Теорема Вольстенхольма - Wolstenholme's theorem

В математике , теорема вольстенхольм утверждает , что для простого числа , конгруэнтность ${\ displaystyle p \ geq 5}$

${\ displaystyle {2p-1 \ choose p-1} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {3}}}}$

где круглые скобки обозначают биномиальный коэффициент . Например, при p = 7 это означает, что 1716 на единицу больше, чем кратное 343. Теорема была впервые доказана Джозефом Вольстенхолмом в 1862 году. В 1819 году Чарльз Бэббидж показал такое же сравнение по модулю p ² , которое справедливо для . Эквивалентная формулировка - сравнение ${\ displaystyle p \ geq 3}$

${\ displaystyle {ap \ choose bp} \ Equiv {a \ choose b} {\ pmod {p ^ {3}}}}$

for , который принадлежит Вильгельму Юнггрену (и, в частном случае , JWL Glaisher ) и вдохновлен теоремой Лукаса . ${\ displaystyle p \ geq 5}$${\ displaystyle b = 1}$

Никакие известные составные числа не удовлетворяют теореме Вольстенхольма, и предполагается, что их нет (см. Ниже). Простое число, удовлетворяющее сравнению по модулю p ⁴ , называется простым числом Вольстенхольма (см. Ниже).

Как установил сам Вольстенхолм, его теорема также может быть выражена в виде пары сравнений для (обобщенных) гармонических чисел :

${\ displaystyle 1+ {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + ... + {1 \ over p-1} \ Equiv 0 {\ pmod {p ^ {2}}} {\ mbox {, а также}}}$

${\ displaystyle 1+ {1 \ over 2 ^ {2}} + {1 \ over 3 ^ {2}} + ... + {1 \ over (p-1) ^ {2}} \ Equiv 0 {\ pmod {p}}.}$

(Сравнение с дробями имеет смысл при условии, что знаменатели взаимно просты с модулем.) Например, при p = 7 первый из них говорит, что числитель 49/20 кратен 49, а второй говорит, что числитель 5369/3600 делится на 7.

Простые числа Вольстенхолма

Простое число p называется простым числом Вольстенхольма, если выполняется следующее условие:

${\ displaystyle {{2p-1} \ choose {p-1}} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {4}}}.}$

Если p простое число Вольстенхолма , то теорема Глейшера верна по модулю p ⁴ . Единственными известными на данный момент простыми числами Вольстенхолма являются 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS ); любое другое простое число Вольстенхолма должно быть больше 10 ⁹ . Этот результат согласуется с эвристическим аргументом о том, что остаток по модулю p ⁴ является псевдослучайным кратным p ³ . Эта эвристика предсказывает , что число простых чисел Wolstenholme между K и N грубо Ln LN N - пер пер K . Условие Вольстенхольма проверено до 10 ⁹ , и эвристика говорит, что должно быть примерно одно простое число Вольстенхольма между 10 ⁹ и 10 ²⁴ . Подобная эвристика предсказывает, что не существует «двойных простых чисел Вольстенхолма», для которых сравнение выполнялось бы по модулю p ⁵ .

Доказательство теоремы

Есть несколько способов доказать теорему Вольстенхольма. Вот доказательство, которое непосредственно устанавливает версию Глейшера с использованием комбинаторики и алгебры.

На данный момент пусть p - любое простое число, а a и b - любые неотрицательные целые числа. Тогда множество с ар элементами можно разделить на через кольцо длиной р , а кольца могут быть повернуты по отдельности. Таким образом, a -кратная прямая сумма циклической группы порядка p действует на множестве A и, по расширению, действует на множестве подмножеств размера bp . Каждая орбита этого группового действия имеет p ^k элементов, где k - количество неполных колец, т. Е. Если есть k колец, которые только частично пересекают подмножество B в орбите. Есть орбиты размера 1 и нет орбит размера p . Таким образом, мы сначала получаем теорему Бэббиджа ${\ displaystyle \ textstyle {a \ choose b}}$

${\ displaystyle {ap \ choose bp} \ Equiv {a \ choose b} {\ pmod {p ^ {2}}}.}$

Рассматривая орбиты размера p ² , также получаем

${\ displaystyle {ap \ choose bp} \ Equiv {a \ choose b} + {a \ choose 2} \ left ({2p \ choose p} -2 \ right) {a-2 \ choose b-1} {\ pmod {p ^ {3}}}.}$

Помимо прочего, это уравнение говорит нам, что случай a = 2 и b = 1 влечет общий случай второй формы теоремы Вольстенхольма.

