Трехлинейные координаты - Trilinear coordinates

В геометрии , то трилинейная координата х: у: г из точки относительно заданного треугольника описывают относительные направленные расстояния от три стороны треугольника. Трехлинейные координаты являются примером однородных координат . Отношение x: y - это отношение расстояний по перпендикулярам от точки до сторон ( при необходимости, удлиненных ) противоположных вершин A и B соответственно; отношение y: z - это отношение перпендикулярных расстояний от точки до боковых линий, противоположных вершинам B и C соответственно; а также для г: х и вершины C и A .

На диаграмме справа трилинейные координаты указанной внутренней точки представляют собой фактические расстояния ( a ' , b' , c ' ) или, что эквивалентно, в форме отношения ka' : kb ' : kc' для любой положительной константы k . Если точка находится на боковой линии опорного треугольника, его соответствующий трилинейные координаты равно 0. Если внешняя точка находится на противоположной стороне боковой линии от внутренней части треугольника, его трилинейные координат , связанный с этой боковой линией является отрицательным. Невозможно, чтобы все три трилинейные координаты были неположительны.

Название «трилинейные координаты» иногда сокращается до «трилинейные».

Обозначение

Обозначение отношения x : y : z для трилинейных координат отличается от упорядоченного тройного обозначения ( a ' , b' , c ' ) для фактических направленных расстояний. Здесь каждое из x , y и z само по себе не имеет значения; его отношение к одному из других действительно имеет значение. Таким образом, следует избегать использования запятых для трилинейных координат, поскольку запись ( x , y , z ), означающая упорядоченную тройку, не позволяет, например, ( x , y , z ) = (2 x , 2 y , 2 z ), тогда как «двоеточие» допускает x  : y  : z = 2 x  : 2 y  : 2 z .

Примеры

Трилинейные координаты центра треугольника ABC равны 1: 1: 1; то есть (направленные) расстояния от центра до боковых сторон BC , CA , AB пропорциональны фактическим расстояниям, обозначенным ( r , r , r ), где r - внутренний радиус треугольника ABC . Для заданных длин сторон a, b, c имеем:

• А = 1: 0: 0
• В = 0: 1: 0
• С = 0: 0: 1
• Incenter = 1: 1: 1
• центроид = Ьс  : са  : AB = 1 /  : 1 / б  : 1 / с = CSC  : CSC Б  : CSC С .
• Окружность = соз  : сов B  : сов C .
• ортоцентр = сек  : сек Б  : сек С .
• центр девяти точек = cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ).
• симедиана точка = а  : б  : C = грех A  : Sin B  : Sin C .
• A -excenter = −1: 1: 1
• B -excenter = 1: −1: 1
• C -excenter = 1: 1: -1.

Обратите внимание, что в целом центр тяжести не совпадает с центроидом ; центроид имеет барицентрические координаты 1: 1: 1 (они пропорциональны фактическим площадям со знаком треугольников BGC , CGA , AGB , где G = центроид).

Средняя точка, например, стороны BC имеет трилинейные координаты в фактических расстояниях по боковой линии для области треугольника , которая в произвольно заданных относительных расстояниях упрощается до Координаты в фактических расстояниях по боковой линии от подножия высоты от A до BC , которые в чисто относительных расстояниях упрощается до ${\ displaystyle (0, {\ frac {\ Delta} {b}}, {\ frac {\ Delta} {c}})}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle 0: ca: ab.}$${\ displaystyle (0, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos C, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos B),}$${\ displaystyle 0: \ cos C: \ cos B.}$

Формулы

Коллинеарности и совпадения

Трилинейные координаты позволяют использовать многие алгебраические методы в геометрии треугольника. Например, три балла

P = p  : q  : r

U = u  : v  : w

Х = х  : у  : г

являются коллинеарны тогда и только тогда , когда определитель

${\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} p & q & r \\ u & v & w \\ x & y & z \ end {vmatrix}}}$

равно нулю. Таким образом, если x: y: z - переменная точка, уравнение прямой, проходящей через точки P и U, будет D = 0. Отсюда каждая прямая линия имеет линейное уравнение, однородное по x, y, z . Каждое уравнение вида lx + my + nz = 0 в действительных коэффициентах представляет собой реальную прямую из конечных точек, если l: m: n не пропорционально a: b: c , длинам сторон, и в этом случае у нас есть геометрическое место указывает на бесконечность.

Двойственность этого предложения состоит в том, что прямые

pα + qβ + rγ = 0

uα + vβ + wγ = 0 ,

xα + yβ + zγ = 0

совпадают в точке (α, β, γ) тогда и только тогда, когда D = 0.

