Релятивистские уравнения Эйлера - Relativistic Euler equations

В механике жидкости и астрофизике , что релятивистские уравнения Эйлера являются обобщением уравнений Эйлера , которые составляют для эффектов общей теории относительности . У них есть приложения в астрофизике высоких энергий и численной теории относительности , где они обычно используются для описания таких явлений, как гамма-всплески , явления аккреции и нейтронные звезды , часто с добавлением магнитного поля . Примечание: для согласования с литературой в этой статье используются натуральные единицы , а именно скорость света и соглашение Эйнштейна о суммировании . ${\ displaystyle c = 1}$

Мотивация

Для большинства наблюдаемых на Земле жидкостей достаточно традиционной механики жидкости, основанной на механике Ньютона. Однако, когда скорость жидкости приближается к скорости света или движется через сильные гравитационные поля, или когда давление приближается к плотности энергии ( ), эти уравнения перестают действовать. Такие ситуации часто возникают в астрофизических приложениях. Например, гамма-всплески часто имеют скорости, только меньшие скорости света, а нейтронные звезды обладают гравитационными полями, которые более чем в разы сильнее земных. В этих чрезвычайных обстоятельствах достаточно только релятивистской обработки жидкостей. ${\ Displaystyle P \ sim \ rho}$ ${\ displaystyle 0,01 \%}$ ${\ displaystyle 10 ^ {11}}$

Вступление

В уравнении движения содержится в уравнении непрерывности в тензора энергии : ${\ Displaystyle Т ^ {\ му \ ню}}$

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0,}

где - ковариантная производная . Для идеальной жидкости , ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \, = (e + p) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + pg ^ {\ mu \ nu}.}

Здесь - полная плотность массы-энергии (включая массу покоя и плотность внутренней энергии) жидкости, - давление жидкости , - четырехскоростная скорость жидкости, и - метрический тензор . К приведенным выше уравнениям обычно добавляют заявление о сохранении , обычно о сохранении барионного числа . Если это плотность из барионов это может быть указано ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle u ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle г ^ {\ му \ ню}}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} (nu ^ {\ mu}) = 0.}

Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если трехскоростная жидкость намного меньше скорости света, давление намного меньше плотности энергии , а в последней преобладает плотность массы покоя. Чтобы замкнуть эту систему, также добавляется уравнение состояния , например, идеального газа или ферми-газа .

Уравнения движения в плоском пространстве

В случае плоского пространства, то есть и с использованием сигнатуры метрики из уравнения движения являются, ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle (-, +, +, +)}$

{\ displaystyle (e + p) u ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ nu} = - \ partial ^ {\ nu} pu ^ {\ nu} u ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} p}

Где плотность энергии системы, где давление и скорость системы с четырьмя скоростями . ${\ Displaystyle е = \ гамма \ ро с ^ {2} + \ ро \ эпсилон}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle и ^ {\ му} = \ гамма (1, {\ гидроразрыва {\ mathbf {v}} {c}})}$

Раскладывая суммы и уравнения, мы имеем (используя в качестве материальной производной ) ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}}}$

{\ displaystyle (e + p) {\ frac {\ gamma} {c}} {\ frac {du ^ {\ mu}} {dt}} = - \ partial ^ {\ mu} p - {\ frac {\ гамма} {c}} {\ frac {dp} {dt}} u ^ {\ mu}}

Затем, наблюдая за поведением самой скорости, мы видим, что уравнения движения становятся ${\ displaystyle u ^ {\ nu} = u ^ {i} = {\ frac {\ gamma} {c}} v_ {i}}$

{\ displaystyle (e + p) {\ frac {\ gamma} {c ^ {2}}} {\ frac {d} {dt}} (\ gamma v_ {i}) = - \ partial _ {i} p - {\ frac {\ gamma ^ {2}} {c ^ {2}}} {\ frac {dp} {dt}} v_ {i}}

Обратите внимание, что принимая нерелятивистский предел, мы имеем . Это говорит о том, что в системе преобладает энергия покоя рассматриваемой жидкости. ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} (e + p) = \ gamma \ rho + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ rho \ epsilon + {\ frac {1} {c ^ {2}}} p \ приблизительно \ rho}$

В этом пределе у нас есть и , и мы видим, что мы возвращаем уравнение Эйлера для . ${\ displaystyle \ gamma \ rightarrow 1}$ ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ rho {\ frac {dv_ {i}} {dt}} = - \ partial _ {i} p}$

Вывод уравнений движения.

Для определения уравнений движения воспользуемся следующим условием тензора пространственной проекции:

{\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} + u _ {\ alpha} u ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} = 0 ^ {\ nu}}

Мы докажем это, посмотрев и затем умножив каждую сторону на . Сделав это и отметив это , мы получили . Переназначение индексов как показывает, что они полностью отменяются. Это сокращение является ожидаемым результатом сжатия временного тензора с пространственным тензором. ${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} + u _ {\ alpha} u ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha}}$ ${\ displaystyle u _ {\ nu}}$ ${\ Displaystyle и ^ {\ му} и _ {\ му} = - 1}$ ${\ displaystyle u _ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} -u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ nu}$

Теперь, когда мы отмечаем, что

{\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = wu ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + pg ^ {\ mu \ nu}}

Где мы это косвенно определили . ${\ Displaystyle ш \ экв е + р}$

Мы можем вычислить, что

{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} & = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + w (\ partial _ {\ mu} u ^ {\ mu}) u ^ {\ nu} + wu ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ nu} + \ partial ^ {\ nu} p \\\ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} & = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ alpha} + w (\ partial _ {\ mu } u ^ {\ mu}) u ^ {\ alpha} + wu ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ alpha} + \ partial ^ {\ alpha} p \ end {выровнено}}}

И поэтому

{\ displaystyle u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} u ^ {\ alpha} u _ {\ alpha} + w (\ partial _ {\ mu} u ^ {\ mu}) u ^ {\ nu} u ^ {\ alpha} u _ {\ alpha} + wu ^ {\ mu} u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ alpha} + u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} p}

Затем отметим тот факт, что и . Отметим, что второе тождество следует из первого. При этих упрощениях мы находим, что ${\ Displaystyle и ^ {\ альфа} и _ {\ альфа} = - 1}$ ${\ Displaystyle и ^ {\ альфа} \ partial _ {\ nu} и _ {\ альфа} = 0}$