Уравнение Сильвестра - Sylvester equation

В математике , в области теории управления , уравнение Сильвестра представляет собой матричное уравнение вида:

${\ Displaystyle AX + XB = C.}$

Затем для заданных матриц A , B и C задача состоит в том, чтобы найти возможные матрицы X, которые подчиняются этому уравнению. Предполагается, что все матрицы имеют коэффициенты в комплексных числах . Чтобы уравнение имело смысл, матрицы должны иметь соответствующие размеры, например, все они могут быть квадратными матрицами одинакового размера. Но в более общем плане A и B должны быть квадратными матрицами размеров n и m соответственно, и тогда X и C имеют n строк и m столбцов.

Уравнение А Сильвестр имеет единственное решение для X именно тогда , когда нет общих собственных значений A и - B . В более общем плане уравнение AX  +  XB  =  C рассматривалось как уравнение ограниченных операторов в (возможно, бесконечномерном) банаховом пространстве . В этом случае условие единственности решения X почти такие же: Там существует единственное решение X точно , когда спектры из A и - B являются непересекающимися .

Существование и уникальность решений

Используя обозначение произведения Кронекера и оператор векторизации , мы можем переписать уравнение Сильвестра в виде ${\ displaystyle \ operatorname {vec}}$

${\ displaystyle (I_ {m} \ otimes A + B ^ {T} \ otimes I_ {n}) \ operatorname {vec} X = \ operatorname {vec} C,}$

где имеет размерность , имеет размерность , размерность и является единичной матрицей . В таком виде уравнение можно рассматривать как линейную систему измерений . ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle п \! \ раз \! п}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle м \! \ раз \! м}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle п \! \ раз \! м}$${\ displaystyle I_ {k}}$${\ Displaystyle к \ раз к}$ ${\ displaystyle mn \ times mn}$

Теорема. Учитывая матрицы и уравнение Сильвестра имеет единственное решение для любого , если и только если и не передаем собственное значение. ${\ Displaystyle А \ в \ mathbb {C} ^ {п \ раз п}}$${\ Displaystyle B \ in \ mathbb {C} ^ {m \ times m}}$${\ Displaystyle AX + XB = C}$${\ Displaystyle X \ in \ mathbb {C} ^ {п \ раз m}}$${\ Displaystyle C \ in \ mathbb {C} ^ {п \ раз m}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle -B}$

Доказательство. Уравнение представляет собой линейную систему с неизвестными и таким же количеством уравнений. Следовательно, оно однозначно разрешимо для любого данного тогда и только тогда, когда однородное уравнение допускает только тривиальное решение . ${\ Displaystyle AX + XB = C}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle AX + XB = 0}$${\ displaystyle 0}$

(i) Предположим, что и не имеют собственных значений. Позвольте быть решением вышеупомянутого однородного уравнения. Затем , до которого можно поднять для каждого математической индукции. Следовательно, для любого полинома . В частности, пусть - характеристический многочлен . Затем по теореме Кэли-Гамильтона ; Между тем, теорема о спектральном отображении говорит нам, где обозначает спектр матрицы. Поскольку и не имеют собственных значений, не содержит нуля и, следовательно, является невырожденным. Таким образом по желанию. Это доказывает «если» часть теоремы. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle -B}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle AX = X (-B)}$${\ displaystyle A ^ {k} X = X (-B) ^ {k}}$${\ Displaystyle к \ geq 0}$${\ Displaystyle p (A) X = Xp (-B)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p (A) = 0}$${\ Displaystyle \ sigma (п (-B)) = p (\ sigma (-B)),}$${\ Displaystyle \ сигма (\ cdot)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle -B}$${\ Displaystyle р (\ сигма (-B))}$${\ displaystyle p (-B)}$${\ displaystyle X = 0}$

(ii) Теперь предположим, что и имеем собственное значение . Позвольте быть соответствующим правым собственным вектором для , быть соответствующим левым собственным вектором для , и . Тогда , и Следовательно, является нетривиальным решением вышеупомянутого однородного уравнения, оправдывающим «только если» часть теоремы. QED${\ displaystyle A}$${\ displaystyle -B}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle -B}$${\ Displaystyle X = и {v} ^ {*}}$${\ displaystyle X \ neq 0}$${\ displaystyle AX + XB = A (uv ^ {*}) - (uv ^ {*}) (- B) = \ lambda uv ^ {*} - \ lambda uv ^ {*} = 0.}$${\ displaystyle X}$

