Квантовый предел - Quantum limit

Квантовый предел в физике ограничение на точность измерения в квантовых масштабах. В зависимости от контекста предел может быть абсолютным (например, предел Гейзенберга ), или он может применяться только тогда, когда эксперимент проводится с естественными квантовыми состояниями (например, стандартный квантовый предел в интерферометрии), и его можно обойти с помощью расширенной подготовки состояний. и схемы измерения.

Однако использование термина стандартный квантовый предел или SQL шире, чем просто интерферометрия. В принципе, любое линейное измерение квантово-механической наблюдаемой изучаемой системы, которая не коммутирует сама с собой в разное время, приводит к таким ограничениям. Короче говоря, причина заключается в принципе неопределенности Гейзенберга .

Схематическое описание того, как физический процесс измерения описывается в квантовой механике.

Более подробное объяснение будет заключаться в том, что любое измерение в квантовой механике включает по крайней мере две стороны: объект и метр. Первая - это система, наблюдаемое, скажем , мы хотим измерить. Последняя - это система, которую мы подключаем к объекту, чтобы сделать вывод о значении объекта, записывая некоторые выбранные наблюдаемые в этой системе, например, положение указателя на шкале измерителя. В двух словах, это модель большинства измерений, происходящих в физике, известных как косвенные измерения (см. Стр. 38–42). Таким образом, любое измерение является результатом взаимодействия, которое действует в обоих направлениях. Следовательно, измеритель воздействует на объект во время каждого измерения, обычно через величину, сопряженную с измеряемой наблюдаемой, таким образом нарушая значение измеряемой наблюдаемой и изменяя результаты последующих измерений. Это известно как обратное действие (квант) измерителя на измеряемую систему. ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {F}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$

В то же время квантовая механика предписывает, что наблюдаемые показания измерителя должны иметь присущую неопределенность , аддитивную и независимую от значения измеряемой величины . Это явление известно как неточность измерения или шум измерения . Из-за принципа неопределенности Гейзенберга эта неточность не может быть произвольной и связана с возмущением обратного действия соотношением неопределенности : ${\ displaystyle \ delta {\ hat {\ mathcal {O}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$

{\ Displaystyle \ Delta {\ mathcal {O}} \ Delta {\ mathcal {F}} \ geqslant \ hbar / 2 \ ,,}

где это стандартное отклонение наблюдаемого и обозначает ожидание значения из в каком бы квантовом состоянии системы. Равенство достигается, если система находится в состоянии минимальной неопределенности . Следствием для нашего случая является то, что чем точнее будет наше измерение, то есть чем меньше , тем больше будет возмущение, которое измеритель будет оказывать на измеряемую наблюдаемую . Таким образом, показания счетчика, как правило, состоят из трех частей: ${\ displaystyle \ Delta a = {\ sqrt {\ langle {\ hat {a}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {a}} \ rangle ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle \ langle {\ шляпа {а}} \ rangle}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ mathcal {\ delta O}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}} = {\ hat {x}} _ {\ mathrm {free}} + \ delta {\ hat {\ mathcal {O}}} + \ delta {\ hat {x}} _ {BA} [{\ hat {\ mathcal {F}}}] \ ,,}

где это значение , что объект будет иметь, если бы не соединен с измерителем, и это возмущение к значению , вызванное действием силы обратно, . Неопределенность последнего пропорциональна . Таким образом, существует минимальное значение или предел точности, которую можно получить при таком измерении, при условии, что и не коррелированы. ${\ Displaystyle {\ шляпа {х}} _ {\ mathrm {бесплатно}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ hat {x_ {BA}}} [{\ hat {\ mathcal {F}}}]}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {F}}}}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ mathcal {F}} \ propto \ Delta {\ mathcal {O}} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ hat {\ mathcal {O}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {F}}}}$

Термины «квантовый предел» и «стандартный квантовый предел» иногда используются как синонимы. Обычно «квантовый предел» - это общий термин, который относится к любому ограничению измерения из-за квантовых эффектов, в то время как «стандартный квантовый предел» в любом данном контексте относится к квантовому пределу, который является повсеместным в этом контексте.

