Таблица сравнений - Table of congruences

В математике, сравнение является отношение эквивалентности на целых числах . В следующих разделах перечислены важные или интересные сравнения, связанные с простыми числами.

Таблица сравнений, характеризующих специальные простые числа

${\ Displaystyle 2 ^ {п-1} \ эквив 1 {\ pmod {п}}}$	частный случай малой теоремы Ферма , которому удовлетворяют все нечетные простые числа
${\ Displaystyle 2 ^ {p-1} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {2}}}}$	решения называются простыми числами Вифериха (наименьший пример: 1093)
${\ displaystyle F_ {n- \ left ({\ frac {n} {5}} \ right)} \ Equiv 0 {\ pmod {n}}}$	удовлетворены всеми простыми числами
${\ Displaystyle F_ {p- \ left ({\ frac {p} {5}} \ right)} \ эквив 0 {\ pmod {p ^ {2}}}}$	решения называются простыми числами Уолла – Солнца – Солнца (примеры не известны)
${\ Displaystyle {2n-1 \ выберите п-1} \ экв 1 {\ pmod {п ^ {3}}}}$	по теореме Вольстенхольма удовлетворяются все простые числа больше 3
${\ displaystyle {2p-1 \ choose p-1} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {4}}},}$	решения называются простыми числами Вольстенхольма (наименьший пример: 16843)
${\ Displaystyle (п-1)! \ \ эквив \ -1 {\ pmod {п}}}$	по теореме Вильсона натуральное число n является простым тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет этому сравнению
${\ Displaystyle (п-1)! \ \ Equiv \ -1 {\ pmod {p ^ {2}}}}$	решения называются простыми числами Вильсона (наименьший пример: 5)
${\ Displaystyle 4 [(п-1)! + 1] \ \ Equiv \ -p {\ pmod {p (p + 2)}}}$	решения - простые числа-близнецы

Другие сравнения, связанные с простыми числами

Существуют и другие сравнения, связанные с простыми числами, которые обеспечивают необходимые и достаточные условия простоты некоторых подпоследовательностей натуральных чисел. Многие из этих альтернативных утверждений, характеризующих простоту, связаны с теоремой Вильсона или являются переформулировками этого классического результата в терминах других специальных вариантов обобщенных факториальных функций . Например, новые варианты теоремы Вильсона, сформулированные в терминах гиперфакториалов , субфакториалов и суперфакториалов , приведены в.

Варианты теоремы Вильсона

Для целых чисел мы имеем следующую форму теоремы Вильсона: ${\ Displaystyle к \ geq 1}$

${\ Displaystyle (к-1)! (пк)! \ Equiv (-1) ^ {k} {\ pmod {p}} \ iff p {\ text {prime. }}}$

Если это нечетно, у нас есть это ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! ^ {2} \ Equiv (-1) ^ {(p + 1) / 2} {\ pmod {p}} \ тогда и только тогда, когда p {\ text {нечетное простое число. }}}$

Теорема Климента о простых числах-близнецах

Теорема Клемента, основанная на сравнении, характеризует пары простых чисел-близнецов формы с помощью следующих условий: ${\ displaystyle (p, p + 2)}$

${\ displaystyle 4 [(p-1)! + 1] \ Equiv -p {\ pmod {p (p + 2)}} \ iff p, p + 2 {\ text {оба простых числа. }}}$

В оригинальной статье П.А. Клемента 1949 г. приводится доказательство этого интересного элементарного теоретико-числового критерия простоты близнецов, основанного на теореме Вильсона. Другая характеристика, данная в статье Линя и Чжипэна, гласит, что

${\ displaystyle 2 \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! ^ {2} + (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}} (5p + 2) \ Equiv 0 \ iff p, p + 2 {\ text {простые числа. }}}$

Характеризация простых кортежей и кластеров

Простые пары формы для некоторых включают особые случаи простых чисел кузена (когда ) и сексуальных простых чисел (когда ). У нас есть элементарные характеристики простоты таких пар на основе сравнения, доказанные, например, в статье. Примеры сравнений, характеризующих эти простые пары, включают ${\ displaystyle (p, p + 2k)}$${\ Displaystyle к \ geq 1}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle k = 3}$

${\ Displaystyle 2k (2k)! [(p-1)! + 1] \ Equiv [1- (2k)!] p {\ pmod {p (p + 2k)}} \ iff p, p + 2k {\ текст {оба простых числа,}}}$

и альтернативная характеристика, когда нечетная такая, что дается ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p \ not {\ mid} (2k-1) !! ^ {2}}$

${\ displaystyle 2k (2k-1) !! ^ {2} \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! ^ {2} + (- 1) ^ {\ frac {p- 1} {2}} \ left [(2k-1) !! ^ {2} (p + 2k) - (- 4) ^ {k} \ cdot p \ right] \ Equiv 0 \ iff p, p + 2k {\ text {оба простые. }}}$

Существуют и другие основанные на конгруэнции характеризации простоты троек и более общие простые кластеры (или простые кортежи ), которые обычно доказываются, исходя из теоремы Вильсона (см., Например, раздел 3.3 в).

Рекомендации