Бессельский процесс - Bessel process

В математике , процесс Бесселя , названный в честь Фридриха Бесселя , является тип стохастического процесса .

Формальное определение

Три реализации бесселевых процессов.

Бесселевский процесс порядка n - это вещественнозначный процесс X, заданный формулой

где || · || обозначает евклидову норму в R n, а W - n- мерный винеровский процесс ( броуновское движение ). П - мерный процесс Бесселя является решением стохастического дифференциального уравнения

где Z представляет собой 1 - мерный винеровский процесс ( броуновское движение ). Обратите внимание, что это SDE имеет смысл для любого реального параметра (хотя дрейфовый член сингулярен в нуле).

Обозначение

Обозначение для процесса Бесселя размерности n, начинающегося с нуля, - BES 0 ( n ) .

В конкретных размерах

При n  ≥ 2 n- мерный винеровский процесс, начатый в начале координат, является переходным из своей начальной точки: с вероятностью единица , т. Е. X t  > 0 для всех t  > 0. Однако он является окрестностно-рекуррентным для n  = 2. это означает , что с вероятностью 1, для любого г  > 0, существует сколь угодно большой т с Й т  <  г ; с другой стороны, он действительно временный при n  > 2, что означает, что X t  ≥  r для всех достаточно больших t .

При n  ≤ 0 процесс Бесселя обычно начинается в точках, отличных от 0, поскольку дрейф к 0 настолько велик, что процесс застревает на 0, как только он достигает 0.

Связь с броуновским движением

0- и 2-мерные бесселевы процессы связаны с локальными временами броуновского движения через теоремы Рэя-Найта .

Закон броуновского движения вблизи x-экстремумов - это закон трехмерного бесселевского процесса (теорема Танаки).

Рекомендации

  • Эксендал, Бернт (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1.
  • Уильямс Д. (1979) Диффузии, марковские процессы и мартингалы, Том 1: Основы. Вайли. ISBN  0-471-99705-6 .