Примеры

Измерение смещения

Рассмотрим очень простую схему измерения, которая, тем не менее, включает в себя все ключевые особенности измерения общего положения. В схеме, показанной на рисунке, последовательность очень коротких световых импульсов используется для отслеживания смещения тела зонда . Положение из периодически зондировали с временным интервалом . Мы предполагаем, что масса достаточно велика, чтобы пренебречь смещением, вызываемым импульсами регулярного (классического) радиационного давления в процессе измерения. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ ${\ displaystyle M}$

Упрощенная схема оптического измерения положения механического объекта

Тогда каждый -й импульс при отражении несет сдвиг фазы, пропорциональный значению положения пробной массы в момент отражения: ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle x (t_ {j})}$

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {j} ^ {\ mathrm {refl}} = {\ hat {\ phi}} _ {j} -2k_ {p} {\ hat {x}} (t_ {j}) \ ,,}

( 1 )

где , - частота света, - номер импульса, - начальная (случайная) фаза -го импульса. Мы предполагаем, что среднее значение всех этих фаз равно нулю,, а их среднеквадратичная погрешность равна . ${\ displaystyle k_ {p} = \ omega _ {p} / c}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$ ${\ Displaystyle J = \ точки, -1,0,1, \ точки}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {j}}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ Displaystyle \ langle {\ шляпа {\ phi}} _ {j} \ rangle = 0}$ ${\ Displaystyle \ langle ({\ шляпа {\ phi ^ {2}}} \ rangle - \ langle {\ шляпа {\ phi}} \ rangle ^ {2}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ phi}$

Отраженные импульсы регистрируются фазочувствительным устройством (фазовым детектором). Реализация оптического фазового детектора может быть осуществлена с использованием, например, гомодинной или гетеродинной схемы обнаружения (см. Раздел 2.3 и ссылки в нем) или других подобных методов считывания.

В этом примере фаза светового импульса служит показаниями, наблюдаемыми измерителем. Тогда мы предполагаем, что ошибка измерения фазы, вносимая детектором, намного меньше начальной неопределенности фаз . В этом случае исходная неопределенность будет единственным источником погрешности измерения положения: ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {j} ^ {\ mathrm {refl}}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ phi}$

{\ Displaystyle \ Delta x _ {\ mathrm {mes}} = {\ frac {\ Delta \ phi} {2k_ {p}}} \ ,.}

( 2 )

Для удобства перенормируем уравнение. ( 1 ) как эквивалентное смещение испытательной массы:

{\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {j} \ Equiv - {\ frac {{\ hat {\ phi}} _ {j} ^ {\ mathrm {refl}}} {2k_ {p}}} = {\ hat {x}} (t_ {j}) + {\ hat {x}} _ {\ mathrm {fl}} (t_ {j}) \ ,,}

( 3 )

где

{\ displaystyle {\ hat {x}} _ {\ mathrm {fl}} (t_ {j}) = - {\ frac {{\ hat {\ phi}} _ {j}} {2k_ {p}}} }

являются независимыми случайными величинами со среднеквадратичной неопределенностью, заданной формулой. ( 2 ).

При отражении каждый световой импульс толкает тестовую массу, передавая ей импульс обратного действия, равный

{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {after}} - {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {before}} = {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {ba}} = {\ frac {2} {c}} {\ hat {\ mathcal {W}}} _ {j} \ ,,}

( 4 )

где и - значения импульса пробной массы непосредственно перед и сразу после отражения светового импульса, а - энергия -го импульса, который играет роль обратного действия, наблюдаемого измерителем. Основную часть этого возмущения вносит классическое радиационное давление: ${\ displaystyle {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {before}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {после}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {W}} _ {j}}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {F}}}}$

{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {ba}} \ rangle = {\ frac {2} {c}} {\ mathcal {W}} \ ,,}

со средней энергией импульсов. Следовательно, этим эффектом можно пренебречь, поскольку его можно либо вычесть из результата измерения, либо компенсировать с помощью исполнительного механизма. Случайная часть, которую нельзя компенсировать, пропорциональна отклонению энергии импульса: ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$

{\ displaystyle {\ hat {p}} ^ {\ mathrm {ba}} (t_ {j}) = {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {ba}} - \ langle {\ hat {p}} _ {j} ^ {\ mathrm {ba}} \ rangle = {\ frac {2} {c}} {\ bigl (} {\ hat {\ mathcal {W}}} _ {j} - {\ mathcal {W}} {\ bigr)} \ ,,}

а его среднеквадратичная погрешность равна

{\ Displaystyle \ Delta p _ {\ mathrm {ba}} = {\ frac {2 \ Delta {\ mathcal {W}}} {c}} \ ,,}

( 5 )

со среднеквадратичной неопределенностью энергии импульса. ${\ displaystyle \ Delta {\ mathcal {W}}}$

