Принцип неопределенности - Uncertainty principle

В квантовой механике , то принцип неопределенности (также известный как принцип неопределенности Гейзенберга ) является любым из множества математических неравенств , утверждающих фундаментальный предел точности , с которой значение для некоторых пар физических величин в частицах , такие как положение , х , и импульс , р , может быть предсказано из начальных условий . Такие пары переменных известны как дополнительные переменные или канонически сопряженные переменные, и, в зависимости от интерпретации, принцип неопределенности ограничивает, в какой степени такие сопряженные свойства сохраняют свое приблизительное значение, поскольку математическая основа квантовой физики не поддерживает понятие одновременно хорошо- определенные сопряженные свойства, выраженные одним значением. Принцип неопределенности подразумевает, что, как правило, невозможно предсказать значение величины с произвольной уверенностью, даже если указаны все начальные условия.

Впервые введенный в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом , принцип неопределенности гласит, что чем точнее определяется положение некоторой частицы, тем менее точно ее импульс можно предсказать из начальных условий, и наоборот. Формальное неравенство, связывающее стандартное отклонение положения σ _x и стандартное отклонение импульса σ _p, было выведено Эрлом Гессе Кеннардом позже в том же году и Германом Вейлем в 1928 году:

${\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} ~~}$

где $ħ$ - приведенная постоянная Планка , $h / (2π$ ).

Исторически принцип неопределенности путали со связанным эффектом в физике , называемым эффектом наблюдателя , который отмечает, что измерения определенных систем не могут быть выполнены без воздействия на систему, то есть без изменения чего-либо в системе. Гейзенберг использовал такой эффект наблюдателя на квантовом уровне (см. Ниже) как физическое «объяснение» квантовой неопределенности. Однако с тех пор стало яснее, что принцип неопределенности присущ свойствам всех волновых систем и что он возникает в квантовой механике просто из-за волновой природы материи всех квантовых объектов. Таким образом, принцип неопределенности на самом деле утверждает фундаментальное свойство квантовых систем, а не утверждение об успехе современных технологий в наблюдениях . Следует подчеркнуть, что измерение означает не только процесс, в котором принимает участие физик-наблюдатель, но и любое взаимодействие между классическими и квантовыми объектами независимо от любого наблюдателя.

Поскольку принцип неопределенности является таким основным результатом в квантовой механике, типичные эксперименты в квантовой механике обычно наблюдают его аспекты. Некоторые эксперименты, однако, могут преднамеренно проверять конкретную форму принципа неопределенности как часть своей основной исследовательской программы. К ним относятся, например, тесты соотношений неопределенностей число – фаза в сверхпроводящих или квантовых оптических системах. Приложения, зависящие от принципа неопределенности для их работы, включают в себя технологию с чрезвычайно низким уровнем шума, такую как та, которая требуется в интерферометрах гравитационных волн .

Введение

Щелкните, чтобы увидеть анимацию. Эволюция изначально очень локализованной гауссовой волновой функции свободной частицы в двумерном пространстве, с цветом и интенсивностью, указывающими фазу и амплитуду. Распространение волновой функции во всех направлениях показывает, что начальный импульс имеет разброс значений, не измененных во времени; в то время как разброс позиции увеличивается во времени: в результате неопределенность Δ x Δ p увеличивается во времени.

Суперпозиция нескольких плоских волн с образованием волнового пакета. Этот волновой пакет становится все более локализованным с добавлением многих волн. Преобразование Фурье - это математическая операция, которая разделяет волновой пакет на отдельные плоские волны. Волны, показанные здесь, реальны только для иллюстративных целей, тогда как в квантовой механике волновая функция обычно является сложной.

Принцип неопределенности не так очевиден на макроскопических масштабах повседневного опыта. Поэтому полезно продемонстрировать, как это применимо к более понятным физическим ситуациям. Две альтернативные концепции квантовой физики предлагают разные объяснения принципа неопределенности. Картина волновой механики принципа неопределенности визуально более интуитивна, но более абстрактная картина матричной механики формулирует ее таким образом, чтобы ее было легче обобщить.

Математически в волновой механике отношение неопределенности между положением и импульсом возникает из-за того, что выражения волновой функции в двух соответствующих ортонормированных базисах в гильбертовом пространстве являются преобразованиями Фурье друг друга (т.е. положение и импульс являются сопряженными переменными ). Ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть точно локализованы одновременно. Подобный компромисс между дисперсиями сопряженных Фурье возникает во всех системах, лежащих в основе анализа Фурье, например, в звуковых волнах: чистый тон - это резкий всплеск на одной частоте, а его преобразование Фурье дает форму звуковой волны во времени. домен, который представляет собой полностью делокализованную синусоидальную волну. В квантовой механике двумя ключевыми моментами являются то, что положение частицы принимает форму материальной волны , а импульс - это ее сопряженный Фурье фактор, гарантируемый соотношением де Бройля $p = ħk$ , где $k$ - волновое число .

В матричной механике , математической формулировке квантовой механики , любая пара некоммутирующих самосопряженных операторов, представляющих наблюдаемые , подчиняется аналогичным пределам неопределенности. Собственное состояние наблюдаемого представляет состояние волновой функции для определенного значения измерения (собственное значение). Например, если выполняется измерение наблюдаемой $A$ , то система находится в конкретном собственном состоянии $Ψ$ этой наблюдаемой. Однако конкретное собственное состояние наблюдаемой $A$ не обязательно должно быть собственным состоянием другой наблюдаемой $B$ : если это так, то у нее нет единственного ассоциированного измерения для нее, поскольку система не находится в собственном состоянии этой наблюдаемой.

Интерпретация волновой механики

(Ссылка)

Плоская волна

Волновой пакет

Распространение волн де Бройля в 1d - действительная часть комплексной амплитуды синего цвета, мнимая часть зеленого цвета. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) нахождения частицы в заданной точке x распределяется как форма волны, нет определенного положения частицы. Когда амплитуда увеличивается выше нуля, кривизна меняет знак, поэтому амплитуда снова начинает уменьшаться, и наоборот - в результате возникает переменная амплитуда: волна.

Согласно гипотезе де Бройля , каждый объект во Вселенной представляет собой волну , т. Е. Ситуацию, которая порождает это явление. Положение частицы описывается волновой функцией . Не зависящая от времени волновая функция одномодовой плоской волны с волновым числом k ₀ или импульсом p ₀ равна ${\ Displaystyle \ пси (х, т)}$

{\ displaystyle \ psi (x) \ propto e ^ {ik_ {0} x} = e ^ {ip_ {0} x / \ hbar} ~.}

В Born правило гласит , что это должно быть истолковано как функция амплитуды плотности вероятности в том смысле , что вероятность нахождения частицы между и Ь является

{\ displaystyle \ operatorname {P} [a \ leq X \ leq b] = \ int _ {a} ^ {b} | \ psi (x) | ^ {2} \, \ mathrm {d} x ~.}

В случае плоской одномодовой волны - равномерное распределение . Другими словами, положение частицы крайне неопределенно в том смысле, что она может находиться практически в любом месте волнового пакета. ${\ displaystyle | \ psi (x) | ^ {2}}$

С другой стороны, рассмотрим волновую функцию, которая является суммой многих волн , которую мы можем записать как

{\ displaystyle \ psi (x) \ propto \ sum _ {n} A_ {n} e ^ {ip_ {n} x / \ hbar} ~,}

где A _n представляет собой относительный вклад моды p _n в общую сумму. На рисунках справа показано, как при добавлении множества плоских волн волновой пакет может стать более локализованным. Мы можем сделать еще один шаг к континуальному пределу, когда волновая функция является интегралом по всем возможным режимам

{\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (p) \ cdot e ^ { ipx / \ hbar} \, dp ~,}

с представлением амплитуды этих мод и называется волновой функцией в импульсном пространстве . В математических терминах, мы говорим , что это преобразование Фурье от и х и р являются сопряженными переменными . Сложение вместе всех этих плоских волн имеет свою цену, а именно, импульс стал менее точным, поскольку он стал смесью волн с множеством разных импульсов. ${\ displaystyle \ varphi (p)}$ ${\ displaystyle \ varphi (p)}$ ${\ Displaystyle \ psi (х)}$

Одним из способов количественной оценки точности положения и импульса является стандартное отклонение σ . Поскольку это функция плотности вероятности для положения, мы вычисляем ее стандартное отклонение. ${\ displaystyle | \ psi (x) | ^ {2}}$

Точность положения улучшается, то есть уменьшается σ _x , за счет использования множества плоских волн, тем самым ослабляя точность импульса, т.е. увеличивая σ _p . Другими словами, σ _x и σ _p имеют обратную зависимость или, по крайней мере, ограничены снизу. Это принцип неопределенности, точным пределом которого является граница Кеннарда. Нажмите кнопку « Показать» ниже, чтобы увидеть полуформальный вывод неравенства Кеннарда с использованием волновой механики.

Доказательство неравенства Кеннарда с помощью волновой механики

Нас интересуют отклонения позиции и импульса, определяемые как

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} \ cdot | \ psi (x) | ^ {2} \, dx- \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ cdot | \ psi (x) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p ^ {2} \ cdot | \ varphi (p) | ^ {2} \, dp- \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p \ cdot | \ varphi (p) | ^ {2} \, dp \ right) ^ {2} ~.}

Не умаляя общности , мы будем считать, что средние значения исчезают, что равносильно сдвигу начала координат. (Более общее доказательство, которое не делает этого предположения, приводится ниже.) Это дает нам более простую форму

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} \ cdot | \ psi (x) | ^ {2} \, dx}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p ^ {2} \ cdot | \ varphi (p) | ^ {2} \, dp ~. }

Функцию можно интерпретировать как вектор в функциональном пространстве . Мы можем определить внутреннее произведение для пары функций u ( x ) и v ( x ) в этом векторном пространстве: ${\ Displaystyle е (х) = х \ cdot \ psi (x)}$

{\ displaystyle \ langle u \ mid v \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u ^ {*} (x) \ cdot v (x) \, dx,}

где звездочка означает комплексное сопряжение .

Определив этот внутренний продукт, отметим, что дисперсию для позиции можно записать как

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx = \ langle f \ mid f \ rangle ~ .}

Мы можем повторить это для импульса, интерпретируя функцию как вектор, но мы также можем воспользоваться тем фактом, что и являются преобразованиями Фурье друг друга. Мы оцениваем обратное преобразование Фурье путем интегрирования по частям : ${\ Displaystyle {\ тильда {г}} (р) = р \ CDOT \ varphi (р)}$ ${\ Displaystyle \ psi (х)}$ ${\ displaystyle \ varphi (p)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} g (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ тильда {g}} (p) \ cdot e ^ {ipx / \ hbar} \, dp \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} p \ cdot \ varphi (p) \ cdot e ^ {ipx / \ hbar} \, dp \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [p \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (\ chi) e ^ {- ip \ chi / \ hbar} \, d \ chi \ right] \ cdot e ^ {ipx / \ hbar} \, dp \\ & = {\ frac {i} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [{\ cancel {\ left. \ psi (\ chi) e ^ {- ip \ chi / \ hbar} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty}}} - \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } {\ frac {d \ psi (\ chi)} {d \ chi}} e ^ {- ip \ chi / \ hbar} \, d \ chi \ right] \ cdot e ^ {ipx / \ hbar} \, dp \\ & = {\ frac {-i} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ psi (\ chi)} {d \ chi}} e ^ {- ip \ chi / \ hbar} \, d \ chi \, e ^ {ipx / \ hbar} \, dp \\ & = \ left (-i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ right) \ cdot \ psi (x), \ end {align}}}

где сокращенный член обращается в нуль, поскольку волновая функция обращается в нуль на бесконечности. Часто этот термин называют оператором импульса в позиционном пространстве. Применяя теорему Парсеваля , мы видим, что дисперсия импульса может быть записана как ${\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {d} {dx}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ tilde {g}} (p) | ^ {2} \, dp = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | g (x) | ^ {2} \, dx = \ langle g \ mid g \ rangle.}

Неравенство Коши-Шварца утверждает , что

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} \ sigma _ {p} ^ {2} = \ langle f \ mid f \ rangle \ cdot \ langle g \ mid g \ rangle \ geq | \ langle f \ mid g \ rangle | ^ {2} ~.}

Квадрат модуля любого комплексного числа z может быть выражен как

{\ displaystyle | z | ^ {2} = {\ Big (} {\ text {Re}} (z) {\ Big)} ^ {2} + {\ Big (} {\ text {Im}} (z ) {\ Big)} ^ {2} \ geq {\ Big (} {\ text {Im}} (z) {\ Big)} ^ {2} = {\ Big (} {\ frac {zz ^ {\ ast}} {2i}} {\ Big)} ^ {2}.}

мы позволяем и и подставляем их в уравнение выше, чтобы получить ${\ displaystyle z = \ langle f | g \ rangle}$ ${\ displaystyle z ^ {*} = \ langle g \ mid f \ rangle}$

{\ displaystyle | \ langle f \ mid g \ rangle | ^ {2} \ geq {\ bigg (} {\ frac {\ langle f \ mid g \ rangle - \ langle g \ mid f \ rangle} {2i}} {\ bigg)} ^ {2} ~.}

Остается только оценить эти внутренние продукты.

