Неравенство Вайтценбека - Weitzenböck's inequality

Согласно неравенству Вайтценбека, площадь этого треугольника не больше ( a ² + b ² + c ² ) ⁄ 4√3.

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ text {все внутренние углы}} <120 ^ {\ circ}: \\ & {\ text {серая область}} = 3 \ Delta \ leq \ Delta _ {a} + \ Delta _ {b} + \ Delta _ {c} \ end {align}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ text {один внутренний угол}} \ geq 120 ^ {\ circ}: \\ & {\ text {серая область}} = 3 \ Delta \ leq \ Delta _ {c } <\ Delta _ {a} + \ Delta _ {b} + \ Delta _ {c} \ end {align}}}$

В математике , неравенство Вейценбёка , названный в честь Ролана Вейценбока , утверждает , что для треугольника с длинами сторон , , , и область , имеет место следующее неравенство: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq 4 {\ sqrt {3}} \, \ Delta.}$

Равенство происходит тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. Неравенство Педо является обобщением неравенства Вайтценбека. Неравенство Хадвигер-финслерово является усиленным вариантом неравенства Вейценбёки.

Геометрическая интерпретация и доказательство

Переписав указанное выше неравенство, можно получить более конкретную геометрическую интерпретацию, которая, в свою очередь, дает немедленное доказательство.

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2} + {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} b ^ {2} + {\ frac {\ sqrt { 3}} {4}} c ^ {2} \ geq 3 \, \ Delta.}$

Теперь слагаемые в левой части - это площади равносторонних треугольников, возведенных над сторонами исходного треугольника, и, следовательно, неравенство утверждает, что сумма площадей равносторонних треугольников всегда больше или равна троекратной площади исходного треугольника.

${\ displaystyle \ Delta _ {a} + \ Delta _ {b} + \ Delta _ {c} \ geq 3 \, \ Delta.}$

Теперь это можно показать, повторив площадь треугольника три раза внутри равносторонних треугольников. Чтобы добиться этого, используется точка Ферма, чтобы разделить треугольник на три тупых подтреугольника с углом, и каждый из этих подтреугольников трижды повторяется внутри равностороннего треугольника рядом с ним. Это работает, только если каждый угол треугольника меньше , так как в противном случае точка Ферма не находится внутри треугольника и вместо этого становится вершиной. Однако, если один угол больше или равен , можно трижды воспроизвести весь треугольник в пределах самого большого равностороннего треугольника, так что сумма площадей всех равносторонних треугольников в любом случае останется больше, чем троекратная площадь треугольника. ${\ displaystyle 120 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 120 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 120 ^ {\ circ}}$

Дальнейшие доказательства

Доказательство этого неравенства было поставлено под вопрос на Международной математической олимпиаде 1961 года. Тем не менее, результат не так уж сложно получить, используя формулу Герона для площади треугольника:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta & {} = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (b + ca) (c + ab )}} \\ [4pt] & {} = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}. \ end {выравнивается}}}$

Первый способ

Можно показать, что площадь внутреннего треугольника Наполеона , которая должна быть неотрицательной, равна

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {24}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} -4 {\ sqrt {3}} \ Delta),}$

поэтому выражение в скобках должно быть больше или равно 0.

Второй способ

Этот метод предполагает отсутствие знаний о неравенствах, за исключением того, что все квадраты неотрицательны.

${\ displaystyle {\ begin {align} {} & (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} + (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} + (c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} \ geq 0 \\ [5pt] {} \ iff & 2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4}) - 2 ( a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) \ geq 0 \\ [5pt] {} \ iff & {\ frac { 4 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})} {3}} \ geq {\ frac {4 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2})} {3}} \\ [5pt] {} \ iff & {\ frac {(a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4}) + 2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2})} {3}} \ geq 2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4 }) \\ [5pt] {} \ iff & {\ frac {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2}} {3}} \ geq (4 \ Delta ) ^ {2}, \ end {выровнено}}}$

и результат немедленно следует из положительного квадратного корня из обеих частей. Из первого неравенства мы также можем видеть, что равенство имеет место только тогда, когда и треугольник является равносторонним. ${\ displaystyle a = b = c}$

Третий способ

Это доказательство предполагает знание неравенства AM – GM .

${\ displaystyle {\ begin {align} && (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} & \ geq && 0 \\\ Rightarrow && 2a ^ {2} + 2b ^ { 2} + 2c ^ {2} & \ geq && 2ab + 2bc + 2ac \\\ iff && 3 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) & \ geq && (a + b + c ) ^ {2} \\\ iff && a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & \ geq && {\ sqrt {3 (a + b + c) \ left ({\ frac {a + b + c} {3}} \ right) ^ {3}}} \\\ Rightarrow && a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & \ geq && {\ sqrt {3 (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}} \\\ iff && a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & \ geq && 4 {\ sqrt {3}} \ Delta. \ end {align}}}$

Поскольку мы использовали неравенство среднего арифметико-геометрического, равенство имеет место только тогда, когда треугольник является равносторонним. ${\ displaystyle a = b = c}$

Четвертый способ

Написать поэтому сумма и ИЭ . Но так . ${\ Displaystyle х = \ детская кроватка А, с = \ детская кроватка А + \ детская кроватка В> 0}$${\ Displaystyle S = \ детская кроватка A + \ детская кроватка B + \ детская кроватка C = c + {\ frac {1-x (cx)} {c}}}$${\ displaystyle cS = c ^ {2} -xc + x ^ {2} + 1 = \ left (x - {\ frac {c} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {c {\ sqrt {3}}} {2}} - 1 \ right) ^ {2} + c {\ sqrt {3}} \ geq c {\ sqrt {3}}}$${\ Displaystyle S \ geq {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle \ cot A = {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {4 \ Delta}}}$${\ displaystyle S = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {4 \ Delta}}}$

Смотрите также

• Список неравенств треугольника
• Изопериметрическое неравенство
• Неравенство Хадвигера – Финслера

Заметки

Ссылки и дополнительная литература

• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств . MAA, 2009, ISBN   9780883853429 , стр. 84-86
• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: геометрические доказательства неравенств Вайтценбека и Хадвигера – Финслера . Математический журнал, Vol. 81, No. 3 (июнь 2008 г.), стр. 216–219 ( JSTOR )
• Д.М. Батинету-Джурджу, Никусор Минкулет, Невулай Станчу: Некоторые геометрические неравенства типа Ионеску-Вайцеббёка . Международный журнал геометрии, Vol. 2 (2013), № 1, апрель
• Д.М. Батинету-Джурджу, Невулай Станчу: Неравенство Ионеску - Вайтценбёк . MateInfo.ro, апрель 2013 г., ( онлайн-копия )
• Даниэль Педоу : О некоторых геометрических неравенствах . The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 ​​(декабрь 1942 г.), стр. 202-208 ( JSTOR )
• Роланд Вайтценбёк : Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie . Mathematische Zeitschrift, Volume 5, 1919, pp. 137-146 ( онлайн-копия в Göttinger Digitalisierungszentrum )
• Драгутин Свртан, Дарко Вельян: Неевклидовы версии некоторых классических треугольных неравенств . Forum Geometricorum, Volume 12, 2012, pp. 197–209 ( онлайн-копия )
• Михай Бенче, Никусор Минкулет, Овидиу Т. Поп: Новые неравенства для треугольника . Математический журнал Octogon, Vol. 17, № 1, апрель 2009 г., стр. 70-89 ( электронная копия )

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Вайтценбека» . MathWorld .
• « Неравенство Вайтценбека» , интерактивная демонстрация Джея Варендорфа - Демонстрационный проект Вольфрама .