Кроме того, если при оценке определителя D используются фактические направленные расстояния , то площадь треугольника PUX равна KD , где K = abc / 8∆ ² (и где ∆ - площадь треугольника ABC , как указано выше), если треугольник PUX имеет ту же ориентацию (по часовой стрелке или против часовой стрелки), что и треугольник ABC , в противном случае K = –abc / 8∆ ² .

Параллельные линии

Две прямые с трилинейными уравнениями и параллельны тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle lx + my + nz = 0}$${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l & m & n \\ l '& m' & n '\\ a & b & c \ end {vmatrix}} = 0,}$

где a, b, c - длины сторон.

Угол между двумя линиями

В касательных углах между двумя линиями с трилинейными уравнениями и определяются ${\ displaystyle lx + my + nz = 0}$${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$

${\ displaystyle \ pm {\ frac {(mn'-m'n) \ sin A + (nl'-n'l) \ sin B + (lm'-l'm) \ sin C} {ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) \ cos A- (nl '+ n'l) \ cos B- (lm' + l'm) \ cos C}}.}$

Перпендикулярные линии

Таким образом, две прямые с трилинейными уравнениями и перпендикулярны тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle lx + my + nz = 0}$${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}$

${\ displaystyle ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) \ cos A- (nl '+ n'l) \ cos B- (lm' + l'm) \ cos C = 0. }$

Высота

Уравнение высоты от вершины A до стороны BC имеет вид

${\ Displaystyle у \ соз Bz \ соз C = 0.}$

Линия в терминах расстояний от вершин

Уравнение прямой с переменными расстояниями p, q, r от вершин A , B , C , противоположными сторонами которых являются a, b, c, имеет вид

${\ displaystyle apx + bqy + crz = 0.}$

Трилинейные координаты фактического расстояния

Трилинейные линии со значениями координат a ', b', c ', являющимися фактическими перпендикулярными расстояниями до сторон, удовлетворяют

${\ displaystyle aa '+ bb' + cc '= 2 \ Delta}$

для сторон треугольника a, b, c и площади . Это можно увидеть на рисунке в верхней части этой статьи, где внутренняя точка P разделяет треугольник ABC на три треугольника PBC , PCA и PAB с соответствующими площадями (1/2) aa ' , (1/2) bb' и (1/2) куб . ${\ displaystyle \ Delta}$

Расстояние между двумя точками

Расстояние d между двумя точками с трилинейными линиями фактического расстояния a _i  : b _i  : c _i определяется выражением

${\ displaystyle d ^ {2} \ sin ^ {2} C = (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2} + (b_ {1} -b_ {2}) ^ {2} +2 ( a_ {1} -a_ {2}) (b_ {1} -b_ {2}) \ cos C}$

или более симметричным способом

${\ displaystyle d ^ {2} = {\ frac {abc} {4 \ Delta ^ {2}}} \ left (a (b_ {1} -b_ {2}) (c_ {2} -c_ {1} ) + b (c_ {1} -c_ {2}) (a_ {2} -a_ {1}) + c (a_ {1} -a_ {2}) (b_ {2} -b_ {1}) \ верно)}$ .

Расстояние от точки до линии

Расстояние d от точки a ' : b' : c ' в трилинейных координатах фактических расстояний до прямой lx + my + nz = 0 равно

${\ displaystyle d = {\ frac {la '+ mb' + nc '} {\ sqrt {l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2} -2mn \ cos A-2nl \ cos B- 2lm \ cos C}}}.}$

Квадратичные кривые

Уравнение конического сечения в переменной трехлинейной точке x  : y  : z имеет вид

${\ displaystyle rx ^ {2} + sy ^ {2} + tz ^ {2} + 2uyz + 2vzx + 2wxy = 0.}$

В нем нет ни линейных, ни постоянных членов.

Уравнение круга радиуса r, имеющего центр в координатах фактического расстояния ( a ', b', c ' ):

${\ displaystyle (x-a ') ^ {2} \ sin 2A + (y-b') ^ {2} \ sin 2B + (z-c ') ^ {2} \ sin 2C = 2r ^ {2} \ sin A \ sin B \ sin C.}$

Circumconics

Уравнение в трехлинейных координатах x, y, z любой описанной коники треугольника имеет вид

${\ displaystyle lyz + mzx + nxy = 0.}$

Если параметры l, m, n соответственно равны длинам сторон a, b, c (или синусам углов напротив них), то уравнение дает описанную окружность .

