Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона - Whittaker–Shannon interpolation formula

Интерполяционной формуле Уиттакер-Шеннона или синк интерполяции является способ построения непрерывного времени ограниченность полосы функции из последовательности действительных чисел. Даты формула вернуться к работам Э. Борелем в 1898 году, и ET Уиттакер в 1915 году, и была приведена в работах JM Уиттакер в 1935 году, а в формулировке выборки теоремы Найквиста-Шеннона по Клода Шеннона в 1949 г. Это также обычно называют интерполяционной формулой Шеннона и интерполяционной формуле Уиттекера . Е. Т. Уиттакер, опубликовавший ее в 1915 году, назвал ее « Кардинальной серией» .

Определение

На рисунке слева показана функция (серым / черным), которую отбирают и реконструируют (в золоте) при постоянно увеличивающейся плотности выборки, а на рисунке справа показан частотный спектр функции серого / черного, который не меняется. . Самая высокая частота в спектре составляет ½ ширины всего спектра. Ширина постоянно увеличивающейся розовой штриховки равна частоте дискретизации. Когда он охватывает весь частотный спектр, он вдвое превышает максимальную частоту, и именно тогда восстановленная форма волны совпадает с выбранной.

Для данной последовательности действительных чисел x [ n ] непрерывная функция

${\ displaystyle x (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \, {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t-nT} {T}) }\верно)\,}$

(где «sinc» обозначает нормированную функцию sinc ) имеет преобразование Фурье , X ( f ), ненулевые значения которого ограничены областью | f | ≤ 1 / (2 Тл ). Когда параметр T имеет единицы измерения в секундах, предел диапазона , 1 / (2 T ), имеет единицы цикла в секунду ( герц ). Когда последовательность x [ n ] представляет временные отсчеты на интервале T непрерывной функции, величина f _s = 1 / T известна как частота дискретизации , а f _s / 2 - соответствующая частота Найквиста . Когда дискретизированная функция имеет предел полосы B , меньший, чем частота Найквиста, x ( t ) является точной реконструкцией исходной функции. (См. Теорему о дискретизации .) В противном случае частотные компоненты выше частоты Найквиста «складываются» в суб-Найквистскую область X ( f ), что приводит к искажению. (См. Сглаживание .)

Эквивалентная формулировка: свертка / фильтр нижних частот

Формула интерполяции выводится в статье о теореме выборки Найквиста – Шеннона , в которой указывается, что ее также можно выразить как свертку бесконечной последовательности импульсов с функцией sinc :

${\ displaystyle x (t) = \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot \ underbrace {x (nT)} _ {x [n]} \ cdot \ delta \ left (t-nT \ right) \ right) \ circledast \ left ({\ frac {1} {T}} {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) \ right ).}$

Это эквивалентно фильтрации импульсной последовательности идеальным ( кирпичная стена ) фильтром нижних частот с усилением 1 (или 0 дБ) в полосе пропускания. Если частота дискретизации достаточно высока, это означает, что изображение основной полосы частот (исходный сигнал до дискретизации) передается без изменений, а другие изображения удаляются каменным фильтром.

Конвергенция

Формула интерполяции всегда сходится абсолютно и локально равномерно до тех пор, пока

${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}, \, n \ neq 0} \ left | {\ frac {x [n]} {n}} \ right | <\ infty.}$

По неравенству Гёльдера это выполняется, если последовательность принадлежит любому из пространств с 1 ≤  p  <∞, т. Е. ${\ Displaystyle \ scriptstyle (х [п]) _ {п \ in \ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left | x [n] \ right | ^ {p} <\ infty.}$

Это условие достаточно, но не обязательно. Например, сумма обычно сходится, если последовательность выборки происходит из выборки почти любого стационарного процесса , и в этом случае последовательность выборок не суммируется в квадрате и не находится в каком-либо пространстве. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}$

Стационарные случайные процессы

Если x [ n ] представляет собой бесконечную последовательность выборок функции выборки стационарного процесса в широком смысле , то она не является членом какого- либо пространства или пространства L ^p с вероятностью 1; то есть бесконечная сумма выборок, возведенных в степень p , не имеет конечного ожидаемого значения. Тем не менее, формула интерполяции сходится с вероятностью 1. Сходимость легко показать, вычислив дисперсии усеченных членов суммирования и показывая, что дисперсию можно сделать сколь угодно малой, выбрав достаточное количество членов. Если среднее значение процесса не равно нулю, то необходимо рассмотреть пары терминов, чтобы также показать, что ожидаемое значение усеченных терминов сходится к нулю. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p}}$

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие, при котором сумма сходится к исходной функции, также должно быть другим. Стационарный случайный процесс действительно имеет автокорреляционную функцию и, следовательно, спектральную плотность согласно теореме Винера – Хинчина . Подходящим условием для сходимости к функции выборки из процесса является то, чтобы спектральная плотность процесса была равна нулю на всех частотах, равных половине частоты дискретизации и выше.

Смотрите также