Реконструкция сигнала - Signal reconstruction

В обработке сигналов , восстановление обычно означает определение оригинального непрерывного сигнала из последовательности , равномерно распределенных выборок.

В этой статье используется обобщенный абстрактный математический подход к дискретизации и реконструкции сигналов. Для более практичного подхода, основанного на сигналах с ограниченной полосой частот, см. Формулу интерполяции Уиттекера – Шеннона .

Основной принцип

Пусть F - любой метод выборки, то есть линейное отображение гильбертова пространства квадратично интегрируемых функций в комплексное пространство . ${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

В нашем примере векторное пространство дискретизированных сигналов представляет собой n- мерное комплексное пространство. Любой предлагаемый обратный R к F ( формула реконструкции на жаргоне) должен отображаться в некоторое подмножество . Мы могли бы выбрать это подмножество произвольно, но если нам нужна формула восстановления R, которая также является линейным отображением, тогда мы должны выбрать n- мерное линейное подпространство . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Тот факт, что размеры должны согласовываться, связан с теоремой выборки Найквиста – Шеннона .

Здесь работает элементарный подход линейной алгебры. Пусть (все записи нулевые, кроме k- й записи, которая является единицей) или какой-либо другой базис . Для того, чтобы определить обратный для F , просто выбрать для каждого к , так что . Это однозначно определяет (псевдо-) обратное F . ${\ displaystyle d_ {k}: = (0, ..., 0,1,0, ..., 0)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle e_ {k} \ in L ^ {2}}$${\ Displaystyle F (e_ {k}) = d_ {k}}$

Конечно, можно сначала выбрать некоторую формулу восстановления, а затем либо вычислить некоторый алгоритм выборки из формулы восстановления, либо проанализировать поведение данного алгоритма выборки по отношению к данной формуле.

В идеале формула восстановления получается путем минимизации ожидаемой дисперсии ошибки. Это требует, чтобы либо была известна статистика сигнала, либо могла быть указана априорная вероятность сигнала. Тогда теория информационного поля является подходящим математическим формализмом для вывода оптимальной формулы восстановления.

Популярные формулы реконструкции

Пожалуй, наиболее широко используемая формула реконструкции выглядит следующим образом. Позвольте быть базисом в смысле гильбертова пространства; например, можно использовать эйконал ${\ Displaystyle \ {е_ {к} \}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$

${\ Displaystyle е_ {к} (т): = е ^ {2 \ пи ikt} \,}$ ,

хотя, конечно, возможны и другие варианты. Обратите внимание, что здесь индекс k может быть любым целым, даже отрицательным.

Тогда мы можем определить линейное отображение R следующим образом:

${\ Displaystyle R (d_ {k}) = e_ {k} \,}$

для каждого , где основа дается ${\ Displaystyle к = \ lfloor -n / 2 \ rfloor, ..., \ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor}$${\ displaystyle (d_ {k})}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ displaystyle d_ {k} (j) = e ^ {2 \ pi ijk \ over n}}$

(Это обычный дискретный базис Фурье.)

Выбор диапазона несколько произвольный, хотя он удовлетворяет требованию размерности и отражает обычное представление о том, что наиболее важная информация содержится в низких частотах. В некоторых случаях это неверно, поэтому необходимо выбрать другую формулу восстановления. ${\ Displaystyle к = \ lfloor -n / 2 \ rfloor, ..., \ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor}$

Аналогичный подход может быть получен при использовании вейвлетов вместо базисов Гильберта. Для многих приложений сегодня все еще не ясен лучший подход.

Смотрите также

• Сглаживание
• Теорема выборки Найквиста – Шеннона
• Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона

Рекомендации