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle f \ mid g \ rangle - \ langle g \ mid f \ rangle = {} & \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {*} ( x) \, x \ cdot \ left (-i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ right) \, \ psi (x) \, dx \\ & {} - \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \ psi ^ {*} (x) \, \ left (-i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ right) \ cdot x \, \ psi (x) \, dx \\ = {} & i \ hbar \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {*} (x) \ left [\ left (-x \ cdot {\ frac {d \ psi ( x)} {dx}} \ right) + {\ frac {d (x \ psi (x))} {dx}} \ right] \, dx \\ = {} & i \ hbar \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {*} (x) \ left [\ left (-x \ cdot {\ frac {d \ psi (x)} {dx}} \ right) + \ psi (x ) + \ left (x \ cdot {\ frac {d \ psi (x)} {dx}} \ right) \ right] \, dx \\ = {} & i \ hbar \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi ^ {*} (x) \ psi (x) \, dx \\ = {} & i \ hbar \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ psi (x ) | ^ {2} \, dx \\ = {} & i \ hbar \ end {выравнивается}}}

Вставляя это в приведенные выше неравенства, мы получаем

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} \ sigma _ {p} ^ {2} \ geq | \ langle f \ mid g \ rangle | ^ {2} \ geq \ left ({\ frac {\ langle f \ mid g \ rangle - \ langle g \ mid f \ rangle} {2i}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {i \ hbar} {2i}} \ right) ^ {2} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}}}

или извлечение квадратного корня

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} ~.}

Обратите внимание, что единственная физика, задействованная в этом доказательстве, заключалась в том, что и - волновые функции для положения и импульса, которые являются преобразованиями Фурье друг друга. Аналогичный результат верен для любой пары сопряженных переменных. ${\ Displaystyle \ psi (х)}$ ${\ displaystyle \ varphi (p)}$

Интерпретация матричной механики

(Ссылка)

В матричной механике наблюдаемые, такие как положение и импульс, представлены самосопряженными операторами . При рассмотрении пар наблюдаемых важной величиной является коммутатор . Для пары операторов $Â$ и $B̂$ их коммутатор определяется как

{\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}} .}

В случае положения и импульса коммутатором является каноническое коммутационное соотношение

{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar.}

Физический смысл некоммутативности можно понять, рассмотрев влияние коммутатора на собственные состояния положения и импульса . Позвольте быть правым собственным состоянием позиции с постоянным собственным значением $x$ $0$ . По определению это означает, что применение коммутатора к дает ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} | \ psi \ rangle = x_ {0} | \ psi \ rangle.}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} {\ hat {p}} - {\ hat {p}} { \ hat {x}}) | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} - x_ {0} {\ hat {I}}) {\ hat {p}} \, | \ psi \ rangle = i \ hbar | \ psi \ rangle,}

где $Î$ - тождественный оператор .

Предположим, для доказательства от противного , что это также правое собственное состояние импульса с постоянным собственным значением $p$ $0$ . Если бы это было правдой, то можно было бы написать ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

{\ displaystyle ({\ hat {x}} - x_ {0} {\ hat {I}}) {\ hat {p}} \, | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} - x_ { 0} {\ hat {I}}) p_ {0} \, | \ psi \ rangle = (x_ {0} {\ hat {I}} - x_ {0} {\ hat {I}}) p_ {0 } \, | \ psi \ rangle = 0.}

С другой стороны, указанное выше каноническое коммутационное соотношение требует, чтобы

{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] | \ psi \ rangle = i \ hbar | \ psi \ rangle \ neq 0.}

Это означает, что никакое квантовое состояние не может быть одновременно и положением, и собственным состоянием импульса.

Когда состояние измеряется, оно проецируется на собственное состояние на основе соответствующей наблюдаемой. Например, если измеряется положение частицы, то состояние равно собственному состоянию положения. Это означает, что состояние не является собственным состоянием импульса, а, скорее, может быть представлено как сумма множества собственных состояний базиса импульса. Другими словами, импульс должен быть менее точным. Эта точность может быть определена количественно стандартными отклонениями ,

{\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {x}} \ rangle ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {p}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {p}} \ rangle ^ {2}}}.}

Как и в вышеприведенной интерпретации волновой механики, можно увидеть компромисс между соответствующими точностями этих двух факторов, количественно определяемый принципом неопределенности.

Предел Гейзенберга

В квантовой метрологии и особенно интерферометрии , то предел Гейзенберга является скорость , при которой оптимальная точность измерения можно масштабировать с энергией , используемой при измерении. Обычно это измерение фазы (приложенное к одному плечу светоделителя ), а энергия выражается числом фотонов, используемых в интерферометре . Хотя некоторые утверждают, что они нарушили предел Гейзенберга, это отражает разногласия по поводу определения ресурса масштабирования. Определенный подходящим образом, предел Гейзенберга является следствием основных принципов квантовой механики и его нельзя превзойти, хотя слабый предел Гейзенберга можно преодолеть.

Соотношения неопределенностей Робертсона – Шредингера

Наиболее распространенной общей формой принципа неопределенности является соотношение неопределенностей Робертсона .

Для произвольного эрмитова оператора можно сопоставить стандартное отклонение ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathcal {O}} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {\ mathcal {O}}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {\ mathcal {O}} } \ rangle ^ {2}}},}

где скобки указывают математическое ожидание . Для пары операторов и мы можем определить их коммутатор как ${\ Displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

{\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}} ,}

В этих обозначениях соотношение неопределенностей Робертсона дается выражением

{\ displaystyle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ geq \ left | {\ frac {1} {2i}} \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right | = {\ frac {1} {2}} \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |,}

Соотношение неопределенностей Робертсона сразу следует из несколько более сильного неравенства, соотношения неопределенностей Шредингера ,

${\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ left | {\ frac {1} {2}} \ langle \ {{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {1 } {2i}} \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right | ^ {2},}$

где мы ввели антикоммутатор ,

{\ displaystyle \ {{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \} = {\ hat {A}} {\ hat {B}} + {\ hat {B}} {\ hat {A }}.}

Доказательство соотношения неопределенностей Шредингера

Показанный здесь вывод включает и основывается на материалах, представленных в Робертсоне, Шредингере и стандартных учебниках, таких как Гриффитс. Для любого эрмитова оператора , исходя из определения дисперсии , мы имеем

{\ displaystyle {\ hat {A}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} = \ langle ({\ hat {A}} - \ langle {\ hat {A}} \ rangle) \ Psi | ({\ hat {A}} - \ langle {\ hat {A}} \ rangle) \ Psi \ rangle.}

мы позволяем и таким образом ${\ Displaystyle | е \ rangle = | ({\ шляпа {A}} - \ langle {\ шляпа {A}} \ rangle) \ Psi \ rangle}$

{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} = \ langle f \ mid f \ rangle \ ,.}

Аналогично, для любого другого эрмитова оператора в том же состоянии ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {B} ^ {2} = \ langle ({\ hat {B}} - \ langle {\ hat {B}} \ rangle) \ Psi | ({\ hat {B}} - \ langle {\ hat {B}} \ rangle) \ Psi \ rangle = \ langle g \ mid g \ rangle}

для ${\ displaystyle | g \ rangle = | ({\ hat {B}} - \ langle {\ hat {B}} \ rangle) \ Psi \ rangle.}$

Таким образом, произведение двух отклонений может быть выражено как

{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} = \ langle f \ mid f \ rangle \ langle g \ mid g \ rangle.}

( 1 )

Чтобы связать два вектора и , мы используем

неравенство Коши – Шварца, которое определяется как

{\ displaystyle | f \ rangle}

{\ displaystyle | g \ rangle}

{\ displaystyle \ langle f \ mid f \ rangle \ langle g \ mid g \ rangle \ geq | \ langle f \ mid g \ rangle | ^ {2},}

и, таким образом, уравнение. ( 1 ) можно записать как

{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq | \ langle f \ mid g \ rangle | ^ {2}.}

( 2 )

Поскольку в общем случае это комплексное число, мы используем тот факт, что квадрат модуля любого комплексного числа определяется как , где - комплексное сопряжение . Квадрат модуля также может быть выражен как ${\ displaystyle \ langle f \ mid g \ rangle}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle | z | ^ {2} = zz ^ {*}}$ ${\ displaystyle z ^ {*}}$ ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle | z | ^ {2} = {\ Big (} \ operatorname {Re} (z) {\ Big)} ^ {2} + {\ Big (} \ operatorname {Im} (z) {\ Big )} ^ {2} = {\ Big (} {\ frac {z + z ^ {\ ast}} {2}} {\ Big)} ^ {2} + {\ Big (} {\ frac {zz ^ {\ ast}} {2i}} {\ Big)} ^ {2}.}

( 3 )

мы позволяем и и подставляем их в уравнение выше, чтобы получить ${\ displaystyle z = \ langle f \ mid g \ rangle}$ ${\ displaystyle z ^ {*} = \ langle g \ mid f \ rangle}$

{\ displaystyle | \ langle f \ mid g \ rangle | ^ {2} = {\ bigg (} {\ frac {\ langle f \ mid g \ rangle + \ langle g \ mid f \ rangle} {2}} { \ bigg)} ^ {2} + {\ bigg (} {\ frac {\ langle f \ mid g \ rangle - \ langle g \ mid f \ rangle} {2i}} {\ bigg)} ^ {2}}

( 4 )

Внутренний продукт явно записывается как ${\ displaystyle \ langle f \ mid g \ rangle}$

{\ displaystyle \ langle f \ mid g \ rangle = \ langle ({\ hat {A}} - \ langle {\ hat {A}} \ rangle) \ Psi | ({\ hat {B}} - \ langle { \ hat {B}} \ rangle) \ Psi \ rangle,}

и используя тот факт, что операторы и являются эрмитовыми, находим ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle f \ mid g \ rangle & = \ langle \ Psi | ({\ hat {A}} - \ langle {\ hat {A}} \ rangle) ({\ hat { B}} - \ langle {\ hat {B}} \ rangle) \ Psi \ rangle \\ [4pt] & = \ langle \ Psi \ mid ({\ hat {A}} {\ hat {B}} - { \ hat {A}} \ langle {\ hat {B}} \ rangle - {\ hat {B}} \ langle {\ hat {A}} \ rangle + \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle) \ Psi \ rangle \\ [4pt] & = \ langle \ Psi \ mid {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ Psi \ rangle - \ langle \ Psi \ mid {\ hat {A}} \ langle {\ hat {B}} \ rangle \ Psi \ rangle - \ langle \ Psi \ mid {\ hat {B}} \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi \ mid \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle \ Psi \ rangle \\ [4pt] & = \ langle {\ hat {A }} {\ hat {B}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle + \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle \\ [4pt] & = \ langle {\ hat {A}} {\ hat { B}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle. \ End {align}}}

Аналогичным образом можно показать, что ${\ displaystyle \ langle g \ mid f \ rangle = \ langle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B} } \ rangle.}$

Таким образом, мы имеем

{\ displaystyle \ langle f \ mid g \ rangle - \ langle g \ mid f \ rangle = \ langle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle - \ langle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ rangle + \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B }} \ rangle = \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle}

и

{\ displaystyle \ langle f \ mid g \ rangle + \ langle g \ mid f \ rangle = \ langle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle + \ langle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B }} \ rangle = \ langle \ {{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \} \ rangle -2 \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle.}

Теперь мы подставляем два приведенных выше уравнения обратно в уравнение. ( 4 ) и получаем

{\ displaystyle | \ langle f \ mid g \ rangle | ^ {2} = {\ Big (} {\ frac {1} {2}} \ langle \ {{\ hat {A}}, {\ hat {B) }} \} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle {\ Big)} ^ {2} + {\ Big (} {\ frac {1} {2i}} \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle {\ Big)} ^ {2} \ ,.}

Подставляя вышеуказанное в формулу. ( 2 ) получаем соотношение неопределенностей Шредингера

{\ displaystyle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ geq {\ sqrt {{\ Big (} {\ frac {1} {2}} \ langle \ {{\ hat {A}}, {\ шляпа {B}} \} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle {\ Big)} ^ {2} + {\ Big (} {\ frac {1} {2i}} \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle {\ Big)} ^ {2}}}.}.