Предполагая, что зеркало свободно (что является хорошим приближением, если временной интервал между импульсами намного короче, чем период колебаний подвешенного зеркала ), можно оценить дополнительное смещение, вызванное противодействием -го импульса, которое будет способствовать увеличению неопределенность последующего измерения по времени импульса позже: ${\ Displaystyle \ vartheta \ ll T}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle j + 1}$ ${\ displaystyle \ vartheta}$

{\ displaystyle {\ hat {x}} _ {\ mathrm {ba}} (t_ {j}) = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {\ mathrm {ba}} (t_ {j}) \ vartheta} {M}} \ ,.}

Его неопределенность будет просто

{\ displaystyle \ Delta x _ {\ mathrm {ba}} (t_ {j}) = {\ frac {\ Delta {p} _ {\ mathrm {ba}} (t_ {j}) \ vartheta} {M}} \ ,.}

Если теперь мы хотим , чтобы оценить , сколько есть зеркало перемещается между и импульсами, то есть его смещением , мы будем иметь дело с тремя дополнительными неопределенностями, предельной точностью нашей оценки: ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle j + 1}$ ${\ displaystyle \ delta {\ tilde {x}} _ {j + 1, j} = {\ tilde {x}} (t_ {j + 1}) - {\ tilde {x}} (t_ {j}) }$

{\ displaystyle \ Delta {\ tilde {x}} _ {j + 1, j} = {\ Bigl [} (\ Delta x _ {\ rm {mes}} (t_ {j + 1})) ^ {2} + (\ Delta x _ {\ rm {mes}} (t_ {j})) ^ {2} + (\ Delta x _ {\ rm {ba}} (t_ {j})) ^ {2} {\ Bigr] } ^ {1/2} \ ,,}

где мы предположили, что все вклады в нашу неопределенность измерения статистически независимы, и таким образом получили суммарную неопределенность путем суммирования стандартных отклонений. Если мы далее предположим, что все световые импульсы подобны и имеют одинаковую фазовую неопределенность, то отсюда . ${\ Displaystyle \ Delta x _ {\ rm {mes}} (t_ {j + 1}) = \ Delta x _ {\ rm {mes}} (t_ {j}) \ эквив \ Delta x _ {\ rm {mes}} = \ Delta \ phi / (2k_ {p})}$

Теперь, какова минимальная эта сумма и какова минимальная ошибка, которую можно получить в этой простой оценке? Ответ следует из квантовой механики, если мы вспомним, что энергия и фаза каждого импульса являются канонически сопряженными наблюдаемыми величинами и, таким образом, подчиняются следующему соотношению неопределенности:

{\ displaystyle \ Delta {\ mathcal {W}} \ Delta \ phi \ geq {\ frac {\ hbar \ omega _ {p}} {2}} \ ,.}

Следовательно, из ( ( 2 и 5 ), что ошибка измерения положения и возмущение импульса из-за обратного воздействия также удовлетворяют соотношению неопределенности: ${\ displaystyle \ Delta x _ {\ mathrm {mes}}}$ ${\ displaystyle \ Delta p _ {\ mathrm {ba}}}$

{\ displaystyle \ Delta x _ {\ mathrm {mes}} \ Delta p _ {\ mathrm {ba}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ ,.}

Принимая во внимание это соотношение, минимальная погрешность, которую должен иметь световой импульс, чтобы не слишком сильно возмущать зеркало, должна быть равна урожайности для обоих . Таким образом, минимальная погрешность измерения смещения, предписанная квантовой механикой, гласит: ${\ displaystyle \ Delta x _ {\ mathrm {mes}}}$ ${\ displaystyle \ Delta x _ {\ mathrm {ba}}}$ ${\ displaystyle \ Delta x _ {\ mathrm {min}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar \ vartheta} {2M}}}}$

{\ Displaystyle \ Delta {\ тильда {x}} _ {j + 1, j} \ geqslant {\ Bigl [} 2 (\ Delta x _ {\ rm {mes}}) ^ {2} + {\ Bigl (} {\ frac {\ hbar \ vartheta} {2M \ Delta x _ {\ rm {mes}}}} {\ Bigr)} ^ {2} {\ Bigr]} ^ {1/2} \ geqslant {\ sqrt {\ гидроразрыв {3 \ hbar \ vartheta} {2M}}} \ ,.}

Это стандартный квантовый предел для такой двухимпульсной процедуры. В принципе, если мы ограничим наше измерение только двумя импульсами и не будем заботиться о возмущении положения зеркала впоследствии, неопределенность измерения второго импульса теоретически может быть уменьшена до 0 (это, конечно, даст ), а предел погрешности измерения смещения уменьшится до: ${\ displaystyle \ Delta x _ {\ rm {mes}} (t_ {j + 1})}$ ${\ displaystyle \ Delta p _ {\ rm {ba}} (t_ {j + 1}) \ to \ infty}$

{\ displaystyle \ Delta {\ tilde {x}} _ {SQL} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar \ vartheta} {M}}} \ ,,}

который известен как стандартный квантовый предел для измерения смещения свободной массы.