У каждой отдельной циркумконической формы есть центр, уникальный для себя. Уравнение в трехлинейных координатах описанной коники с центром x ': y': z ' имеет вид

${\ displaystyle yz (x'-y'-z ') + zx (y'-z'-x') + xy (z'-x'-y ') = 0.}$

Инконикс

Каждое коническое сечение, вписанное в треугольник, имеет уравнение в трехлинейных координатах:

${\ displaystyle l ^ {2} x ^ {2} + m ^ {2} y ^ {2} + n ^ {2} z ^ {2} \ pm 2mnyz \ pm 2nlzx \ pm 2lmxy = 0,}$

причем ровно один или три из неуказанных признаков являются отрицательными.

Уравнение вписанной окружности можно упростить до

${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {x}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ pm {\ sqrt {y}} \ cos {\ frac {B} {2}} \ pm {\ sqrt {z}} \ cos {\ frac {C} {2}} = 0,}$

в то время как уравнение, например, для вневписанной окружности, смежной с боковым сегментом, противоположным вершине A, можно записать как

${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {-x}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ pm {\ sqrt {y}} \ cos {\ frac {B} {2}} \ pm {\ sqrt {z}} \ cos {\ frac {C} {2}} = 0.}$

Кубические кривые

Многие кубические кривые легко представить с помощью трилинейных координат. Например, центральная самоизосопряженная кубика Z (U, P) как геометрическое место точки X, такое, что P- изоконъюгат X находится на прямой UX , задается детерминантным уравнением

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x & y & z \\ qryz & rpzx & pqxy \\ u & v & w \ end {vmatrix}} = 0.}$

К именованным кубикам Z (U, P) относятся следующие:

Кубика Томсона : Z (X (2), X (1)) , где X (2) = центроид , X (1) = центр

Кубика Фейербаха : Z (X (5), X (1)) , где X (5) = точка Фейербаха

Кубика Дарбу : Z (X (20), X (1)) , где X (20) = точка Де Лоншана

Кубика Нойберга : Z (X (30), X (1)) , где X (30) = точка бесконечности Эйлера .

Конверсии

Между трилинейными координатами и расстояниями от боковых сторон

Для любого выбора трилинейных координат x: y: z для определения местоположения точки фактические расстояния от точки до боковых сторон задаются выражением a '= kx , b' = ky , c '= kz, где k можно определить по формуле в котором a , b , c - стороны соответственно BC , CA , AB , а ∆ - площадь ABC . ${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ Delta} {ax + by + cz}}}$

Между барицентрическими и трилинейными координатами

Точка с трилинейными координатами x  : y  : z имеет барицентрические координаты ax  : by  : cz, где a , b , c - длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентриками α  : β  : γ имеет трилинейные координаты α / a  : β / b  : γ / c .

Между декартовыми и трилинейными координатами

Дан справочный треугольник ABC , выразите положение вершины B в терминах упорядоченной пары декартовых координат и представьте это алгебраически как вектор B , используя вершину C в качестве начала координат. Аналогичным образом определить вектор положения вершины А , как A . Тогда любая точка Р , связанная с эталонной треугольника АВС может быть определена в декартовой системе как вектор P = K ₁ + K ₂ B . Если эта точка P имеет трилинейные координаты x: y: z, то формула преобразования коэффициентов k ₁ и k ₂ в декартовом представлении в трилинейные координаты для длин сторон a , b , c, противоположных вершинам A , B , C ,

${\ displaystyle x: y: z = {\ frac {k_ {1}} {a}}: {\ frac {k_ {2}} {b}}: {\ frac {1-k_ {1} -k_ { 2}} {c}},}$

а формула преобразования из трилинейных координат в коэффициенты в декартовом представлении имеет вид

${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {ax} {ax + by + cz}}, \ quad k_ {2} = {\ frac {by} {ax + by + cz}}.}.$

В более общем смысле, если выбрано произвольное начало координат, в котором декартовы координаты вершин известны и представлены векторами A , B и C, и если точка P имеет трилинейные координаты x  : y  : z , то декартовы координаты P являются средневзвешенное значение декартовых координат этих вершин с использованием барицентрических координат ax , by и cz в качестве весов. Следовательно, формула преобразования трилинейных координат x, y, z в вектор декартовых координат P точки имеет вид

${\ displaystyle {\ underline {P}} = {\ frac {ax} {ax + by + cz}} {\ underline {A}} + {\ frac {by} {ax + by + cz}} {\ underline {B}} + {\ frac {cz} {ax + by + cz}} {\ underline {C}},}$

где длины сторон | C - B | = а , | A - C | = b и | B - A | = с .

Смотрите также

• Теорема Морли о трисекторах # Треугольники Морли , дающие примеры множества точек, выраженных в трилинейных координатах
• Тернарный сюжет
• Теорема Вивиани

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Трехлинейные координаты» . MathWorld .
• Энциклопедия треугольных центров - ETC Кларка Кимберлинга; имеет трилинейные координаты (и барицентрические) для более чем 7000 центров треугольников