Переходя от комбинаторики к алгебре, обе стороны этого сравнения являются полиномами от a для каждого фиксированного значения b . Следовательно, сравнение выполняется, когда a - любое целое число, положительное или отрицательное, при условии, что b - фиксированное положительное целое число. В частности, если a = -1 и b = 1 , сравнение принимает вид

${\ displaystyle {-p \ choose p} \ Equiv {-1 \ choose 1} + {- 1 \ choose 2} \ left ({2p \ choose p} -2 \ right) {\ pmod {p ^ {3} }}.}$

Это сравнение становится уравнением для использования соотношения ${\ displaystyle \ textstyle {2p \ choose p}}$

${\ displaystyle {-p \ choose p} = {\ frac {(-1) ^ {p}} {2}} {2p \ choose p}.}$

Когда p нечетное, соотношение

${\ displaystyle 3 {2p \ choose p} \ Equiv 6 {\ pmod {p ^ {3}}}.}$

Когда p ≠ 3, мы можем разделить обе части на 3, чтобы завершить рассуждение.

Аналогичный вывод по модулю p ⁴ устанавливает, что

${\ displaystyle {ap \ choose bp} \ Equiv {a \ choose b} {\ pmod {p ^ {4}}}}$

для всех положительных a и b тогда и только тогда, когда оно выполняется, когда a = 2 и b = 1 , т. е. тогда и только тогда, когда p является простым числом Вольстенхольма.

Обратное как гипотеза

Предполагается, что если

${\ Displaystyle {2n-1 \ выберите п-1} \ экв 1 {\ pmod {п ^ {k}}}}$

( 1 )

когда k = 3 , то n простое. Гипотезу можно понять, рассматривая k = 1 и 2, а также 3. Когда k = 1, из теоремы Бэббиджа следует, что она верна для n = p ² для p нечетного простого числа, а из теоремы Вольстенхолма следует, что она верна для n = p. ³ для p > 3 и справедливо для n = p ^4, если p простое число Вольстенхольма. Когда k = 2, это верно для n = p ^2, если p - простое число Вольстенхолма. Эти три числа, 4 = 2 ² , 8 = 2 ³ и 27 = 3 ³ , не выполняются для ( 1 ) с k = 1, но все остальные простые квадраты и простые кубы сохраняются для ( 1 ) с k = 1. Известно, что только 5 других составных значений n (ни простой квадрат, ни простой куб) справедливы для ( 1 ) с k = 1, они называются псевдопростыми числами Вольстенхольма , они

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (последовательность A082180 в OEIS )

Первые три не являются степенями простых чисел (последовательность A228562 в OEIS ), последние два - 16843 ⁴ и 2124679 ⁴ , 16843 и 2124679 - простые числа Вольстенхолма (последовательность A088164 в OEIS ). Кроме того, за исключением 16843 ² и 2124679 ² , неизвестно ни одного композитного материала для ( 1 ) с k = ² , не говоря уже о k = 3. Таким образом, гипотеза считается вероятной, потому что сравнение Вольстенхолма кажется чрезмерно ограниченным и искусственным для композитных числа. Более того, если сравнение действительно для любого конкретного n, кроме простого числа или степени простого числа, и любого конкретного k , оно не означает, что

${\ displaystyle {an \ choose bn} \ Equiv {a \ choose b} {\ pmod {n ^ {k}}}.}$

Обобщения

Лейдесдорф доказал, что для натурального числа n, взаимно простого с 6, имеет место следующее сравнение:

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1 \ на вершине (я, п) = 1} ^ {п-1} {\ гидроразрыва {1} {я}} \ эквив 0 {\ pmod {п ^ {2}}} .}$

Смотрите также

• Маленькая теорема Ферма
• Теорема Вильсона
• Виферих прайм
• Уилсон прайм
• Стена-Солнце-Солнце премьер
• Список специальных классов простых чисел
• Таблица сравнений

Заметки

Рекомендации

• Бэббидж, К. (1819), «Демонстрация теоремы, относящейся к простым числам» , Эдинбургский философский журнал , 1 : 46–49. .
• Glaisher, JWL (1900), « Сравнения, относящиеся к суммам произведений первых n чисел и другим суммам произведений» , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 1–35 .
• Glaisher, JWL (1900), «Остатки коэффициентов биномиальной теоремы относительно p ³ », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 110–124 .
• Glaisher, JWL (1900), «Об остатках сумм произведений первых чисел p − 1 и их степенях по модулю p ² или p ³ », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 321– 353 .
• Гранвиль, Эндрю (1997), "Биномиальные коэффициенты по модулю простых степеней" (PDF) , Материалы конференции Канадского математического общества , 20 : 253–275, MR   1483922 , архивировано из оригинала (PDF) 02.02.2017 .
• Макинтош, RJ (1995), "Об обращении теоремы Wolstenholme в" (PDF) , Acta Арифметика , 71 (4): 381-389, DOI : 10,4064 / аа-71-4-381-389 .
• Р. Мештрович, Теорема Вольстенхольма: ее обобщения и расширения за последние сто пятьдесят лет (1862—2012) .
• Вольстенхолм, Джозеф (1862), "О некоторых свойствах простых чисел" , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 5 : 35–39 .

Внешние ссылки

• Глоссарий Prime: Wolstenholme Prime
• Статус поиска простых чисел Вольстенхолма