У этого доказательства есть проблема, связанная с доменами задействованных операторов. Чтобы доказательство имело смысл, вектор должен находиться в области определения

неограниченного оператора , что не всегда так. Фактически, соотношение неопределенности Робертсона неверно, если является угловой переменной и является производной по этой переменной. В этом примере коммутатор является ненулевой константой, как и в соотношении неопределенностей Гейзенберга, и все же есть состояния, в которых произведение неопределенностей равно нулю. (См. Раздел контрпримеров ниже.) Эту проблему можно решить, используя вариационный метод доказательства или работая с возведенной в степень версии канонических коммутационных соотношений.

{\ displaystyle {\ hat {B}} | \ Psi \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {A}}}

{\ displaystyle {\ hat {A}}}

{\ displaystyle {\ hat {B}}}

Отметим, что в общем виде соотношения неопределенностей Робертсона – Шредингера нет необходимости предполагать, что операторы и являются

самосопряженными операторами . Достаточно предположить, что это просто симметричные операторы . (Различие между этими двумя понятиями обычно замалчивается в физической литературе, где термин эрмитов используется для одного или обоих классов операторов. См. Главу 9 книги Холла для подробного обсуждения этого важного, но технического различия.)

{\ displaystyle {\ hat {A}}}

{\ displaystyle {\ hat {B}}}

Смешанные состояния

Соотношение неопределенностей Робертсона – Шредингера может быть просто обобщено для описания смешанных состояний .

{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ left | {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} (\ rho \ {A, B \}) - \ operatorname {tr} (\ rho A) \ operatorname {tr} (\ rho B) \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {1} {2i}} \ operatorname {tr } (\ rho [A, B]) \ right | ^ {2}.}

Соотношения неопределенностей Макконе – Пати

Соотношение неопределенностей Робертсона – Шредингера может быть тривиальным, если состояние системы выбрано как собственное состояние одной из наблюдаемых. Более сильные соотношения неопределенностей, доказанные Макконом и Пати, дают нетривиальные оценки суммы дисперсий для двух несовместимых наблюдаемых. (Более ранние работы по неопределенности отношений , сформулированные в виде суммы дисперсий включают, например, Ref. Из - за Хуанг.) В течение двух некоммутирующих наблюдаемых и первый сильное соотношения неопределенностей даются ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ pm i \ langle \ Psi \ mid [A, B] | \ Psi \ rangle + \ mid \ langle \ Psi \ mid (A \ pm iB) \ mid {\ bar {\ Psi}} \ rangle | ^ {2},}

где , , нормированный вектор, ортогональный к состоянию системы и следует выбрать знак , чтобы сделать это реальное количество положительное число. ${\ Displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} = \ langle \ Psi | A ^ {2} | \ Psi \ rangle - \ langle \ Psi \ mid A \ mid \ Psi \ rangle ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {B} ^ {2} = \ langle \ Psi | B ^ {2} | \ Psi \ rangle - \ langle \ Psi \ mid B \ mid \ Psi \ rangle ^ {2}}$ ${\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ пси \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ pm я \ langle \ Psi \ mid [A, B] \ mid \ Psi \ rangle}$

Второе более сильное соотношение неопределенности дается выражением

{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq {\ frac {1} {2}} | \ langle {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ mid (A + B) \ mid \ Psi \ rangle | ^ {2}}

где - состояние, ортогональное к . Форма означает, что правая часть нового отношения неопределенности отлична от нуля, если только не является собственным состоянием . Можно отметить, что это может быть собственным состоянием, но не собственным состоянием ни или . Однако, когда является собственным состоянием одной из двух наблюдаемых, соотношение неопределенностей Гейзенберга – Шредингера становится тривиальным. Но нижняя граница в новом соотношении отлична от нуля, если только не является собственным состоянием обоих. ${\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ пси \ rangle}$ ${\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ пси \ rangle}$ ${\ Displaystyle (А + В)}$ ${\ displaystyle | \ пси \ rangle}$ ${\ Displaystyle (А + В)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle | \ пси \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ пси \ rangle}$

Фазовое пространство

В формулировке квантовой механики в фазовом пространстве соотношение Робертсона – Шредингера следует из условия положительности вещественной функции «звезда-квадрат». Для функции Вигнера со звездным произведением ★ и функции f обычно верно следующее: ${\ Displaystyle W (х, р)}$

{\ displaystyle \ langle f ^ {*} \ star f \ rangle = \ int (f ^ {*} \ star f) \, W (x, p) \, dx \, dp \ geq 0.}

Выбирая , приходим к ${\ displaystyle f = a + bx + cp}$

{\ displaystyle \ langle f ^ {*} \ star f \ rangle = {\ begin {bmatrix} a ^ {*} & b ^ {*} & c ^ {*} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ langle x \ rangle & \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle & \ langle x \ star x \ rangle & \ langle x \ star p \ rangle \\\ langle p \ rangle & \ langle p \ star x \ rangle & \ langle p \ star p \ rangle \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix}} \ geq 0.}

Поскольку это условие положительности верно для всех a , b и c , отсюда следует, что все собственные значения матрицы положительны. Положительные собственные значения влекут за собой соответствующее условие положительности определителя :

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 1 & \ langle x \ rangle & \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle & \ langle x \ star x \ rangle & \ langle x \ star p \ rangle \\ \ langle p \ rangle & \ langle p \ star x \ rangle & \ langle p \ star p \ rangle \ end {bmatrix}} = \ det {\ begin {bmatrix} 1 & \ langle x \ rangle & \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle & \ langle x ^ {2} \ rangle & \ left \ langle xp + {\ frac {i \ hbar} {2}} \ right \ rangle \\\ langle p \ rangle & \ left \ langle xp - {\ frac {i \ hbar} {2}} \ right \ rangle & \ langle p ^ {2} \ rangle \ end {bmatrix}} \ geq 0,}

или, явно, после алгебраических манипуляций,

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} \ sigma _ {p} ^ {2} = \ left (\ langle x ^ {2} \ rangle - \ langle x \ rangle ^ {2} \ right) \ left (\ langle p ^ {2} \ rangle - \ langle p \ rangle ^ {2} \ right) \ geq \ left (\ langle xp \ rangle - \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \ right) ^ { 2} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} ~.}

Примеры

Поскольку соотношения Робертсона и Шредингера предназначены для общих операторов, эти соотношения могут применяться к любым двум наблюдаемым для получения конкретных соотношений неопределенности. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных взаимосвязей, встречающихся в литературе.

Для положения и количества движения из канонического коммутационного соотношения следует неравенство Кеннарда сверху: ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = я \ hbar}$

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}.}

Для двух ортогональных компонент оператора полного углового момента объекта:

{\ displaystyle \ sigma _ {J_ {i}} \ sigma _ {J_ {j}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} {\ big |} \ langle J_ {k} \ rangle {\ big |},}

где i , j , k различны, а J _i обозначает угловой момент вдоль оси x _i . Это соотношение подразумевает, что если все три компонента не обращаются в нуль вместе, только один компонент углового момента системы может быть определен с произвольной точностью, обычно компонент, параллельный внешнему (магнитному или электрическому) полю. Кроме того, для , выбора , в угловых мультиплетах импульса, ψ = | j , m〉, ограничивает инвариант Казимира (квадрат углового момента ) снизу и, таким образом, дает полезные ограничения, такие как j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) и, следовательно, j ≥ m , среди прочих.

{\ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = i \ hbar \ varepsilon _ {xyz} J_ {z}}

{\ displaystyle {\ hat {A}} = J_ {x}}

{\ displaystyle {\ hat {B}} = J_ {y}}

{\ displaystyle \ langle J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + J_ {z} ^ {2} \ rangle}

В нерелятивистской механике время рассматривается как независимая переменная . Тем не менее, в 1945 г. Л.И. Мандельштам и И.Е. Тамм вывели нерелятивистское соотношение неопределенностей времени и энергии следующим образом. Для квантовой системы в нестационарном состоянии $ψ$ и наблюдаемой B, представленной самосопряженным оператором , имеет место следующая формула: ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {E} {\ frac {\ sigma _ {B}} {\ left | {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {B}} \ rangle} {\ mathrm {d } t}} \ right |}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}},}

где σ _Е представляет собой стандартное отклонение оператора энергии (Гамильтон) в состоянии

ф

, σ _B означает стандартное отклонение B . Хотя второй множитель в левой части имеет размерность времени, он отличается от временного параметра, входящего в уравнение Шредингера . Это время жизни состояния

ψ по

отношению к наблюдаемому B : другими словами, это временной интервал (Δ t ), по истечении которого ожидаемое значение заметно изменяется.

{\ Displaystyle \ langle {\ шляпа {B}} \ rangle}

Неформальный, эвристический смысл принципа следующий: состояние, которое существует только в течение короткого времени, не может иметь определенной энергии. Чтобы иметь определенную энергию, частота состояния должна быть определена точно, а это требует, чтобы состояние оставалось на протяжении многих циклов, обратных требуемой точности. Например, в спектроскопии возбужденные состояния имеют конечное время жизни. Согласно принципу неопределенности время-энергия, они не обладают определенной энергией, и каждый раз, когда они распадаются, выделяемая ими энергия немного отличается. Средняя энергия исходящего фотона имеет максимум при теоретической энергии состояния, но распределение имеет конечную ширину, называемую естественной шириной линии . Быстро распадающиеся состояния имеют широкую ширину линии, а медленно распадающиеся состояния имеют узкую ширину линии.

Тот же эффект ширины линии также затрудняет определение массы покоя нестабильных, быстро распадающихся частиц в физике элементарных частиц . Чем быстрее частица распадается (чем короче ее время жизни), тем менее определена ее масса (тем больше ширина частицы ).

