Автоморфный номер - Automorphic number

В математике , автоморфное число (иногда называют круговое числом ) представляет собой натуральное число в данной системе счисления , чей квадрат «концы» в тех же цифрах, само числа. ${\ displaystyle b}$

Определение и свойства

Принимая во внимании ряда базы , натуральное число с цифрами является автоморфным числом , если это фиксированная точка полинома функции над , то кольцом из целых чисел по модулю . В качестве обратного предела из IS , кольцо -адических чисел , автоморфный номер используется для нахождения числовых представлений неподвижных точек над . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / Ь ^ {к} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle b ^ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / Ь ^ {к} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {b}}$

Например, имеется четыре 10-адических фиксированных точки , последние 10 цифр которых являются одними из этих ${\ displaystyle b = 10}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$

${\ displaystyle \ ldots 0000000000}$

${\ displaystyle \ ldots 0000000001}$

${\ displaystyle \ ldots 8212890625}$(последовательность A018247 в OEIS )

${\ displaystyle \ ldots 1787109376}$(последовательность A018248 в OEIS )

Таким образом, автоморфные числа в базе 10 - это 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625 , 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (последовательность A003226 в OEIS ).

Неподвижная точка - это нуль функции . В кольце из целых чисел по модулю , есть нули , где основная функция омеги является числом различных простых факторов . Элемент в равен нулю тогда и только тогда или для всех . Поскольку есть два возможных значения в , и такие есть, есть нули и, следовательно, есть неподвижные точки . Согласно лемме Гензеля , если есть нули или неподвижные точки полиномиальной функции по модулю , то существуют соответствующие нули или неподвижные точки той же функции по модулю любой степени , и это остается верным в обратном пределе . Таким образом, в любой данной базе есть -адические неподвижные точки . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle г (х) = е (х) -x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (b)}}$${\ Displaystyle г (х) = х ^ {2} -x}$ ${\ displaystyle \ omega (b)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / б \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle г (х) = х ^ {2} -x}$ ${\ Displaystyle х \ эквив 0 {\ bmod {p}} ^ {v_ {p} (b)}}$${\ Displaystyle х \ эквив 1 {\ bmod {p}} ^ {v_ {p} (b)}}$${\ displaystyle p | b}$${\ Displaystyle \ lbrace 0,1 \ rbrace}$${\ displaystyle \ omega (b)}$${\ displaystyle p | b}$${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (b)}}$${\ Displaystyle г (х) = х ^ {2} -x}$${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (b)}}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (b)}}$ ${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$

Поскольку 0 всегда является делителем нуля , 0 и 1 всегда являются неподвижными точками , а 0 и 1 являются автоморфными числами в каждой базе. Эти решения называются тривиальными автоморфными числами . Если - степень простого числа , то кольцо -адических чисел не имеет делителей нуля, кроме 0, поэтому единственными неподвижными точками являются 0 и 1. В результате нетривиальные автоморфные числа , отличные от 0 и 1, существуют только тогда, когда база имеет по крайней мере два различных простых фактора. ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle b}$

