Релятивистская теплопроводность - Relativistic heat conduction
Релятивистская теплопроводность относится к моделированию теплопроводности (и аналогичных процессов диффузии ) способом, совместимым со специальной теорией относительности . В этой статье обсуждаются модели, использующие волновое уравнение с диссипативным членом.
Теплопроводность в ньютоновском контексте моделируется уравнением Фурье :
где θ - температура , t - время , α = k / ( ρ c ) - коэффициент температуропроводности , k - теплопроводность , ρ - плотность , c - удельная теплоемкость . Оператор Лапласа , , определяется в декартовой системе координат , как
Это уравнение Фурье может быть получено путем подстановки линейной аппроксимации Фурье вектора теплового потока q как функции градиента температуры:
где оператор del ∇ определяется в 3D как
Можно показать, что это определение вектора теплового потока также удовлетворяет второму закону термодинамики:
где s - удельная энтропия, а σ - производство энтропии.
Гиперболическая модель
Хорошо известно, что уравнение Фурье (и более общий закон диффузии Фика ) несовместимо с теорией относительности по крайней мере по одной причине: оно допускает бесконечную скорость распространения тепловых сигналов в континуальном поле . Например, рассмотрим импульс тепла в источнике; тогда, согласно уравнению Фурье, это мгновенно ощущается (то есть изменение температуры) в любой удаленной точке. Скорость распространения информации превышает скорость света в вакууме, что недопустимо в рамках теории относительности.
Чтобы преодолеть это противоречие, такие исследователи, как Каттанео, Вернотт, Честер и другие, предложили преобразовать уравнение Фурье с параболической формы в гиперболическую ,
- .
В этом уравнении C называется скоростью второго звука (т.е. фиктивных квантовых частиц, фононов). Уравнение известно как уравнение гиперболической теплопроводности (HCC). Математически это то же самое, что и телеграфное уравнение , выведенное из уравнений электродинамики Максвелла .
Чтобы уравнение HHC оставалось совместимым с первым законом термодинамики, необходимо изменить определение вектора теплового потока q на
где - время релаксации , такое что
Наиболее важным следствием гиперболического уравнения является то, что при переходе от параболического ( диссипативного ) к гиперболическому (включает консервативный член) уравнение в частных производных , существует возможность таких явлений, как тепловой резонанс и тепловые ударные волны .