Для числа электронов в сверхпроводнике и фазы его параметра порядка Гинзбурга – Ландау

{\ Displaystyle \ Delta N \, \ Delta \ varphi \ geq 1.}

Контрпример

Предположим, мы рассматриваем квантовую частицу на кольце , где волновая функция зависит от угловой переменной , которая может лежать в интервале . Определение «положение» и «импульс» операторы и по ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

{\ Displaystyle {\ Hat {A}} \ psi (\ theta) = \ theta \ psi (\ theta), \ quad \ theta \ in [0,2 \ pi],}

и

{\ displaystyle {\ hat {B}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {d \ psi} {d \ theta}},}

где мы накладываем периодические граничные условия на . Определение зависит от нашего выбора диапазона от 0 до . Эти операторы удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям для операторов положения и импульса . ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ ${\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = я \ hbar}$

Теперь позвольте быть любым из собственных состояний , которые задаются . Эти состояния нормируемы, в отличие от собственных состояний оператора импульса на линии. Кроме того, оператор ограничен, поскольку пробегает ограниченный интервал. Таким образом, в состоянии неопределенность равна нулю, а неопределенность конечна, так что ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ Displaystyle \ пси (\ тета) = е ^ {2 \ пи в \ тета}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} = 0.}

Хотя этот результат, по-видимому, нарушает принцип неопределенности Робертсона, парадокс разрешается, когда мы отмечаем, что это не входит в область определения оператора , поскольку умножение на нарушает периодические граничные условия, наложенные на . Таким образом, вывод соотношения Робертсона, который требует и требует определения, неприменим. (Они также дают пример операторов, удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля .) ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ psi}$

Для обычных операторов положения и импульса, а также для вещественной прямой такие контрпримеры возникнуть не могут. Пока и определены в состоянии , принцип неопределенности Гейзенберга остается в силе, даже если он не находится в области или . ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {x}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {p}}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}} {\ hat {P}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}} {\ hat {X}}}$

Примеры

(Ссылки)

Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора

Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор. Операторы положения и импульса можно выразить в терминах операторов создания и уничтожения :

{\ displaystyle {\ hat {x}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}} (a + a ^ {\ dagger})}

{\ displaystyle {\ hat {p}} = i {\ sqrt {\ frac {m \ omega \ hbar} {2}}} (a ^ {\ dagger} -a).}

Используя стандартные правила для операторов рождения и уничтожения на собственных состояниях энергии,

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}

{\ displaystyle a | n \ rangle = {\ sqrt {n}} | n-1 \ rangle,}

в дисперсии может быть вычислена непосредственно,

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ hbar m \ omega \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ ,.}

Тогда произведение этих стандартных отклонений равно

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = \ hbar \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}. ~ }

В частности, указанная выше граница Кеннарда насыщается для основного состояния $n = 0$ , для которого плотность вероятности является просто нормальным распределением .

Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовым начальным условием

Плотности вероятности положения (синий) и импульса (красный) для начального распределения Гаусса. Сверху вниз анимация показывает случаи Ω = ω, Ω = 2ω и Ω = ω / 2. Обратите внимание на компромисс между шириной распределений.

В квантовом гармоническом осцилляторе с характерной угловой частотой ω поместите состояние, которое смещено от дна потенциала на некоторое смещение x ₀ как

{\ displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {m \ Omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {m \ Omega) (x-x_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar}} \ right)},}

где Ω описывает ширину начального состояния, но не обязательно совпадает с ω. За счет интеграции с пропагатором мы можем найти решение, полностью зависящее от времени. После многих отмен плотности вероятностей уменьшаются до

{\ displaystyle | \ Psi (x, t) | ^ {2} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (x_ {0} \ cos {(\ omega t)}, {\ frac {\ hbar} { 2m \ Omega}} \ left (\ cos ^ {2} (\ omega t) + {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {(\ omega t)} \ right) \ right)}

{\ displaystyle | \ Phi (p, t) | ^ {2} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (-mx_ {0} \ omega \ sin (\ omega t), {\ frac {\ hbar m \ Omega} {2}} \ left (\ cos ^ {2} {(\ omega t)} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {(\ omega t)} \ right) \ right),}

где мы использовали обозначения для обозначения нормального распределения среднего μ и дисперсии σ ² . Копируя приведенные выше дисперсии и применяя тригонометрические тождества , мы можем записать произведение стандартных отклонений как ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} & = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {\ left (\ cos ^ {2} {(\ omega t)} + {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {(\ omega t)} \ right) \ left (\ cos ^ {2} {(\ omega t)} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {(\ omega t)} \ right)}} \\ & = {\ frac {\ hbar} {4}} {\ sqrt {3 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2 }} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) -1 \ right) \ cos {(4 \ omega t)} }} \ end {выровнены}}}

От отношений

{\ displaystyle {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ geq 2, \ quad | \ cos (4 \ omega t) | \ leq 1,}

можно сделать следующий вывод: (самое правое равенство имеет место только при Ω = ω ).

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {4}} {\ sqrt {3 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ frac {1 } {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) -1 \ right)}} = {\ frac {\ hbar} {2}}.}

Когерентные состояния

Когерентное состояние - это правое собственное состояние оператора аннигиляции ,

{\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle}

,

которые могут быть представлены в терминах состояний Фока как

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ over 2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ alpha ^ {n} \ over { \ sqrt {n!}}} | n \ rangle}

На рисунке, где когерентное состояние представляет собой массивную частицу в квантовом гармоническом осцилляторе, операторы положения и импульса могут быть выражены через операторы аннигиляции в тех же формулах, приведенных выше, и использоваться для вычисления дисперсий,

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}},}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = {\ frac {\ hbar m \ omega} {2}}.}

Следовательно, каждое когерентное состояние насыщает границу Кеннарда

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}} \, {\ sqrt {\ frac {\ hbar m \ omega} {2 }}} = {\ frac {\ hbar} {2}}.}

с позицией и импульсом, каждый из которых вносит определенную сумму "сбалансированным" способом. Более того, каждое сжатое когерентное состояние также насыщает границу Кеннарда, хотя отдельные вклады положения и импульса в целом не нужно уравновешивать. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ hbar / 2}}}$

Частица в коробке

Рассмотрим частицу в одномерном ящике длины . Собственные функции в пространственном и импульсном пространстве : ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle \ psi _ {n} (x, t) = {\ begin {case} A \ sin (k_ {n} x) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} t}, & 0 <x <L, \\ 0, & {\ text {в противном случае}} \ end {case}}}

и

{\ displaystyle \ varphi _ {n} (p, t) = {\ sqrt {\ frac {\ pi L} {\ hbar}}} \, \, {\ frac {n \ left (1 - (- 1) ^ {n} e ^ {- ikL} \ right) e ^ {- i \ omega _ {n} t}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} -k ^ {2} L ^ {2} }},}

где и мы использовали соотношение де Бройля . Дисперсии и могут быть вычислены явно: ${\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar n ^ {2}} {8L ^ {2} m}}}$ ${\ displaystyle p = \ hbar k}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ frac {L ^ {2}} {12}} \ left (1 - {\ frac {6} {n ^ {2} \ pi ^ {2 }}}\право)}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ hbar n \ pi} {L}} \ right) ^ {2}.}

Следовательно, произведение стандартных отклонений равно

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {3} } -2}}.}

Для всех величина больше 1, поэтому принцип неопределенности никогда не нарушается. Для числовой конкретности наименьшее значение имеет место, когда , и в этом случае ${\ Displaystyle п = 1, \, 2, \, 3, \, \ ldots}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {3}} - 2}}}$ ${\ displaystyle n = 1}$

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {{\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} - 2}} \ приблизительно 0,568 \ hbar> {\ frac {\ hbar} {2}}.}

Постоянный импульс

Плотность вероятности позиционного пространства исходного гауссовского состояния, движущегося с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве

Предположим, что частица изначально имеет импульсную пространственную волновую функцию, описываемую нормальным распределением вокруг некоторого постоянного импульса p _{0 в} соответствии с

{\ displaystyle \ varphi (p) = \ left ({\ frac {x_ {0}} {\ hbar {\ sqrt {\ pi}}}} \ right) ^ {1/2} \ cdot \ exp {\ left ({\ frac {-x_ {0} ^ {2} (p-p_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} \ right)},}

где мы ввели эталонный масштаб с описанием ширины распределения −− cf. обезразмеривание . Если состоянию позволяют развиваться в свободном пространстве, то зависящие от времени волновые функции импульса и положения в пространстве равны ${\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {\ hbar / m \ omega _ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}> 0}$

{\ displaystyle \ Phi (p, t) = \ left ({\ frac {x_ {0}} {\ hbar {\ sqrt {\ pi}}}}} \ right) ^ {1/2} \ cdot \ exp { \ left ({\ frac {-x_ {0} ^ {2} (p-p_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} - {\ frac {ip ^ {2} t } {2m \ hbar}} \ right)},}

{\ displaystyle \ Psi (x, t) = \ left ({\ frac {1} {x_ {0} {\ sqrt {\ pi}}}} \ right) ^ {1/2} \ cdot {\ frac { e ^ {- x_ {0} ^ {2} p_ {0} ^ {2} / 2 \ hbar ^ {2}}} {\ sqrt {1 + i \ omega _ {0} t}}} \ cdot \ exp {\ left (- {\ frac {(x-ix_ {0} ^ {2} p_ {0} / \ hbar) ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2} (1 + i \ omega _ {0} t)}} \ right)}.}

Поскольку и , это можно интерпретировать как частицу, движущуюся вместе с постоянным импульсом с произвольно высокой точностью. С другой стороны, стандартное отклонение позиции равно ${\ displaystyle \ langle p (t) \ rangle = p_ {0}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {p} (t) = \ hbar / ({\ sqrt {2}} x_ {0})}$

{\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ frac {x_ {0}} {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {1+ \ omega _ {0} ^ {2} t ^ {2}}} }

таким образом, что произведение неопределенности может со временем только увеличиваться как

{\ displaystyle \ sigma _ {x} (t) \ sigma _ {p} (t) = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {1+ \ omega _ {0} ^ {2} t ^ {2}}}}

Дополнительные отношения неопределенности

Систематические и статистические ошибки

Приведенные выше неравенства сосредоточены на статистической неточности наблюдаемых величин, количественно определяемой стандартным отклонением . Первоначальная версия Гейзенберга, однако, имела дело с систематической ошибкой , возмущением квантовой системы, создаваемым измерительным прибором, т. Е. Эффектом наблюдателя . ${\ displaystyle \ sigma}$

Если мы позволим представить ошибку (т. Е. Неточность ) измерения наблюдаемой A и возмущение, вызванное последующим измерением сопряженной переменной B предыдущим измерением A , тогда неравенство, предложенное Одзавой, охватывающее как систематические, так и статистические ошибки - держит: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {A}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {B}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ eta _ {B} + \ varepsilon _ {A} \, \ sigma _ {B} + \ sigma _ {A} \, \ eta _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |}$

Принцип неопределенности Гейзенберга, первоначально описанный в формулировке 1927 года, упоминает только первый член неравенства Одзавы, касающийся систематической ошибки . Используя обозначения, приведенные выше для описания эффекта ошибок / помех при последовательных измерениях (сначала A , затем B ), это можно записать как

${\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ eta _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}$

Формальный вывод соотношения Гейзенберга возможен, но далек от интуитивного понимания. Он не был предложен Гейзенбергом, но математически согласованным образом сформулировал его только в последние годы. Также необходимо подчеркнуть, что формулировка Гейзенберга не принимает во внимание внутренние статистические ошибки и . Появляется все больше экспериментальных свидетельств того, что полную квантовую неопределенность нельзя описать одним членом Гейзенберга, но требуется наличие всех трех членов неравенства Одзавы. ${\ displaystyle \ sigma _ {A}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {B}}$

Используя тот же формализм, также можно ввести другой вид физической ситуации, часто путаемый с предыдущей, а именно случай одновременных измерений ( A и B одновременно):

${\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ varepsilon _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}$

Два одновременных измерения на A и B обязательно нечеткие или слабые .