Автоморфные числа в базе b

Все -адические числа представлены в базе с использованием A-Z для представления цифровых значений от 10 до 35. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle b}$	Основные факторы ${\ displaystyle b}$	Неподвижные точки в из${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / б \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$	${\ displaystyle b}$-адические неподвижные точки ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$	Автоморфные числа в базе ${\ displaystyle b}$
6	2, 3	0, 1, 3, 4	${\ displaystyle \ ldots 0000000000}$ ${\ displaystyle \ ldots 0000000001}$ ${\ displaystyle \ ldots 2221350213}$ ${\ displaystyle \ ldots 3334205344}$	0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 2221350213, 3334205344, ...
10	2, 5	0, 1, 5, 6	${\ displaystyle \ ldots 0000000000}$ ${\ displaystyle \ ldots 0000000001}$ ${\ displaystyle \ ldots 8212890625}$ ${\ displaystyle \ ldots 1787109376}$	0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, ...
12	2, 3	0, 1, 4, 9	${\ displaystyle \ ldots 0000000000}$ ${\ displaystyle \ ldots 0000000001}$ ${\ displaystyle \ ldots 21 {\ text {B}} 61 {\ text {B}} 3854}$ ${\ displaystyle \ ldots 9 {\ text {A}} 05 {\ text {A}} 08369}$	0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9A05A08369, ...
14	2, 7	0, 1, 7, 8	${\ displaystyle \ ldots 0000000000}$ ${\ displaystyle \ ldots 0000000001}$ ${\ displaystyle \ ldots 7337 {\ text {A}} {\ text {A}} 0 {\ text {C}} 37}$ ${\ displaystyle \ ldots 6 {\ text {A}} {\ text {A}} 633 {\ text {D}} 1 {\ text {A}} 8}$	0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 6AA033D
15	3, 5	0, 1, 6, 10	${\ displaystyle \ ldots 0000000000}$ ${\ displaystyle \ ldots 0000000001}$ ${\ displaystyle \ ldots 624 {\ text {D}} 4 {\ text {B}} {\ text {D}} {\ text {A}} 86}$ ${\ displaystyle \ ldots 8 {\ text {C}} {\ text {A}} 1 {\ text {A}} 3146 {\ text {A}}}$	0, 1, 6, A, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D4BDA86, 8CA6A3 ...
18	2, 3	0, 1, 9, 10	... 000000 ... 000001 ... 4E1249 ... D3GFDA
20	2, 5	0, 1, 5, 16	... 000000 ... 000001 ... 1AB6B5 ... I98D8G
21 год	3, 7	0, 1, 7, 15	... 000000 ... 000001 ... 86H7G7 ... CE3D4F
22	2, 11	0, 1, 11, 12	... 000000 ... 000001 ... 8D185B ... D8KDGC
24	2, 3	0, 1, 9, 16	... 000000 ... 000001 ... E4D0L9 ... 9JAN2G
26 год	2, 13	0, 1, 13, 14	... 0000 ... 0001 ... 1G6D ... O9JE
28 год	2, 7	0, 1, 8, 21	... 0000 ... 0001 ... AAQ8 ... HH1L
30	2, 3, 5	0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25	... 0000 ... 0001 ... B2J6 ... H13A ... 1Q7F ... S3MG ... CSQL ... IRAP
33	3, 11	0, 1, 12, 22	... 0000 ... 0001 ... 1 тыс. ... VC7C
34	2, 17	0, 1, 17, 18	... 0000 ... 0001 ... 248ч ... VTPI
35 год	5, 7	0, 1, 15, 21	... 0000 ... 0001 ... 5MXL ... TC1F
36	2, 3	0, 1, 9, 28	... 0000 ... 0001 ... DN29 ... MCXS

Расширения

Автоморфные числа могут быть расширены до любой такой полиномиальной функции степени с b-адическими коэффициентами . Эти обобщенные автоморфные числа образуют дерево . ${\ displaystyle n}$ ${\ textstyle f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}}$

а -автоморфные числа

- автоморфное число возникает , когда полиномиальная функция является${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle е (х) = топор ^ {2}}$

Например, с и , поскольку есть две неподвижные точки для in ( и ), согласно лемме Гензеля существуют две 10-адические неподвижные точки для , ${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle a = 2}$${\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 10 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = 8}$${\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2}}$

${\ displaystyle \ ldots 0000000000}$

${\ displaystyle \ ldots 0893554688}$

поэтому 2-автоморфные числа в базе 10 - это 0, 8, 88, 688, 4688 ...

Триморфные числа

Триморфное число или сферическое число происходит тогда , когда многочлен функция . Все автоморфные номера триморфны. Термины круговой и сферический раньше использовались для немного другого случая числа, все степени которого имеют ту же последнюю цифру, что и само число. ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {3}}$

Для базы триморфные числа: ${\ displaystyle b = 10}$

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (последовательность A033819 в OEIS )

Для базы триморфные числа: ${\ displaystyle b = 12}$

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB, ...

Пример программирования

def hensels_lemma(polynomial_function, base: int, power: int):
    """Hensel's lemma."""
    if power == 0:
        return [0]
    if power > 0:
        roots = hensels_lemma(polynomial_function, base, power - 1)
    new_roots = []
    for root in roots:
        for i in range(0, base):
            new_i = i * base ** (power - 1) + root
            new_root = polynomial_function(new_i) % pow(base, power)
            if new_root == 0:
                new_roots.append(new_i)
    return new_roots

base = 10
digits = 10

def automorphic_polynomial(x):
    return x ** 2 - x

for i in range(1, digits + 1):
    print(hensels_lemma(automorphic_polynomial, base, i))

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Число Капрекара
• P-адическое число
• П-адический анализ
• Делитель нуля

использованная литература

• примеры 1-автоморфных чисел в PlanetMath .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Автоморфное число» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Триморфное число» . MathWorld .