Столярского - Stolarsky mean

В математике , то среднее Stolarsky является обобщением логарифмического среднего . Он был введен Кеннетом Б. Столярски в 1975 году.

Определение

Для двух положительных действительных чисел x , y среднее значение Столярского определяется как:

{\ Displaystyle {\ begin {align} S_ {p} (x, y) & = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} \ left ({\ frac {\ xi ^ { p} - \ eta ^ {p}} {p (\ xi - \ eta)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} \\ [10pt] & = {\ begin {cases} x & {\ текст {if}} x = y \\\ left ({\ frac {x ^ {p} -y ^ {p}} {p (xy)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} & {\ text {else}} \ end {case}} \ end {align}}}

Это вытекает из теоремы о среднем значении , в котором говорится , что в секущей линии , резки график в дифференцируемых функций на и , имеет такой же наклон , как линии , касательной к графику в некоторой точке в интервале . ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle (х, е (х))}$ ${\ Displaystyle (у, е (у))}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle [х, у]}$

{\ Displaystyle \ существует \ xi \ in [x, y] \ f '(\ xi) = {\ frac {f (x) -f (y)} {xy}}}

Среднее значение Столярского получается

{\ Displaystyle \ xi = f '^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x) -f (y)} {xy}} \ right)}

при выборе . ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {р}}$

${\ displaystyle \ lim _ {p \ to - \ infty} S_ {p} (x, y)}$ это минимум .
${\ Displaystyle S _ {- 1} (х, у)}$ - среднее геометрическое .
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} S_ {p} (x, y)}$ - среднее логарифмическое . Его можно получить из теоремы о среднем, выбрав . ${\ Displaystyle е (х) = \ пер х}$
${\ Displaystyle S _ {\ гидроразрыва {1} {2}} (х, у)}$ - среднее значение с показателем степени . ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to 1} S_ {p} (x, y)}$ это identric среднее . Его можно получить из теоремы о среднем, выбрав . ${\ Displaystyle е (х) = х \ CDOT \ пер х}$
${\ Displaystyle S_ {2} (х, у)}$ - среднее арифметическое .
${\ Displaystyle S_ {3} (x, y) = QM (x, y, GM (x, y))}$ является подключение к квадратичным средним и средним геометрическим .
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} S_ {p} (x, y)}$ это максимум .