Также возможно вывести соотношение неопределенности, которое, как и соотношение Одзавы, объединяет как статистические, так и систематические компоненты ошибки, но сохраняет форму, очень близкую к исходному неравенству Гейзенберга. Добавляя Робертсона

${\ displaystyle \ sigma _ {A} \, \ sigma _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}$

и соотношений Одзавы получаем

{\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \ eta _ {B} + \ varepsilon _ {A} \, \ sigma _ {B} + \ sigma _ {A} \, \ eta _ {B} + \ sigma _ { A} \ sigma _ {B} \ geq \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |.}

Эти четыре условия можно записать как:

{\ displaystyle (\ varepsilon _ {A} + \ sigma _ {A}) \, (\ eta _ {B} + \ sigma _ {B}) \, \ geq \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |.}

Определение:

{\ Displaystyle {\ бар {\ varepsilon}} _ {A} \, \ Equiv \, (\ varepsilon _ {A} + \ sigma _ {A})}

как неточность измеренных значений переменной A и

{\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {B} \, \ Equiv \, (\ eta _ {B} + \ sigma _ {B})}

В качестве результирующего колебания сопряженной переменной B Фудзикава установил соотношение неопределенности, подобное исходному Гейзенбергу, но действительное как для систематических, так и для статистических ошибок :

${\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} _ {A} \, {\ bar {\ eta}} _ {B} \, \ geq \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}$

Принцип квантовой энтропийной неопределенности

Для многих распределений стандартное отклонение не является особенно естественным способом количественной оценки структуры. Например, соотношения неопределенностей, в которых одна из наблюдаемых представляет собой угол, имеют мало физического смысла для флуктуаций, превышающих один период. Другие примеры включают сильно бимодальные распределения или одномодальные распределения с дивергентной дисперсией.

Решение, которое преодолевает эти проблемы, - это неопределенность, основанная на энтропийной неопределенности, а не на произведении дисперсий. Формулируя многомировую интерпретацию квантовой механики в 1957 году, Хью Эверетт III предположил более сильное расширение принципа неопределенности, основанное на энтропийной достоверности. Эта гипотеза, также изученная Хиршманом и доказанная в 1975 году Бекнером и Иво Бялыницки-Бирула и Ежи Мицельски, состоит в том, что для двух нормализованных безразмерных пар преобразований Фурье $f (a)$ и $g (b),$ где

{\ Displaystyle е (а) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (b) \ e ^ {2 \ pi iab} \, db}

и

{\ Displaystyle \, \, \, g (b) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (a) \ e ^ {- 2 \ pi iab} \, da}

информационные энтропии Шеннона

{\ displaystyle H_ {a} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (a) \ log (f (a)) \, da,}

и

{\ displaystyle H_ {b} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (b) \ log (g (b)) \, db}

подчиняются следующему ограничению:

${\ displaystyle H_ {a} + H_ {b} \ geq \ log (e / 2)}$

где логарифмы могут быть в любом основании.

Функции распределения вероятностей, связанные с волновой функцией положения $ψ (x)$ и волновой функцией импульса $φ (x),$ имеют размерность, равную обратной длине и импульсу соответственно, но энтропии можно сделать безразмерными с помощью

{\ Displaystyle H_ {x} = - \ int | \ psi (x) | ^ {2} \ ln (x_ {0} \, | \ psi (x) | ^ {2}) \, dx = - \ left \ langle \ ln (x_ {0} \ mid \ psi (x) | ^ {2}) \ right \ rangle}

{\ displaystyle H_ {p} = - \ int | \ varphi (p) | ^ {2} \ ln (p_ {0} \, | \ varphi (p) | ^ {2}) \, dp = - \ left \ langle \ ln (p_ {0} \ left | \ varphi (p) \ right | ^ {2}) \ right \ rangle}

где $x 0$ и $p 0$ - некоторая произвольно выбранная длина и импульс соответственно, что делает аргументы логарифмов безразмерными. Обратите внимание, что энтропии будут функциями этих выбранных параметров. Благодаря соотношению преобразования Фурье между волновой функцией положения $ψ (x)$ и волновой функцией импульса $φ (p)$ указанное выше ограничение может быть записано для соответствующих энтропий как

${\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2 \, x_ {0} \, p_ {0}}} \ right)}$

где $h$ - постоянная Планка .

В зависимости от выбора произведения $x 0 p 0$ выражение может быть записано разными способами. Если в качестве $h$ выбрано $x 0 p 0$ , то

{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac {e} {2}} \ right)}

Если, вместо этого, $х 0 р 0$ выбирается так, чтобы быть $ħ$ , то

{\ Displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log (е \, \ pi)}

Если $x 0$ и $p 0$ выбраны равными единице в какой бы то ни было системе единиц измерения, то

{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2}} \ right)}

где $h$ интерпретируется как безразмерное число, равное значению постоянной Планка в выбранной системе единиц. Обратите внимание, что эти неравенства можно распространить на многомодовые квантовые состояния или волновые функции более чем в одном пространственном измерении.

Принцип квантовой энтропийной неопределенности более строг, чем принцип неопределенности Гейзенберга. Из обратных логарифмических неравенств Соболева

{\ displaystyle H_ {x} \ leq {\ frac {1} {2}} \ log (2e \ pi \ sigma _ {x} ^ {2} / x_ {0} ^ {2}) ~,}

{\ displaystyle H_ {p} \ leq {\ frac {1} {2}} \ log (2e \ pi \ sigma _ {p} ^ {2} / p_ {0} ^ {2}) ~,}

(эквивалентно, из того факта, что нормальные распределения максимизируют энтропию всех таких с заданной дисперсией), легко следует, что этот принцип энтропийной неопределенности сильнее, чем принцип, основанный на стандартных отклонениях , поскольку

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ exp \ left (H_ {x} + H_ {p} - \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2 \, x_ {0} \, p_ {0}}} \ right) \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} ~.}

Другими словами, принцип неопределенности Гейзенберга является следствием квантового принципа энтропийной неопределенности, но не наоборот. Несколько замечаний по поводу этих неравенств. Во-первых, выбор основания e является общепринятым в физике. В качестве альтернативы логарифм может быть с любым основанием при условии, что он согласован с обеими сторонами неравенства. Во-вторых, напомним, что использовалась энтропия Шеннона , а не квантовая энтропия фон Неймана . Наконец, нормальное распределение насыщает неравенство, и это единственное распределение с этим свойством, потому что это максимальное распределение вероятности энтропии среди тех, у кого фиксированная дисперсия (см. Здесь для доказательства).

Энтропийная неопределенность нормального распределения

Мы демонстрируем этот метод на основном состоянии QHO, которое, как обсуждалось выше, насыщает обычную неопределенность, основанную на стандартных отклонениях. Масштаб длины можно установить так, как вам удобно, поэтому мы назначаем

{\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ psi (x) & = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {m \ omega x ^ {2}} {2 \ hbar}} \ right)} \\ & = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi x_ {0} ^ {2}}} \ right) ^ {1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {x ^ {2}} {4x_ {0} ^ {2}}} \ right)} \ end {align}}}

Распределение вероятностей - нормальное распределение

{\ displaystyle | \ psi (x) | ^ {2} = {\ frac {1} {x_ {0} {\ sqrt {2 \ pi}}}}} \ exp {\ left (- {\ frac {x ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2}}} \ right)}}

с энтропией Шеннона

{\ displaystyle {\ begin {align} H_ {x} & = - \ int | \ psi (x) | ^ {2} \ ln (| \ psi (x) | ^ {2} \ cdot x_ {0}) \, dx \\ & = - {\ frac {1} {x_ {0} {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp {\ left (- {\ frac {x ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2}}} \ right)} \ ln \ left [{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ exp {\ left (- {\ frac {x ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2}}} \ right)} \ right] \, dx \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp {\ left (- {\ frac {u ^ {2}} {2}} \ right)} \ left [\ ln ({\ sqrt {2 \ pi}}) + {\ frac {u ^ {2}} {2}} \ right] \, du \\ & = \ ln ({\ sqrt {2 \ pi}}) + {\ frac {1} {2}}. \ End {align}}}

Совершенно аналогичный расчет проводится для импульсного распределения. Выбираем стандартный импульс : ${\ displaystyle p_ {0} = \ hbar / x_ {0}}$

{\ displaystyle \ varphi (p) = \ left ({\ frac {2x_ {0} ^ {2}} {\ pi \ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right)}}

{\ displaystyle | \ varphi (p) | ^ {2} = {\ sqrt {\ frac {2x_ {0} ^ {2}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}} \ exp {\ left (- {\ frac {2x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right)}}

{\ Displaystyle {\ begin {align} H_ {p} & = - \ int | \ varphi (p) | ^ {2} \ ln (| \ varphi (p) | ^ {2} \ cdot \ hbar / x_ { 0}) \, dp \\ & = - {\ sqrt {\ frac {2x_ {0} ^ {2}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp {\ left (- {\ frac {2x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right)} \ ln \ left [{\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ exp {\ left (- {\ frac {2x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right)} \ right ] \, dp \\ & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ exp {\ left (-2v ^ {2} \ right )} \ left [\ ln \ left ({\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ right) + 2v ^ {2} \ right] \, dv \\ & = \ ln \ left ({ \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ right) + {\ frac {1} {2}}. \ end {align}}}

Таким образом, энтропийная неопределенность является предельным значением.

{\ displaystyle {\ begin {align} H_ {x} + H_ {p} & = \ ln ({\ sqrt {2 \ pi}}) + {\ frac {1} {2}} + \ ln \ left ( {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ right) + {\ frac {1} {2}} \\ & = 1+ \ ln \ pi = \ ln (e \ pi). \ end {выровнено}}}

У измерительного устройства будет конечное разрешение, задаваемое дискретизацией его возможных выходных сигналов в ячейки с вероятностью попадания в одну из ячейок, заданных правилом Борна. Мы рассмотрим наиболее распространенную экспериментальную ситуацию, в которой бины имеют одинаковый размер. Пусть δx - мера пространственного разрешения. Мы предполагаем, что нулевой интервал центрирован около начала координат, возможно, с небольшим постоянным смещением c . Вероятность попадания в j-й интервал шириной δx равна

{\ displaystyle \ operatorname {P} [x_ {j}] = \ int _ {(j-1/2) \ delta xc} ^ {(j + 1/2) \ delta xc} | \ psi (x) | ^ {2} \, dx}

Чтобы учесть эту дискретизацию, мы можем определить энтропию Шеннона волновой функции для данного измерительного прибора как

{\ displaystyle H_ {x} = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {P} [x_ {j}] \ ln \ operatorname {P} [x_ {j}].}

Согласно приведенному выше определению, отношение энтропийной неопределенности имеет вид

{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p}> \ ln \ left ({\ frac {e} {2}} \ right) - \ ln \ left ({\ frac {\ delta x \ delta p} {h }}\право).}

Здесь мы отметим, что $δx δp / h$ - типичный бесконечно малый объем фазового пространства, используемый при вычислении статистической суммы . Неравенство также строгое и ненасыщенное. Усилия по улучшению этой границы - активная область исследований.

Пример нормального распределения

Сначала мы продемонстрируем этот метод на основном состоянии QHO, которое, как обсуждалось выше, насыщает обычную неопределенность, основанную на стандартных отклонениях.

{\ displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {m \ omega) x ^ {2}} {2 \ hbar}} \ right)}}

Вероятность попадания в один из этих интервалов может быть выражена через функцию ошибок .

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {P} [x_ {j}] & = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}}} \ int _ {(j-1 / 2) \ delta x} ^ {(j + 1/2) \ delta x} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega x ^ {2}} {\ hbar}} \ right) \, dx \ \ & = {\ sqrt {\ frac {1} {\ pi}}} \ int _ {(j-1/2) \ delta x {\ sqrt {m \ omega / \ hbar}}} ^ {(j + 1/2) \ delta x {\ sqrt {m \ omega / \ hbar}}} e ^ {u ^ {2}} \, du \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left [\ имя оператора {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) \ delta x \ cdot {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2}} \ right) \ delta x \ cdot {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} \ right ) \ right] \ end {выровнено}}}

Вероятности импульса полностью аналогичны.

