Семантика истинного значения - Truth-value semantics

В формальной семантике , истинностное значение семантики является альтернативой Тарского семантики . Ее в первую очередь отстаивали Рут Баркан Маркус , Х. Леблан, М. Данн и Н. Белнап. Это также называется интерпретацией замещения (квантификаторов) или количественной оценкой замещения.

Идея этой семантики состоит в том, что универсальный (экзистенциальный) квантор может быть прочитан как соединение (дизъюнкция) формул, в которых константы заменяют переменные в области действия квантора. Например, ∀xPx можно прочитать (Pa & Pb & Pc & ...), где a, b, c - отдельные константы, заменяющие все вхождения x в Px.

Основное различие между семантикой истинностного значения и стандартной семантикой для логики предикатов состоит в том, что нет областей для семантики истинностного значения. Только пункты истинности для атомарных и количественных формул отличаются от таковых для стандартной семантики. В то время как в стандартной семантике атомарные формулы, такие как Pb или Rca, истинны тогда и только тогда, когда (референт) b является членом расширения предиката P, соответственно, тогда и только тогда, когда пара (c, a) является членом В расширении R в семантике истинности значения истинности атомарных формул являются основными. Универсальная (экзистенциальная) формула верна тогда и только тогда, когда верны все (некоторые) ее подстановочные примеры. Сравните это со стандартной семантикой, которая гласит, что универсальная (экзистенциальная) формула истинна тогда и только тогда, когда для всех (некоторых) членов домена формула верна для всех (некоторых) из них; например, ∀xA истинно (согласно интерпретации) тогда и только тогда, когда для всех k в области D, A (k / x) истинно (где A (k / x) - результат замены k на все вхождения x в А). (Здесь мы предполагаем, что константы являются именами самих себя, т.е. они также являются членами домена.)

Семантика истинного значения не лишена проблем. Во-первых, не работают сильная теорема о полноте и компактности . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим множество {F (1), F (2), ...}. Ясно, что формула ∀xF (x) является логическим следствием множества, но не является следствием какого-либо его конечного подмножества (и, следовательно, не выводима из него). Отсюда сразу следует, что и компактность, и сильная теорема о полноте не подходят для семантики истинностного значения. Это исправлено модифицированным определением логического следствия, данным Dunn and Belnap 1968.

Другая проблема возникает в свободной логике . Рассмотрим язык с одной индивидуальной константой c, которая не имеет значения, и предикатом F, обозначающим «не существует». Тогда ∃xFx ложно, даже если экземпляр подстановки (фактически каждый такой экземпляр в этой интерпретации) истинен. Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем условие, что экзистенциально квантифицированное утверждение истинно при интерпретации по крайней мере одного случая подстановки, в котором константа обозначает что-то существующее.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Маркус, Рут Баркан (1962). «Интерпретация количественной оценки». Запрос . 5 (1–4): 252–259. DOI : 10.1080 / 00201746208601353 . ISSN  0020-174X .
  2. ^ а б Данн, Дж. Майкл; Белнап, Нуэль Д. (1968). «Подстановочная интерпретация кванторов». Нет . 2 (2): 177. CiteSeerX  10.1.1.148.1804 . DOI : 10.2307 / 2214704 . ISSN  0029-4624 . JSTOR  2214704 .