Этот пример представляет собой простой частный случай линейного измерения . Этот класс схем измерения может быть полностью описан двумя линейными уравнениями вида ~ ( 3 ) и ( 4 ), при условии, что как неопределенность измерения, так и возмущение обратного действия объекта ( и в этом случае) статистически не зависят от испытания. начальное квантовое состояние объекта и удовлетворяет тому же соотношению неопределенности, что и измеряемая наблюдаемая и ее канонически сопряженный аналог (положение и импульс объекта в данном случае). ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {\ mathrm {fl}} (t_ {j})}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}} ^ {\ mathrm {ba}} (t_ {j})}$

Использование в квантовой оптике

В контексте интерферометрии или других оптических измерений стандартный квантовый предел обычно относится к минимальному уровню квантового шума, который достигается без сжатых состояний .

Кроме того, существует квантовый предел для фазового шума , достижимый только лазером на высоких частотах шума.

В спектроскопии самая короткая длина волны в рентгеновском спектре называется квантовым пределом.

Вводящее в заблуждение отношение к классическому пределу

Обратите внимание , что в связи с перегрузкой слова «предел», то классический предел является не противоположностью квантового предела. В «квантовом пределе» термин «предел» используется в смысле физического ограничения (например, предел Армстронга ). В «классическом пределе» термин «предел» используется в смысле предельного процесса . (Обратите внимание, что не существует простого строгого математического предела, который полностью восстанавливает классическую механику от квантовой механики, несмотря на теорему Эренфеста . Тем не менее, в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве такие ограничения более систематичны и практичны.)

Смотрите также

Ссылки и примечания

^ ^а ^б Брагинский В.Б .; Халили, Ф.Я. (1992). Квантовое измерение . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521484138.
^ ^a ^b Данилишин С.Л .; Халили Ф. Я. (2012). «Квантовая теория измерений в детекторах гравитационных волн» . Живые обзоры в теории относительности (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Bibcode : 2012LRR .... 15 .... 5D . DOI : 10.12942 / LRR-2012-5 .
^ Chen, Yanbei (2013). «Макроскопическая квантовая механика: теория и экспериментальные концепции оптомеханики». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys . 46 : 104001. arXiv : 1302.1924 . Bibcode : 2013JPhB ... 46j4001C . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 46/10/104001 .
^ Jaekel, MT; Рейно, С. (1990). «Квантовые пределы в интерферометрических измерениях». Письма Еврофизики . 13 (4): 301. arXiv : Quant-ph / 0101104 . Bibcode : 1990EL ..... 13..301J . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 13/4/003 .
Перейти ↑ Piston, DS (1936). «Поляризация рентгеновских лучей от тонких мишеней». Физический обзор . 49 (4): 275. Полномочный код : 1936PhRv ... 49..275P . DOI : 10.1103 / PhysRev.49.275 .

[QMeas_Br_Kh-1] а ^б Брагинский В.Б .; Халили, Ф.Я. (1992). Квантовое измерение . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521484138.

[LRR_Da_Kh-2] Данилишин С.Л .; Халили Ф. Я. (2012). «Квантовая теория измерений в детекторах гравитационных волн» . Живые обзоры в теории относительности (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Bibcode : 2012LRR .... 15 .... 5D . DOI : 10.12942 / LRR-2012-5 .

[3] Chen, Yanbei (2013). «Макроскопическая квантовая механика: теория и экспериментальные концепции оптомеханики». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys . 46 : 104001. arXiv : 1302.1924 . Bibcode : 2013JPhB ... 46j4001C . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 46/10/104001 .

[4] Jaekel, MT; Рейно, С. (1990). «Квантовые пределы в интерферометрических измерениях». Письма Еврофизики . 13 (4): 301. arXiv : Quant-ph / 0101104 . Bibcode : 1990EL ..... 13..301J . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 13/4/003 .

[5] Перейти ↑ Piston, DS (1936). «Поляризация рентгеновских лучей от тонких мишеней». Физический обзор . 49 (4): 275. Полномочный код : 1936PhRv ... 49..275P . DOI : 10.1103 / PhysRev.49.275 .

Languages

In other projects