{\ displaystyle \ operatorname {P} [p_ {j}] = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}}) \ right) \ delta p \ cdot {\ frac {1} {\ sqrt {\ hbar m \ omega}}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} { 2}} \ right) \ delta x \ cdot {\ frac {1} {\ sqrt {\ hbar m \ omega}}} \ right) \ right]}

Для простоты установим разрешения на

{\ displaystyle \ delta x = {\ sqrt {\ frac {h} {m \ omega}}}}

{\ displaystyle \ delta p = {\ sqrt {hm \ omega}}}

так что вероятности уменьшаются до

{\ displaystyle \ operatorname {P} [x_ {j}] = \ operatorname {P} [p_ {j}] = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2} } \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) \ right]}

Энтропию Шеннона можно оценить численно.

{\ displaystyle {\ begin {align} H_ {x} = H_ {p} & = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {P} [x_ {j}] \ ln \ имя оператора {P} [x_ {j}] \\ & = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1}) {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) \ right] \ ln {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + { \ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2}} \ right ) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) \ right] & \ приблизительно 0,3226 \ end {align}}}

Энтропийная неопределенность действительно больше предельного значения.

{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ приблизительно 0,3226 + 0,3226 = 0,6452> \ ln \ left ({\ frac {e} {2}} \ right) - \ ln 1 \ приблизительно 0,3069}

Обратите внимание, что, несмотря на то, что неравенство находится в оптимальном случае, неравенство не насыщается.

Пример функции Sinc

Примером унимодального распределения с бесконечной дисперсией является функция sinc . Если волновая функция является правильно нормированным равномерным распределением,

{\ displaystyle \ psi (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {\ sqrt {2a}}} & {\ text {for}} | x | \ leq a, \\ [8pt] 0 & {\ text {for}} | x |> a \ end {case}}}

то его преобразование Фурье является функцией sinc,

{\ displaystyle \ varphi (p) = {\ sqrt {\ frac {a} {\ pi \ hbar}}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {ap} {\ hbar}} \ right) }

что дает бесконечную дисперсию импульса, несмотря на централизованную форму. С другой стороны, энтропийная неопределенность конечна. Предположим для простоты, что пространственное разрешение - это просто измерение с двумя ячейками , δx = a , и что разрешение по импульсу составляет δp = h / a .

Разделить равномерное пространственное распределение на две равные ячейки несложно. Мы устанавливаем смещение c = 1/2, чтобы два интервала охватывали распределение.

{\ displaystyle \ operatorname {P} [x_ {0}] = \ int _ {- a} ^ {0} {\ frac {1} {2a}} \, dx = {\ frac {1} {2}} }

{\ displaystyle \ operatorname {P} [x_ {1}] = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {1} {2a}} \, dx = {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle H_ {x} = - \ sum _ {j = 0} ^ {1} \ operatorname {P} [x_ {j}] \ ln \ operatorname {P} [x_ {j}] = - {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1} {2}} = \ ln 2}

Бины для импульса должны охватывать всю реальную линию. Как и в случае с пространственным распределением, мы можем применить смещение. Однако оказывается, что энтропия Шеннона минимизируется, когда нулевой интервал для импульса центрируется в начале координат. (Читателю предлагается попробовать добавить смещение.) Вероятность нахождения в пределах произвольного интервала импульса может быть выражена через синусоидальный интеграл .

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {P} [p_ {j}] & = {\ frac {a} {\ pi \ hbar}} \ int _ {(j-1/2) \ delta p} ^ {(j + 1/2) \ delta p} \ operatorname {sinc} ^ {2} \ left ({\ frac {ap} {\ hbar}} \ right) \, dp \\ & = {\ frac { 1} {\ pi}} \ int _ {2 \ pi (j-1/2)} ^ {2 \ pi (j + 1/2)} \ operatorname {sinc} ^ {2} (u) \, du \\ & = {\ frac {1} {\ pi}} \ left [\ operatorname {Si} ((4j + 2) \ pi) - \ operatorname {Si} ((4j-2) \ pi) \ right] \ конец {выровнено}}}

Энтропию Шеннона можно оценить численно.

{\ displaystyle H_ {p} = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {P} [p_ {j}] \ ln \ operatorname {P} [p_ {j}] = - \ operatorname {P} [p_ {0}] \ ln \ operatorname {P} [p_ {0}] - 2 \ cdot \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {P} [p_ {j }] \ ln \ operatorname {P} [p_ {j}] \ приблизительно 0,53}

Энтропийная неопределенность действительно больше предельного значения.

{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ приблизительно 0,69 + 0,53 = 1,22> \ ln \ left ({\ frac {e} {2}} \ right) - \ ln 1 \ приблизительно 0,31}

Неравенство Ефимова по матрицам Паули

В 1976 г. Сергей П. Ефимов вывел неравенство, уточняющее соотношение Робертсона с помощью коммутаторов высокого порядка. Его подход основан на матрицах Паули . Позднее В. В. Додонов использовал этот метод для вывода соотношений для нескольких наблюдаемых с помощью алгебры Клиффорда .

По словам Джеки, неопределенность Робертсона действительна только тогда, когда коммутатор является C-номером. Метод Ефимова эффективен для переменных, имеющих коммутаторы высокого порядка - например, для оператора кинетической энергии и для координатного оператора. Рассмотрим два оператора и которые имеют коммутатор : ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {C}}}$

{\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] = {\ hat {C}}.}

Для сокращения формул воспользуемся оператором отклонений:

{\ displaystyle \ delta {\ hat {A}} = {\ hat {A}} - \ left \ langle {\ hat {A}} \ right \ rangle}

,

когда новые операторы имеют нулевое среднее отклонение. Чтобы использовать матрицы Паули, мы можем рассмотреть оператор:

{\ displaystyle {\ hat {F}} = \ gamma _ {1} \, \ delta {\ hat {A}} \, \ sigma _ {1} + \ gamma _ {2} \, \ delta {\ hat {B}} \, \ sigma _ {2} + \ gamma _ {3} \, \ delta {\ hat {C}} \, \ sigma _ {3},}

где спиновые матрицы 2 × 2 имеют коммутаторы: ${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$

{\ displaystyle \ left [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {k} \ right] = \, i \, e_ {ikl} \ sigma _ {l},}

где антисимметричный символ . Они действуют в пространстве вращения независимо от . Матрицы Паули определяют алгебру Клиффорда . Возьмем произвольные числа в операторе действительными. ${\ displaystyle e_ {ikl}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ hat {A}} {,} \, \ delta {\ hat {B}} {,} \, \ delta {\ hat {C}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {я}}$ ${\ displaystyle {\ hat {F}}}$

Физический квадрат оператора равен:

{\ displaystyle {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+} = \ gamma _ {1} ^ {2} (\, \ delta {\ hat {A}} \ delta {\ hat { A}} ^ {+}) + \ gamma _ {2} ^ {2} (\, \ delta {\ hat {B}} \ delta {\ hat {B}} ^ {+}) + \ gamma _ { 3} ^ {2} (\, \ delta {\ hat {C}} \ delta {\ hat {C}} ^ {+}) + \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \, {\ hat {C}} \, \ sigma _ {3} + \ gamma _ {2} \ gamma _ {3} \, {\ hat {C}} _ ​​{2} \, \ sigma _ {1} - \ gamma _ {1} \ gamma _ {3} \, {\ hat {C}} _ ​​{3} \, \ sigma _ {2},}

где - сопряженный оператор и коммутаторы и следующие: ${\ displaystyle {\ hat {F}} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ hat {C}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {C}} _ {3}}$

{\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{2} = i \ left [\ delta {\ hat {B}}, {\ hat {C}} \ right], \ qquad {\ hat {C}} _ {3} = i \ left [\ delta {\ hat {A}}, {\ hat {C}} \ right].}

Оператор положительно определен, что необходимо для получения неравенства ниже. Взяв среднее значение по состоянию , получаем положительно определенную матрицу 2 × 2: ${\ displaystyle {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ psi \ right | {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+} \ left | \ psi \ right \ rangle & = \ gamma _ {1} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle + \ gamma _ {2} ^ {2} \, \ left \ langle ( \ delta {\ hat {B}}) ^ {2} \ right \ rangle + \ gamma _ {3} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta {\ hat {C}}) ^ {2} \ right \ rangle + \\ & + \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \, \ left \ langle {\ hat {C}} \ right \ rangle \, \ sigma _ {3} + \ gamma _ {2} \ gamma _ {3} \, \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{2} \ right \ rangle \, \ sigma _ {1} - \ gamma _ {1} \ gamma _ {3 } \, \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{3} \ right \ rangle \, \ sigma _ {2}, \ end {align}}}

где употреблено понятие:

{\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}} \ delta A ^ {+}) \ право \ rangle}

и аналогичный для операторов . Учитывая, что коэффициенты в уравнении произвольны, получаем положительно определенную матрицу 6 × 6. Критерий Сильвестра гласит, что его ведущие основные несовершеннолетние неотрицательны. Неопределенность Робертсона следует из второстепенной четвертой степени . Для усиления результата вычисляем определитель шестого порядка: ${\ Displaystyle B, \, C}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {я}}$

${\ displaystyle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {A}}) ^ {2}} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {B}}) ^ {2}} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {C}}) ^ {2}} \ right \ rangle \ geq {\ frac {1} {4}} \ left \ langle {\ hat {C} } \ right \ rangle ^ {2} \ left \ langle {(\ delta {\ hat {C}}) ^ {2}} \ right \ rangle + {\ frac {1} {4}} \ left \ langle ( \ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ hat {C}} _ {2} \ right \ rangle ^ {2} + {\ frac {1} {4 }} \ left \ langle (\ delta {\ hat {B}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ hat {C}} _ {3} \ right \ rangle ^ {2}}$

Равенство наблюдается только тогда, когда состояние является собственным состоянием для оператора, а также для спиновых переменных: ${\ displaystyle {\ hat {F}}}$

{\ displaystyle {\ hat {F}} \, {\ left | \ psi \ right \ rangle} {\ left | {\ hat {s}} \ right \ rangle} = 0}

.

Найденное соотношение применимо как к оператору кинетической энергии, так и к оператору координаты : ${\ displaystyle {\ hat {E}} _ {kin} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {x}}}$

${\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta {\ hat {\ mathbf {x}}}) ^ {2} \ right \ rangle \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle ^ {2} + {\ frac { \ hbar ^ {2}} {2}} \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {p}} ) ^ {2} \ right \ rangle ^ {- 1}}$

В частности, равенство в формуле наблюдается для основного состояния осциллятора, а правая часть неопределенности Робертсона обращается в нуль:

{\ displaystyle \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle = 0}

.

Физический смысл соотношения более ясен, если разделить его на квадрат ненулевого среднего импульса, что даст:

${\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle (\ delta t) ^ {2} \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4 }} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {p}}) ^ {2} \ right \ rangle ^ {- 1} \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle ^ {- 2},}$

где - квадрат эффективного времени, в течение которого частица движется вблизи средней траектории (масса частицы равна 1). ${\ displaystyle (\ delta t) ^ {2} = \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {x}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle \ mathbf {\,} {\ шляпа {p}} \, \ right \ rangle ^ {- 2}}$

Метод применим для трех некоммутирующих операторов углового момента . Компилируем оператор: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {L}}}$

{\ displaystyle {\ hat {F}} = \ gamma _ {1} \, \ delta {\ hat {L}} _ {x} \, \ sigma _ {1} + \ gamma _ {2} \, \ delta {\ hat {L}} _ {y} \, \ sigma _ {2} + \ gamma _ {3} \, \ delta {\ hat {L}} _ {z} \, \ sigma _ {3} .}

Напомним, что операторы являются вспомогательными и между спиновыми переменными частицы нет связи. Таким образом, важны только их коммутативные свойства. Оператор возведения в квадрат и усреднение дает положительно определенную матрицу, из которой получаем следующее неравенство: ${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$ ${\ displaystyle {\ hat {F}}}$

${\ displaystyle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {x})} ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {y })} ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {z})} ^ {2}) \ right \ rangle \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ left \ langle (\ delta {\ hat {L}} _ {i}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ hat {L}} _ {i} \ right \ rangle ^ {2}}$

Для разработки метода для группы операторов можно использовать алгебру Клиффорда вместо матриц Паули.