В качестве альтернативы теореме о спектральном отображении неравномерность части (i) доказательства также может быть продемонстрирована тождеством Безу для взаимно простых многочленов. Позвольте быть характеристическим многочленом . Поскольку и не имеют общих собственных значений, и взаимно просты. Следовательно, существуют многочлены и такие, что . По теореме Гамильтона-Кэли , . Таким образом , подразумевая, что это несингулярно. ${\ displaystyle p (-B)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle -B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle -B}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle п (г) е (г) + д (г) г (г) \ эквив 1}$${\ displaystyle q (-B) = 0}$${\ Displaystyle p (-B) f (-B) = I}$${\ displaystyle p (-B)}$

Теорема остается верной для вещественных матриц с оговоркой, что нужно учитывать их комплексные собственные значения. Доказательство части «если» все еще применимо; для части «только если» обратите внимание, что оба и удовлетворяют однородному уравнению , и они не могут быть равны нулю одновременно. ${\ Displaystyle \ mathrm {Re} (уф ^ {*})}$${\ Displaystyle \ mathrm {Im} (ув ^ {*})}$${\ displaystyle AX + XB = 0}$

Правило удаления Рота

Учитывая две квадратные комплексные матрицы A и B , размера п и м и матрицы С размером п по м , то можно задать , когда следующие две квадратные матрицы размера п  +  т являются похожи друг на друга: и . Ответ в том , что эти две матрицы подобны именно тогда , когда существует матрица X такой , что AX  -  XB  =  C . Другими словами, X - решение уравнения Сильвестра. Это известно как правило удаления Рота . ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&C \\ 0 & B \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \ end {bmatrix}}}$

Одно направление легко проверяется: если AX  -  XB  =  C, то

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I_ {n} & X \\ 0 & I_ {m} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} A&C \\ 0 & B \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} I_ { n} & - X \\ 0 & I_ {m} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \ end {bmatrix}}.}$

Правило удаления Рота не распространяется на бесконечномерные ограниченные операторы в банаховом пространстве.

Численные решения

Классическим алгоритмом численного решения уравнения Сильвестра является алгоритм Бартелса – Стюарта , который состоит из преобразования и в форму Шура с помощью QR-алгоритма , а затем решения полученной треугольной системы с помощью обратной подстановки . Этот алгоритм, вычислительная стоимость которого связана с арифметическими операциями, используется, среди прочего, LAPACK и функцией в GNU Octave . См. Также функцию на этом языке. В некоторых конкретных приложениях для обработки изображений производное уравнение Сильвестра имеет решение в замкнутой форме. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (п ^ {3})}$lyapsylvester

Смотрите также

• Уравнение Ляпунова
• Алгебраическое уравнение Риккати

Заметки

Рекомендации

• Сильвестр, Дж. (1884). «Sur l'equations en matrices ». CR Acad. Sci. Париж . 99 (2): 67–71, 115–116. ${\ displaystyle px = xq}$
• Bartels, RH; Стюарт, GW (1972). «Решение матричного уравнения ». Comm. ACM . 15 (9): 820–826. DOI : 10.1145 / 361573.361582 . ${\ Displaystyle AX + XB = C}$
• Bhatia, R .; Розенталь, П. (1997). «Как и зачем решать операторное уравнение  ?». Бык. Лондонская математика. Soc. 29 (1): 1-21. DOI : 10.1112 / S0024609396001828 . ${\ displaystyle AX-XB = Y}$
• Lee, S.-G .; Ву, К.-П. (2011). «Совместные решения уравнений Сильвестра и идемпотентных матриц, разделяющих совместный спектр» . Линейная алгебра Appl. 435 (9): 2097–2109. DOI : 10.1016 / j.laa.2010.09.034 .
• Wei, Q .; Dobigeon, N .; Турнере, Ж.-Й. (2015). «Быстрое объединение многополосных изображений на основе решения уравнения Сильвестра». IEEE Transactions по обработке изображений . 24 (11): 4109–4121. arXiv : 1502.03121 . Bibcode : 2015ITIP ... 24.4109W . DOI : 10.1109 / TIP.2015.2458572 . PMID   26208345 .
• Биркгоф и Маклейн. Обзор современной алгебры . Макмиллан. С. 213, 299.

Внешние ссылки

• Онлайн-решатель для матриц произвольного размера.
• Математическая функция для решения уравнения Сильвестра
• Функция MATLAB для решения уравнения Сильвестра