Vorlesungen über Zahlentheorie -Vorlesungen über Zahlentheorie

Vorlesungen über Zahlentheorie (немецкий язык для лекций по теории чисел ) - это название нескольких различных учебников теории чисел . Самый известный из них был написан Питером Густавом Леженом Дирихле и Ричардом Дедекиндом и опубликован в 1863 году. Другие были написаны Леопольдом Кронекером , Эдмундом Ландау и Гельмутом Хассе . Все они охватывают элементарную теорию чисел, теорему Дирихле, квадратичные поля и формы, а иногда и более сложные темы.

Книга Дирихле и Дедекинда

Основанные на курсе теории чисел Дирихле в Геттингенском университете , Vorlesungen были отредактированы Дедекиндом и опубликованы после смерти Лежена Дирихле. Дедекинд добавил несколько приложений к Vorlesungen , в которых он собрал дальнейшие результаты Лежена Дирихле, а также развил свои собственные оригинальные математические идеи.

Объем

Vorlesungen охватывают темы в элементарной теории чисел, теории алгебраических чисел и аналитической теории чисел , включая модульную арифметику , квадратичные сравнения, квадратичную взаимность и бинарные квадратичные формы .

Содержание

Содержание перевода Vorlesungen, сделанного профессором Джоном Стиллвеллом в 1999 г. , выглядит следующим образом.

Глава 1. О делимости чисел.

Глава 2. О конгруэнтности чисел.

Глава 3. О квадратичных вычетах.

Глава 4. О квадратичных формах.

Глава 5. Определение числа классов двоичных квадратичных форм.

Приложение I. Некоторые теоремы из теории деления окружности Гаусса.

Дополнение II. О предельном значении бесконечного ряда

Дополнение III. Геометрическая теорема

Дополнение IV. Роды квадратичных форм

Приложение V. Остаточные мощности для композитных модулей

Дополнение VI. Простые числа в арифметических прогрессиях

Дополнение VII. Некоторые теоремы из теории деления окружности

Дополнение VIII. Об уравнении Пелла

Дополнение IX. Сходимость и непрерывность некоторого бесконечного ряда

Этот перевод не включает Приложения X и XI Дедекинда, в которых он начинает развивать теорию идеалов .

Немецкие названия приложений X и XI:

Приложение X: Über die Composition der binären quadratische Formen (О композиции бинарных квадратичных форм)

Приложение XI: Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (К теории целых алгебраических чисел)

Главы с 1 по 4 охватывают ту же тему, что и « Disquisitiones Arithmeticae» Гаусса , а Дедекинд добавил сноски, в которых специально сделаны перекрестные ссылки на соответствующие разделы Disquisitiones . Эти главы можно рассматривать как резюме существующих знаний, хотя Дирихле упрощает изложение Гаусса и в некоторых местах вводит свои собственные доказательства.

Глава 5 содержит вывод Дирихле формулы числа классов для действительных и мнимых квадратичных полей . Хотя другие математики предположили аналогичные формулы, Дирихле дал первое строгое доказательство.

Приложение VI содержит доказательство Дирихле, что арифметическая прогрессия вида a + nd, где a и d взаимно просты, содержит бесконечное число простых чисел.

Важность

Vorlesungen можно рассматривать как водораздел между классической теории чисел Ферма , Якоби и Гаусса и современной теории чисел дедекиндовым, Римана и Гильберта . Дирихле не признает явным образом концепцию группы, которая является центральной для современной алгебры , но многие из его доказательств показывают неявное понимание теории групп.

Vorlesungen содержит два ключевых результатов в теории чисел , которые были впервые доказаны Дирихлем. Первая из них - это формулы числа классов для двоичных квадратичных форм. Второй - это доказательство того, что арифметические прогрессии содержат бесконечное число простых чисел (известное как теорема Дирихле ); это доказательство вводит L-ряд Дирихле . Эти результаты являются важными вехами в развитии аналитической теории чисел.

Книга Кронекера

Книга Леопольда Кронекера была впервые опубликована в 1901 году в двух частях и переиздана Спрингером в 1978 году. Она охватывает элементарную и алгебраическую теорию чисел, включая теорему Дирихле.

Книга Ландау

Книга Эдмунда Ландау Vorlesungen über Zahlentheorie была впервые опубликована в виде трехтомного набора в 1927 году. Первая половина тома 1 была опубликована как Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie в 1950 году, с английским переводом в 1958 году под заголовком « Элементарная теория чисел» . В 1969 году «Челси» переиздал вторую половину тома 1 вместе с томами 2 и 3 как единый том.

Том 1 по элементарной и аддитивной теории чисел включает такие темы, как теорема Дирихле, решето Бруна, бинарные квадратичные формы, гипотеза Гольдбаха, проблема Варинга и работы Харди – Литтлвуда по сингулярным рядам. Том 2 охватывает темы аналитической теории чисел, такие как оценки ошибки в теореме о простых числах, и темы геометрической теории чисел, такие как оценка числа точек решетки. Том 3 посвящен алгебраической теории чисел, включая теорию идеалов, поля квадратичных чисел и приложения к последней теореме Ферма. Многие результаты, описанные Ландау, были в то время современными, но с тех пор их заменили более сильные результаты.

Книга Хассе

Книга Гельмута Хассе « Vorlesungen über Zahlentheorie» была опубликована в 1950 году и отличается от его книги « Zahlentheorie» и является более элементарной . Он охватывает элементарную теорию чисел, теорему Дирихле и квадратичные поля.

Ссылки

• PG Lejeune Dirichlet, R. Dedekind tr. Джон Стиллвелл: Лекции по теории чисел , Американское математическое общество, 1999 ISBN  0-8218-2017-6 В Göttinger Digitalisierungszentrum есть отсканированная копия текста 2-го издания (на немецком языке), опубликованного в 1871 г., содержащего приложения I – X. Приложение XI можно найти в третьем томе полного собрания сочинений Дедекинда также в Göttinger Digitalisierungszentrum . 4-е издание 1894 года, которое содержит все приложения, включая XI Дедекинда, доступно в Интернет-архиве .
• Хассе, Гельмут (1950), Vorlesungen über Zahlentheorie , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, LIX , Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-88679-9, Руководство по ремонту  0051844
• Кронекер, Леопольд (1978) [1901], Vorlesungen über Zahlentheorie , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08277-8, Руководство по ремонту  0529431
• Ландау, Эдмунд (1958) [1927], Элементарная теория чисел. , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR  0092794
• Ландау, Эдмунд (1969) [1927], Vorlesungen über Zahlentheorie. Эрстер Бэнд, цвайтер Тейл; zweiter Band; Дриттер Band. , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR  0250844.