Гармонический анализ

В контексте гармонического анализа , раздела математики, принцип неопределенности подразумевает, что нельзя одновременно локализовать значение функции и ее преобразование Фурье . А именно, имеет место неравенство

{\ displaystyle \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} | f (x) | ^ {2} \, dx \ right) \ left (\ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \ xi ^ {2} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi \ right) \ geq {\ frac {\ | f \ | _ { 2} ^ {4}} {16 \ pi ^ {2}}}.}

Другие неравенства математической неопределенности, включая указанную выше энтропийную неопределенность , имеют место между функцией $f$ и ее преобразованием Фурье $ƒ̂$ :

{\ displaystyle H_ {x} + H _ {\ xi} \ geq \ log (e / 2)}

Обработка сигналов

В контексте обработки сигналов и, в частности, частотно-временного анализа принципы неопределенности упоминаются как предел Габора после Денниса Габора или иногда предел Гейзенберга-Габора . Основной результат, который следует из «теоремы Бенедикса» ниже, состоит в том, что функция не может быть одновременно ограниченной по времени и по полосе (функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь ограниченную область) - см. Ограничение по полосе в сравнении с ограничением по времени . Таким образом

{\ displaystyle \ sigma _ {t} \ cdot \ sigma _ {f} \ geq {\ frac {1} {4 \ pi}} \ примерно 0,08 {\ text {циклы}}}

где и - стандартные отклонения оценок времени и частоты соответственно. ${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {f}}$

Иначе говоря, «Нельзя одновременно точно локализовать сигнал (функцию $f$ ) как во временной области, так и в частотной ( $ƒ̂$ , его преобразование Фурье)».

При применении к фильтрам результат означает, что нельзя одновременно достичь высокого временного и частотного разрешения; конкретным примером являются проблемы разрешения кратковременного преобразования Фурье: если используется широкое окно, хорошее разрешение по частоте достигается за счет временного разрешения, в то время как узкое окно имеет противоположный компромисс.

Альтернативные теоремы дают более точные количественные результаты, и в частотно-временном анализе, вместо того, чтобы интерпретировать (одномерные) временную и частотную области по отдельности, вместо этого предел интерпретируется как нижний предел для поддержки функции в (2 -мерная) частотно-временная плоскость. На практике предел Габора ограничивает одновременное частотно-временное разрешение, которое можно достичь без помех; можно достичь более высокого разрешения, но за счет того, что различные компоненты сигнала будут мешать друг другу.

В результате, чтобы анализировать сигналы, в которых важны переходные процессы, вместо преобразования Фурье часто используется вейвлет-преобразование .

DFT-принцип неопределенности

Существует принцип неопределенности, который использует разреженность сигнала (или количество ненулевых коэффициентов).

Позвольте быть последовательность N комплексных чисел и ее дискретное преобразование Фурье . ${\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {x_ {n}} \ right \}: = x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {N-1}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {X_ {k}} \ right \}: = X_ {0}, X_ {1}, \ ldots, X_ {N-1},}$

Обозначим количеством ненулевых элементов во временной последовательности и количеством ненулевых элементов в частотной последовательности . Затем, ${\ Displaystyle \ | х \ | _ {0}}$ ${\ Displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {N-1}}$ ${\ displaystyle \ | X \ | _ {0}}$ ${\ Displaystyle X_ {0}, X_ {1}, \ ldots, X_ {N-1}}$

{\ Displaystyle N \ Leq \ | х \ | _ {0} \ cdot \ | X \ | _ {0}.}

Теорема Бенедикса

Теорема Амрейна – Бертье и Бенедикса интуитивно утверждает, что множество точек, где $f$ не равно нулю, и множество точек, где $ƒ̂$ не равно нулю, не могут быть одновременно малыми.

В частности, это невозможно для функции $F$ в $L 2 (R)$ и ее преобразование Фурье $ƒ$ , чтобы быть оба поддерживаются на множествах конечной меры Лебега . Более количественная версия

{\ Displaystyle \ | е \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {R} ^ {d})} \ leq Ce ^ {C | S || \ Sigma |} {\ bigl (} \ | f \ | _ {L ^ {2} (S ^ {c})} + \ | {\ hat {f}} \ | _ {L ^ {2} (\ Sigma ^ {c})} {\ bigr)} ~ .}

Ожидается, что множитель $Ce C | S || Σ |$ можно заменить на $Ce C (| S || Σ |) 1 / d$ , который известен только в том случае, если $S$ или $Σ$ выпуклые.

Принцип неопределенности Харди

Математик Г. Х. Харди сформулировал следующий принцип неопределенности: невозможно, чтобы $f$ и $ƒ̂$ оба «очень быстро убывали». В частности, если $f$ in таково, что ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

{\ Displaystyle | е (х) | \ leq C (1+ | х |) ^ {N} е ^ {- а \ пи х ^ {2}}}

и

{\ Displaystyle | {\ шляпа {f}} (\ xi) | \ leq C (1+ | \ xi |) ^ {N} e ^ {- b \ pi \ xi ^ {2}}}

( целое число),

{\ displaystyle C> 0, N}

тогда, если $ab > 1, f = 0$ , а если $ab = 1$ , то существует многочлен $P$ степени $\leq N$ такой, что

{\ Displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- a \ pi x ^ {2}}.}

Позже это было улучшено следующим образом: если так , что ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {d})}$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} | f (x) || {\ hat {f}} (\ xi) | {\ frac {e ^ {\ pi | \ langle x, \ xi \ rangle |}} {(1+ | x | + | \ xi |) ^ {N}}} \, dx \, d \ xi <+ \ infty ~,}

затем

{\ Displaystyle е (х) = п (х) е ^ {- \ пи \ langle Ax, х \ rangle} ~,}

где $P$ - многочлен степени $(N - d) / 2,$ а $A$ - вещественная положительно определенная матрица размера $d \times d$ .

Этот результат был сформулирован в полных работах Бёрлинга без доказательства и доказан в Хёрмандере (случай ) и Бонами, Деманже и Джаминге для общего случая. Обратите внимание, что из версии Хёрмандера-Берлинга следует случай $ab$ $> 1$ в теореме Харди, в то время как версия Бонами-Деманжа-Джейминга охватывает всю силу теоремы Харди. Другое доказательство теоремы Бёрлинга, основанное на теореме Лиувилля, появилось в [4]. ${\ displaystyle d = 1, N = 0}$

Полное описание случая $ab <1,$ а также следующее расширение распределений классов Шварца можно найти в ссылке.

Теорема. Если умеренное распределение таково, что ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {d})}$

{\ Displaystyle е ^ {\ пи | х | ^ {2}} е \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {d})}

и

{\ displaystyle e ^ {\ pi | \ xi | ^ {2}} {\ hat {f}} \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {d}) ~,}

затем

{\ Displaystyle е (х) = п (х) е ^ {- \ пи \ langle Ax, х \ rangle} ~,}

для некоторого удобного многочлена $P$ и вещественной положительно определенной матрицы $A$ типа $d \times d$ .

История

Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности в институте Нильса Бора в Копенгагене, работая над математическими основами квантовой механики.

Вернер Гейзенберг и Нильс Бор

В 1925 году, после новаторской работы с Хендриком Крамерсом , Гейзенберг разработал матричную механику , которая заменила специальную старую квантовую теорию современной квантовой механикой. Центральная посылка заключалась в том, что классическая концепция движения не подходит на квантовом уровне, поскольку электроны в атоме не движутся по четко определенным орбитам. Скорее, их движение странным образом размыто: преобразование Фурье его зависимости от времени включает только те частоты, которые можно было наблюдать в квантовых скачках их излучения.

Статья Гейзенберга не допускала каких-либо ненаблюдаемых величин, таких как точное положение электрона на орбите в любое время; он только позволил теоретику говорить о фурье-компонентах движения. Поскольку компоненты Фурье не были определены на классических частотах, их нельзя было использовать для построения точной траектории , так что формализм не мог ответить на некоторые слишком точные вопросы о том, где находится электрон или как быстро он движется.

В марте 1926 г., работая в институте Бора, Гейзенберг осознал, что некоммутативность подразумевает принцип неопределенности. Этот вывод обеспечил ясную физическую интерпретацию некоммутативности и заложил основу для того, что стало известно как копенгагенская интерпретация квантовой механики. Гейзенберг показал, что коммутационное отношение подразумевает неопределенность или, говоря языком Бора, дополнительность . Любые две переменные, которые не коммутируют, нельзя измерить одновременно - чем точнее известна одна, тем менее точно может быть известна другая. Гейзенберг писал:

В простейшей форме это можно выразить следующим образом: невозможно узнать с полной точностью оба этих двух важных фактора, которые определяют движение одной из мельчайших частиц, - ее положение и скорость. Невозможно точно определить как положение и направление и скорость частицы в тот же момент .

В своей знаменитой статье 1927 года «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik» («О перцептивном содержании квантовой теоретической кинематики и механики») Гейзенберг установил это выражение как минимальную величину неизбежного возмущения импульса, вызываемого любым измерением положения. но он не дал точного определения неопределенностей Δx и Δp. Вместо этого он дал правдоподобные оценки для каждого случая отдельно. В своей лекции в Чикаго он уточнил свой принцип:

{\ displaystyle \ Delta x \, \ Delta p \ gtrsim h}

(1)

Кеннард в 1927 году впервые доказал современное неравенство:

{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}

(2)

где $ħ = час / 2 π$ , а $σ x$ , $σ p$ - стандартные отклонения положения и импульса. Гейзенберг доказал соотношение ( 2 ) только для частного случая гауссовских состояний.

Терминология и перевод

В основной части своей оригинальной статьи 1927 года, написанной на немецком языке, Гейзенберг использовал слово «Ungenauigkeit» («неопределенность») для описания основного теоретического принципа. Только в примечании он перешел на слово «Unsicherheit» («неопределенность»). Однако, когда в 1930 году была опубликована англоязычная версия учебника Гейзенберга « Физические принципы квантовой теории» , в переводе был использован термин «неопределенность», который впоследствии стал более широко используемым термином на английском языке.

Микроскоп Гейзенберга

Гамма-микроскоп Гейзенберга для обнаружения электрона (показан синим цветом). Входящий гамма-луч (показан зеленым) рассеивается электроном вверх на угол раскрытия микроскопа θ . Рассеянное гамма-излучение показано красным цветом. Классическая оптика показывает, что положение электрона можно определить только с точностью Δ x, которая зависит от θ и длины волны λ входящего света.

Этот принцип довольно противоречит интуиции, поэтому первых студентов, изучающих квантовую теорию, нужно было заверить в том, что наивные измерения, нарушающие его, всегда будут неработоспособными. Один из способов, которым Гейзенберг первоначально проиллюстрировал внутреннюю невозможность нарушения принципа неопределенности, - это использование эффекта наблюдателя воображаемого микроскопа в качестве измерительного устройства.

Он представляет себе экспериментатора, пытающегося измерить положение и импульс электрона , стреляя в него фотоном .

Проблема 1. Если фотон имеет короткую длину волны и, следовательно, большой импульс, его положение можно точно измерить. Но фотон рассеивается в случайном направлении, передавая электрону большой и неопределенный импульс. Если фотон имеет большую длину волны и малый импульс, столкновение не сильно нарушит импульс электрона, но рассеяние лишь смутно покажет его положение.

Проблема 2 - Если для микроскопа используется большая апертура , местоположение электрона может быть хорошо определено (см. Критерий Рэлея ); но по принципу сохранения импульса поперечный импульс падающего фотона влияет на импульс электронного пучка, и, следовательно, новый импульс электрона плохо разрешается. Если используется малая диафрагма, точность обоих разрешений будет наоборот.

