Последовательность аликвот - Aliquot sequence

Нерешенная задача по математике :

Все ли аликвотные последовательности в конечном итоге заканчиваются простым числом, идеальным числом или набором дружественных или общительных чисел? (Гипотеза Каталонской аликвотной последовательности)

(больше нерешенных задач по математике)

В математике , последовательность Аликвоту представляет собой последовательность неотрицательных целых чисел , в которой каждый член является суммой делителей предыдущего срока. Если последовательность достигает числа 0, она заканчивается, поскольку 0 имеет бесконечно много делителей.

Определение и обзор

Последовательность аликвот , начинающаяся с положительного целого числа k, может быть определена формально в терминах функции суммы делителей σ 1 или функции суммы аликвот s следующим образом:

s 0 = k
s n = s ( s n −1 ) = σ 1 ( s n −1 ) - s n −1, если s n −1 > 0
s n = 0, если s n −1 = 0 ---> (если мы добавим это условие, тогда все члены после 0 будут 0, и все аликвотные последовательности будут бесконечной последовательностью, и мы можем предположить, что все аликвотные последовательности сходятся , предел этих последовательностей обычно равен 0 или 6)

и s (0) не определено.

Например, аликвотная последовательность 10 равна 10, 8, 7, 1, 0, потому что:

σ 1 (10) - 10 = 5 + 2 + 1 = 8,
σ 1 (8) - 8 = 4 + 2 + 1 = 7,
σ 1 (7) - 7 = 1,
σ 1 (1) - 1 = 0.

Многие аликвотные последовательности заканчиваются на 0, все такие последовательности обязательно заканчиваются простым числом, за которым следует 1 (поскольку единственный правильный делитель простого числа - 1), за которым следует 0 (поскольку 1 не имеет собственных делителей). См. (Последовательность A080907 в OEIS ) для списка таких чисел до 75. Существует множество способов, которыми аликвотная последовательность может не завершаться:

  • Совершенное число имеет повторяющуюся последовательность аликвоты периода 1. аликвоты последовательность 6, например, 6, 6, 6, 6, ...
  • У дружественного числа есть повторяющаяся аликвотная последовательность периода 2. Например, аликвотная последовательность 220 - это 220, 284, 220, 284, ...
  • Общительный номер имеет повторяющуюся последовательность Аликвоты периода 3 или выше. (Иногда термин « общительный номер» также используется для обозначения дружеских чисел.) Например, аликвотная последовательность 1264460 - это 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...
  • Некоторые числа имеют аликвотную последовательность, которая в конечном итоге является периодической, но само число не является идеальным, дружелюбным или общительным. Например, аликвотная последовательность 95 равна 95, 25, 6, 6, 6, 6, .... Такие числа, как 95, которые не идеальны, но имеют в конечном итоге повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1, называются стремящимися числами .
п Аликвотная последовательность n длина ( OEIS :  A098007 ) п Аликвотная последовательность n длина ( OEIS :  A098007 ) п Аликвотная последовательность n длина ( OEIS :  A098007 ) п Аликвотная последовательность n длина ( OEIS :  A098007 )
0 0 1 12 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8 24 24, 36, 55, 17, 1, 0 6 36 36, 55, 17, 1, 0 5
1 1, 0 2 13 13, 1, 0 3 25 25, 6 2 37 37, 1, 0 3
2 2, 1, 0 3 14 14, 10, 8, 7, 1, 0 6 26 год 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8 38 38, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 8
3 3, 1, 0 3 15 15, 9, 4, 3, 1, 0 6 27 27, 13, 1, 0 4 39 39, 17, 1, 0 4
4 4, 3, 1, 0 4 16 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 7 28 год 28 год 1 40 40, 50, 43, 1, 0 5
5 5, 1, 0 3 17 17, 1, 0 3 29 29, 1, 0 3 41 год 41, 1, 0 3
6 6 1 18 18, 21, 11, 1, 0 5 30 30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 16 42 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 15
7 7, 1, 0 3 19 19, 1, 0 3 31 год 31, 1, 0 3 43 год 43, 1, 0 3
8 8, 7, 1, 0 4 20 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 8 32 32, 31, 1, 0 4 44 год 44, 40, 50, 43, 1, 0 6
9 9, 4, 3, 1, 0 5 21 год 21, 11, 1, 0 4 33 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 7 45 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8
10 10, 8, 7, 1, 0 5 22 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 7 34 34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 9 46 46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 9
11 11, 1, 0 3 23 23, 1, 0 3 35 год 35, 13, 1, 0 4 47 47, 1, 0 3

Длины аликвотных последовательностей, которые начинаются с n, равны

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (последовательность A044050 в OEIS )

Конечные члены (исключая 1) аликвотных последовательностей, которые начинаются с n, равны

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (последовательность A115350 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых оканчивается на 1:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A080907 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых, как известно, заканчивается совершенным числом , кроме самих совершенных чисел (6, 28, 496, ...), являются

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (последовательность A063769 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых заканчивается циклом длиной не менее 2, являются

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ... ( последовательность A121507 в OEIS )

Числа, аликвотная последовательность которых неизвестна как конечная или в конечном итоге периодическая, называются

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (последовательность A131884 в OEIS )

Число, которое никогда не является преемником в аликвотной последовательности, называется неприкосновенным числом .

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262, 268, 276 , 288 , 290 , 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS )

Гипотеза Каталана – Диксона

Важное предположение из - за каталонский , иногда называют Catalan- Dickson предположения, что каждая последовательность аликвоты заканчивается в одном из вышеуказанных способов: с простым числом, совершенным числом, или набором дружных или общительных чисел. Альтернативой может быть то, что существует число, аликвотная последовательность которого бесконечна, но никогда не повторяется. Таким числом может быть любое из множества чисел, чьи аликвотные последовательности не были полностью определены. Первые пять чисел-кандидатов часто называют пятеркой Лемера (названной в честь Д.Х. Лемера ): 276 , 552, 564, 660 и 966. Однако стоит отметить, что 276 может достигнуть высокой вершины в своей аликвотной последовательности, а затем спуститься; число 138 достигает пика 179931895322, прежде чем вернуться к 1.

Гай и Селфридж полагают, что гипотеза Каталана – Диксона неверна (поэтому они предполагают, что некоторые аликвотные последовательности неограничены сверху (т. Е. Расходятся)).

По состоянию на апрель 2015 года насчитывалось 898 положительных целых чисел менее 100000, аликвотные последовательности которых не были полностью определены, и 9190 таких целых чисел менее 1000000.

Систематический поиск аликвотных последовательностей

Последовательность Аликвоту может быть представлена в виде ориентированного графа , для заданного целого числа , где обозначает сумму собственных делителей . Циклы в представляют общительные числа в пределах интервала . Двумя частными случаями являются циклы, представляющие совершенные числа, и циклы длины два, представляющие дружественные пары .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки