокара проходит через центр тяжести, симедианную точку, точку Штейнера, центры других треугольников и вершины 1-го и 3-го треугольников Брокара.

Для графики и свойств см. K017 в Кубике в плоскости треугольника .

2-й кубический Брокар

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма bc ( b ² - c ² ) x ( y ² + z ² ] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма ( b ² - c ² ) x ( c ² y ² + b ² z ² ] = 0

Вторая кубика Брокара - геометрическое место точки X, для которой полюс прямой XX * в описанной конике, проходящей через X и X *, лежит на линии центра описанной окружности и симедианной точки (т. Е. Оси Брокара).

Вторая кубика Брокара проходит через центр тяжести, симедианную точку, обе точки Ферма, обе изодинамические точки, точку Парри, центры других треугольников и вершины 2-го и 4-го треугольников Брокара.

Для графики и свойств см. K018 в Кубике в плоскости треугольника .

1-й равновеликий кубический

Трехлинейное уравнение: [циклическая сумма a (b ² - c ² ) x ( y ² - z ² ] = 0

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма a ² ( b ² - c ² ) x ( c ² y ² - b ² z ² ] = 0

Первая равновеликая кубика - геометрическое место точки X, такая что площадь чевианского треугольника X равна площади чевианского треугольника X *. Кроме того, эта кубика является геометрическим местом X, для которого X * находится на прямой S * X , где S - точка Штейнера. ( S = X (99) в Энциклопедии центров треугольников ).

Первый равновеликий кубик проходит через центр, точку Штейнера, центры других треугольников, 1-ю и 2-ю точки Брокара и эксцентрики.

Для графики и свойств см. K021 в Кубике в плоскости треугольника .

2-й равновеликий кубический

Трехлинейное уравнение: ( bz + cx ) ( cx + ay ) ( ay + bz ) = ( bx + cy ) ( cy + ax ) ( az + bx )

Барицентрическое уравнение: [циклическая сумма a ( a ² - bc ) x ( c ³ y ² - b ³ z ² )] = 0

Для любой точки X = x : y : z (трилинейной) пусть X _Y = y : z : x и X _Z = z : x : y . На 2 - е равных площадей кубический представляет собой геометрическое место X таким образом, что площадь треугольника cevian X _Y равна площади треугольника cevian X _Z .

Второй равновеликий кубик проходит через центр, центр тяжести, симедианную точку и точки в Энциклопедии центров треугольников , обозначенные как X (31), X (105), X (238), X (292), X (365), X (672), X (1453), X (1931), X (2053) и другие.

Для графического дизайна и свойств см К155 на Cubics в треугольнике плоскости .

Смотрите также

Теорема Кэли – Бахараха о пересечении двух плоских кубических кривых
Скрученная кубика , кривая кубического пространства
Эллиптическая кривая
Ведьма Агнези

Languages

In other projects