Теорема Винера – Леви - Wiener–Lévy theorem

Теорема Винера – Леви - это теорема анализа Фурье , которая утверждает, что функция абсолютно сходящегося ряда Фурье имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье при некоторых условиях. Теорема была названа в честь Норберта Винера и Поля Леви .

Норберт Винер первым доказал 1 / f теорему Винера , см . Теорему Винера . Он утверждает, что если $f$ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равен нулю, то его обратный $1 / f$ также имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье.

Теорема Винера – Леви

Пол Леви обобщил результат Винера, показав, что

Пусть - абсолютно сходящийся ряд Фурье с ${\ Displaystyle F (\ theta) = \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {k} e ^ {ik \ theta}, \ quad \ theta \ in [0,2 \ pi ]}$

{\ displaystyle \ | F \ | = \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {k} | <\ infty.}

Значения лежат на кривой и является аналитической (не обязательно однозначной) функцией комплексной переменной, которая регулярна в каждой точке . Тогда имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. ${\ Displaystyle F (\ theta)}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle H (t)}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle Н [F (\ theta)]}$

Доказательство можно найти в классической книге Зигмунда « Тригонометрические ряды» .

Пример

Пусть и ) - характеристическая функция дискретного распределения вероятностей. Таков абсолютно сходящийся ряд Фурье. Если не имеет нулей, то имеем ${\ Displaystyle Н (\ тета) = \ пер (\ тета)}$ ${\ Displaystyle F (\ theta) = \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {\ infty} p_ {k} e ^ {ik \ theta}, (\ sum \ limits _ {k = 0} ^ {\ infty} p_ {k} = 1}$ ${\ Displaystyle F (\ theta)}$ ${\ Displaystyle F (\ theta)}$

{\ Displaystyle H [F (\ theta)] = \ ln \ left (\ sum \ limits _ {k = 0} ^ {\ infty} p_ {k} e ^ {ik \ theta} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} e ^ {ik \ theta},}

куда ${\ displaystyle \ | H \ | = \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {\ infty} | c_ {k} | <\ infty.}$

Статистическое применение этого примера можно найти в дискретном псевдосложном распределении Пуассона и модели с нулевым надуванием .

If a discrete r.v.  $X$  with  $\Pr(X=i)=P_{i}$ ,  $i\in \mathbb {N}$ , has the probability generating function of the form

{\ displaystyle P (z) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P_ {i} z ^ {i} = \ exp \ left \ {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {i} \ lambda (z ^ {i} -1) \ right \}, z = e ^ {ik \ theta}}

где , , , и . Тогда говорят, что имеет дискретное псевдосложное распределение Пуассона, сокращенно DPCP. ${\ Displaystyle \ сумма \ пределы _ {я = 1} ^ {\ infty} \ альфа _ {я} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | \ alpha _ {i} \ right | <\ infty}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lambda> 0}$ ${\ displaystyle X}$