Теорема Квиллена – Суслина - Quillen–Suslin theorem

Квиллен-Суслин теорема , известная также как проблема Серра или Серра является теорема в коммутативной алгебре относительно отношений между свободными модулями и проективных модулей над кольцом многочленов . В геометрическом контексте это утверждение о тривиальности векторных расслоений на аффинном пространстве.

Теорема утверждает , что любой конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным .

История

Задний план

Геометрически конечно порожденные проективные модули над кольцом соответствуют векторным расслоениям над аффинным пространством , где свободные модули соответствуют тривиальным векторным расслоениям. Это соответствие (от модулей к (алгебраическим) векторным расслоениям) задается отправляющим функтором «глобализации» или «твиддлификации» (цит. По Хартсхорну II.5, стр. 110). Аффинное пространство топологически стягиваемо, поэтому оно не допускает нетривиальных топологических векторных расслоений. Простое рассуждение с использованием экспоненциальной точной последовательности и леммы Пуанкаре о d-стержне показывает, что она также не допускает нетривиальных голоморфных векторных расслоений. ${\ Displaystyle R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {R} ^ {n}}$${\ displaystyle M \ to {\ widetilde {M}}}$

Жан-Пьер Серр в своей статье 1955 года « Faisceaux algébriques cohérents» заметил, что соответствующий вопрос не был известен для алгебраических векторных расслоений: «Неизвестно, существуют ли проективные A -модули конечного типа, которые не являются свободными». Вот это кольцо многочленов над полем, то есть = . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle к [х_ {1}, \ точки, х_ {п}]}$

К ужасу Серра, эта проблема быстро стала известна как гипотеза Серра. (Серр писал: «Я как мог возражал [против имени]».) Это утверждение не следует сразу из доказательств, данных в топологическом или голоморфном случае. Эти случаи только гарантируют, что существует непрерывная или голоморфная тривиализация, но не алгебраическая тривиализация.

Серр добился некоторого прогресса в решении в 1957 году, когда он доказал, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов над полем стабильно свободен , а это означает, что после образования его прямой суммы с конечно порожденным свободным модулем он становится свободным. Проблема оставалась открытой до 1976 года, когда Дэниел Квиллен и Андрей Суслин независимо друг от друга доказали результат. Квиллен был награжден медалью Филдса в 1978 году отчасти за доказательство гипотезы Серра. Позже Леонид Васерштейн дал более простое и гораздо более короткое доказательство теоремы, которое можно найти в Алгебре Сержа Ланга .

Обобщение

Обобщение, связывающее проективные модули над регулярными нётеровыми кольцами A и их кольцами многочленов, известно как гипотеза Басса – Квиллена .

Заметим, что хотя -расслоения на аффинном пространстве тривиальны, это неверно для G-расслоений, где G - общая редуктивная алгебраическая группа. ${\ displaystyle GL_ {n}}$

Заметки

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (март 1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Анналы математики , второй серии 61 (2): 197-278, DOI : 10,2307 / 1969915 , JSTOR  1969915 , MR  0068874
• Серр, Жан-Пьер (1958), "Модули проективных и пространственных слоев на векторных волокнах", Семинэр П. Дюбрей, М.-Л. Dubreil-Jacotin et C.Pisot, 1957/58, Fasc. 2, Exposé 23 (на французском языке), MR  0177011
• Квиллен, Дэниел (1976), "Проективные модули над кольцами многочленов", Inventiones Mathematicae , 36 (1): 167-171, DOI : 10.1007 / BF01390008 , МР  0427303
• Суслин, Андрей А. (1976), Проективные модули над кольцами многочленов свободны[Проективные модули над кольцами многочленов свободны], Докл. АН СССР , 229 (5): 1063–1066, MR  0469905 . Переведено в «Проективные модули над кольцами многочленов свободны», Советская математика , 17 (4): 1160–1164, 1976.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556

Отчет по этой теме предоставлен:

• Лам, Т.Ю. (2006), Проблема Серра о проективных модулях , Монографии Спрингера по математике, Берлин; Нью-Йорк: Springer Science + Business Media , стр. 300, ISBN. 978-3-540-23317-6, Руководство по ремонту  2235330