Квазиалгебраически замкнутое поле - Quasi-algebraically closed field

В математике , А поле F называется квази-алгебраически замкнуто (или С 1 ) , если каждым непостоянным однородного многочленом Р над F имеет нетривиальный нуль при условии , что число переменных больше , чем его степень. Идея квазиалгебраически замкнутых полей была исследована Ч. К. Ценом , учеником Эмми Нётер , в статье 1936 года ( Tsen 1936 ); а затем Серж Ланг в его диссертации 1951 г. в Принстонском университете и в его статье 1952 г. ( Lang 1952 ). Сама идея приписывается советнику Ланга Эмилю Артину .

Формально, если P - непостоянный однородный многочлен от переменных

X 1 , ..., X N ,

и степени d удовлетворительно

d < N

тогда он имеет нетривиальный нуль над F ; то есть для некоторых x i в F , а не для всех 0, мы имеем

Р ( х 1 , ..., х N ) = 0.

В геометрическом языке, то гиперповерхность определяется Р , в проективном пространстве степени N - 2, то имеет точку над F .

Примеры

Свойства

  • Любое алгебраическое расширение квазиалгебраически замкнутого поля квазиалгебраически замкнуто.
  • Группа Брауэра конечного расширения квазиалгебраически замкнутого поля тривиальна.
  • Квазиалгебраически замкнутое поле имеет когомологическую размерность не более 1.

C k поля

Квазиалгебраически замкнутые поля также называются C 1 . С к поле , в более общем случае , один , для которого любой однородный многочлен степени г в N переменных имеет нетривиальный нуль, при условии ,

d k < N ,

для k ≥ 1. Условие было впервые введено и изучено Лангом. Если поле C i, то это конечное расширение. Поля C 0 - это в точности алгебраически замкнутые поля.

Ланг и Нагата доказали, что если поле C k , то любое расширение степени трансцендентности n является C k + n . Наималейшие к таким , что К является С к полю ( если такое числа не существует), называется размерность диофантового дд ( K ) из K .

C 1 поля

Каждое конечное поле - это C 1 .

C 2 поля

Свойства

Предположим, что поле k равно C 2 .

  • Любое тело D, конечное над k в качестве центра, обладает тем свойством, что приведенная норма D ∗ → k ∗ сюръективна.
  • Каждая квадратичная форма 5 или более переменных над к является изотропной .

Гипотеза Артина

Артин предположил, что p -адические поля были C 2 , но Гай Терджанян нашел p -адические контрпримеры для всех p . Теорема Акс-Кохена применяет методы теории моделей, чтобы показать, что гипотеза Артина верна для Q p с достаточно большим p (в зависимости от d ).

Слабо C k поля

Поле К является слабо С к , д , если для любого однородного многочлена степени г в N переменных , удовлетворяющих

d k < N

Зариский закрыт множество V ( ф ) из Р п ( К ) содержит подмногообразие , который является закрытым Зариский над K .

Поле, которое слабо C k , d для любого d , слабо C k .

Свойства

  • Поле AC k слабо C k .
  • Идеальный PAC слабо C к полю C к .
  • Поле К слабо С к , д тогда и только тогда , когда каждая форма , удовлетворяющая условиям имеет точку х , определенную над полем , которое является основным расширением из K .
  • Если поле слабо C k , то любое расширение степени трансцендентности n слабо C k + n .
  • Любое расширение алгебраически замкнутого поле является слабо С 1 .
  • Любое поле с проциклической абсолютной группой Галуа слабо С 1 .
  • Любое поле положительной характеристики является слабо C 2 .
  • Если поле рациональных чисел и функциональные поля слабо C 1 , то каждое поле слабо C 1 .

Смотрите также

Цитаты

Ссылки