Комбинация этих компромиссов означает, что независимо от того, какая длина волны фотона и размер апертуры используются, произведение неопределенности измеренного положения и измеренного импульса больше или равно нижнему пределу, который составляет (с точностью до небольшого числового коэффициента ) равной постоянной Планка . Гейзенберг не стал формулировать принцип неопределенности как точный предел и предпочел использовать его вместо этого как эвристическое количественное утверждение, исправляющее с точностью до небольших числовых факторов, что делает неизбежной радикально новую некоммутативность квантовой механики.

Критические реакции

Копенгагенская интерпретация квантовой механики и принцип неопределенности Гейзенберга фактически рассматривались хулителями, которые верили в лежащие в их основе детерминизм и реализм , как двойную мишень . Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, не существует фундаментальной реальности, которую описывает квантовое состояние , а есть только рецепт для расчета экспериментальных результатов. Невозможно сказать, каково фундаментальное состояние системы, только каковы могут быть результаты наблюдений.

Альберт Эйнштейн считал, что случайность является отражением нашего незнания некоторых фундаментальных свойств реальности, в то время как Нильс Бор считал, что распределения вероятностей являются фундаментальными и несводимыми и зависят от того, какие измерения мы выбираем для выполнения. Эйнштейн и Бор много лет обсуждали принцип неопределенности.

Идеал стороннего наблюдателя

Вольфганг Паули назвал фундаментальное возражение Эйнштейна против принципа неопределенности «идеалом стороннего наблюдателя» (фраза в переводе с немецкого):

«Подобно тому, как Луна имеет определенное положение, - сказал мне Эйнштейн прошлой зимой, - независимо от того, смотрим ли мы на Луну или нет, то же самое должно иметь место и для атомных объектов, поскольку между ними и макроскопическими объектами нет четкого различия. Наблюдение не может создать элемент реальности, такой как позиция, в полном описании физической реальности должно содержаться что-то, что соответствует возможности наблюдения позиции, еще до того, как наблюдение было фактически произведено ». Я надеюсь, что я правильно процитировал Эйнштейна; Всегда трудно цитировать кого-то по памяти, с кем не согласен. Именно такой постулат я называю идеалом стороннего наблюдателя.

Письмо Паули Нильсу Бору, 15 февраля 1955 г.

Щель Эйнштейна

Первый мысленный эксперимент Эйнштейна, бросающий вызов принципу неопределенности, состоял в следующем:

Рассмотрим частицу, проходящую через щель шириной

d

. Щель вносит неопределенность в импульсе приблизительно

час / d

потому что частица проходит сквозь стену. Но давайте определим импульс частицы, измерив отдачу стенки. При этом мы находим импульс частицы с произвольной точностью по сохранению импульса.

Ответ Бора заключался в том, что стенка также является квантово-механической и что для измерения отдачи с точностью $Δ p$ импульс стенки должен быть известен с этой точностью до того, как частица пройдет сквозь нее. Это вносит неопределенность в положение стены и, следовательно, положение щели, равное $час / Δ p$ , и если импульс стенки известен достаточно точно, чтобы измерить отдачу, положение щели достаточно неопределенно, чтобы не допустить измерения положения.

Аналогичный анализ с частицами, диффундирующими через множество щелей, дал Ричард Фейнман .

Ящик Эйнштейна

Бор присутствовал при предложении Эйнштейном мысленного эксперимента, известного как ящик Эйнштейна . Эйнштейн утверждал, что «уравнение неопределенности Гейзенберга подразумевает, что неопределенность во времени связана с неопределенностью энергии, а произведение этих двух значений связано с постоянной Планка» . Рассмотрим, сказал он, идеальную коробку с зеркалами, в которой может содержаться свет бесконечно долго. Ящик можно было взвесить до того, как часовой механизм откроет идеальную заслонку в выбранный момент, чтобы позволить одному фотону уйти. «Теперь мы знаем, - объяснил Эйнштейн, - точное время, когда фотон покинул коробку». «Теперь взвесьте коробку еще раз. Изменение массы говорит об энергии излучаемого света. Таким образом, сказал Эйнштейн, можно измерить испускаемую энергию и время ее высвобождения с любой желаемой точностью, что противоречит принципу неопределенности. . "

Бор провел бессонную ночь, обдумывая этот аргумент, и в конце концов понял, что он ошибочен. Он указал, что если бы ящик взвешивался, скажем, с помощью пружины и указателя на шкале, «поскольку ящик должен перемещаться вертикально с изменением своего веса, возникнет неопределенность в его вертикальной скорости и, следовательно, неопределенность в его высота над столом ... Более того, неопределенность в отношении высоты над земной поверхностью приведет к неопределенности в скорости хода часов "из-за собственной теории Эйнштейна о влиянии гравитации на время . «Через эту цепочку неопределенностей Бор показал, что эксперимент Эйнштейна со световым коробом не может одновременно точно измерить как энергию фотона, так и время его ухода».

Парадокс ЭПР для запутанных частиц

Бор был вынужден изменить свое понимание принципа неопределенности после другого мысленного эксперимента Эйнштейна. В 1935 году Эйнштейн, Подольский и Розен (см. Парадокс ЭПР ) опубликовали анализ широко разделенных запутанных частиц. Эйнштейн понимал, что измерение одной частицы изменит распределение вероятностей другой, но в этом случае другая частица не может быть нарушена. Этот пример заставил Бора пересмотреть свое понимание принципа и пришел к выводу, что неопределенность не была вызвана прямым взаимодействием.

Но Эйнштейн пришел к гораздо более далеко идущим выводам из того же мысленного эксперимента. Он верил в «естественное базовое предположение» о том, что полное описание реальности должно предсказывать результаты экспериментов на основе «локально изменяющихся детерминированных величин» и, следовательно, должно включать больше информации, чем максимально возможное, допускаемое принципом неопределенности.

В 1964 году Джон Белл показал, что это предположение можно опровергнуть, поскольку оно подразумевает определенное неравенство между вероятностями различных экспериментов. Экспериментальные результаты подтверждают предсказания квантовой механики, опровергая основное предположение Эйнштейна, которое привело его к предположению о его скрытых переменных . Эти скрытые переменные могут быть «скрыты» из-за иллюзии, возникающей при наблюдении за слишком большими или слишком маленькими объектами. Эту иллюзию можно сравнить с вращающимися лопастями вентилятора, которые, кажется, появляются и исчезают в разных местах, а иногда, при наблюдении, кажется, что они находятся в одном и том же месте в одно и то же время. Эта же иллюзия проявляется при наблюдении за субатомными частицами. И лопасти вентилятора, и субатомные частицы движутся так быстро, что наблюдатель видит иллюзию. Следовательно, возможно, что будет предсказуемость поведения и характеристик субатомных частиц для записывающего устройства, способного к очень высокоскоростному отслеживанию ... По иронии судьбы этот факт является одним из лучших свидетельств, подтверждающих философию признания недействительности Карла Поппера теории фальсификационными экспериментами . То есть здесь «основное предположение» Эйнштейна было опровергнуто экспериментами, основанными на неравенствах Белла . По поводу возражений Карла Поппера против самого неравенства Гейзенберга см. Ниже.

Хотя можно предположить, что квантово-механические предсказания обусловлены нелокальными скрытыми переменными, и на самом деле Дэвид Бом изобрел такую формулировку, такое разрешение не удовлетворяет подавляющее большинство физиков. Вопрос о том, предопределен ли случайный исход нелокальной теорией, может быть философским и потенциально трудноразрешимым. Если бы скрытые переменные не были ограничены, они могли бы быть просто списком случайных цифр, которые используются для получения результатов измерения. Чтобы сделать его разумным, предположение о нелокальных скрытых переменных иногда дополняется вторым предположением - что размер наблюдаемой вселенной ограничивает вычисления, которые могут выполнять эти переменные. Подобная нелокальная теория предсказывает, что квантовый компьютер столкнется с фундаментальными препятствиями при попытке разложить на множители числа, состоящие приблизительно из 10 000 цифр или более; потенциально достижимая задача в квантовой механике.

Критика Поппера

Карл Поппер подошел к проблеме неопределенности как логик и метафизический реалист . Он не согласился с применением соотношений неопределенности к отдельным частицам, а не к ансамблям идентично подготовленных частиц, назвав их «статистическими отношениями рассеяния». В этой статистической интерпретации конкретное измерение может быть выполнено с произвольной точностью, не опровергая квантовую теорию. Это прямо контрастирует с копенгагенской интерпретацией квантовой механики, которая не является детерминированной, но не содержит локальных скрытых переменных.

В 1934 году Поппер опубликовал Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen ( Критика отношений неопределенности ) в Naturwissenschaften , а в том же году Logik der Forschung (переведенный и обновленный автором как The Logic of Scientific Discovery в 1959 году), в котором излагаются его аргументы в пользу статистической интерпретация. В 1982 году он продолжил развитие своей теории квантовой теории и раскола в физике , написав:

Формулы [Гейзенберга], вне всякого сомнения, являются выводимыми статистическими формулами квантовой теории. Но их обычно неверно истолковывали те квантовые теоретики, которые говорили, что эти формулы можно интерпретировать как определение некоего верхнего предела точности наших измерений . [курсив оригинала]

Поппер предложил эксперимент по фальсификации соотношений неопределенностей, хотя позже он отказался от своей первоначальной версии после обсуждений с Вайцзеккером , Гейзенбергом и Эйнштейном ; этот эксперимент мог повлиять на постановку эксперимента ЭПР .

Многомировая неопределенность

Интерпретация многомировых первоначально изложены Эверетта в 1957 году частично означала согласовать различия между Эйнштейном и Борой вида, заменив Бор коллапса волновой функции с ансамблем детерминированных и независимых вселенными которых распределение определяются волновыми функциями и уравнения Шредингера . Таким образом, неопределенность в интерпретации многих миров следует из того, что каждый наблюдатель в любой вселенной не знает, что происходит в других вселенных.

Свободная воля

Некоторые ученые, включая Артура Комптона и Мартина Гейзенберга , предположили, что принцип неопределенности или, по крайней мере, общая вероятностная природа квантовой механики может быть свидетельством двухэтапной модели свободной воли. Одна критика, однако, заключается в том, что помимо основной роли квантовой механики как основы химии, нетривиальные биологические механизмы, требующие квантовой механики , маловероятны из-за быстрого времени декогеренции квантовых систем при комнатной температуре. Сторонники этой теории обычно говорят, что эта декогеренция преодолевается как экранированием, так и свободными от декогеренции подпространствами, обнаруженными в биологических клетках.

Термодинамика

Есть основания полагать, что нарушение принципа неопределенности также влечет за собой нарушение второго закона термодинамики .

Languages

In other projects

Принцип неопределенности - Uncertainty principle

Введение

Интерпретация волновой механики

Интерпретация матричной механики

Предел Гейзенберга

Соотношения неопределенностей Робертсона – Шредингера

Смешанные состояния

Соотношения неопределенностей Макконе – Пати

Фазовое пространство

Примеры

Контрпример

Примеры

Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора

Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовым начальным условием

Когерентные состояния

Частица в коробке

Постоянный импульс

Дополнительные отношения неопределенности

Систематические и статистические ошибки

Принцип квантовой энтропийной неопределенности

Неравенство Ефимова по матрицам Паули

Гармонический анализ

Обработка сигналов

DFT-принцип неопределенности

Теорема Бенедикса

Принцип неопределенности Харди

История

Терминология и перевод

Микроскоп Гейзенберга

Критические реакции

Идеал стороннего наблюдателя

Щель Эйнштейна

Ящик Эйнштейна

Парадокс ЭПР для запутанных частиц

Критика Поппера

Многомировая неопределенность

Свободная воля

Термодинамика

Смотрите также

Ноты

Ссылки

внешние ссылки