Проективная связь - Projective connection

В дифференциальной геометрии , A проективное соединение представляет собой тип связности Картана на дифференцируемом многообразии .

Структура проективной связности моделируется на геометрии проективного пространства , а не на аффинном пространстве, соответствующем аффинной связности . Подобно аффинным связям, проективные связи также определяют геодезические . Однако эти геодезические не параметризованы аффинно . Скорее они проективно параметризованы, что означает, что их предпочтительный класс параметризации обрабатывается группой дробно-линейных преобразований .

Подобно аффинной связности, проективные связности связаны кручением и кривизной.

Проективное пространство как геометрия модели

Первым шагом в определении любой связности Картана является рассмотрение плоского случая: в котором связность соответствует форме Маурера-Картана на однородном пространстве .

В проективной ситуации лежащее в основе многообразие M однородного пространства является проективным пространством RP ^n, которое мы будем представлять однородными координатами [ x ₀ , ..., x _n ]. Группа симметрии M - это G = PSL ( n +1, R ). Пусть H - группа изотропии точки [1,0,0, ..., 0]. Таким образом, M = G / H представляет M как однородное пространство.

Пусть будет в алгебру Ли в G , и что из Н . Обратите внимание на это . В качестве матриц относительно однородной основы , состоит из следовых свободных ( п + 1) × ( п + 1) матриц: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {s}} {\ mathfrak {l}} (п + 1, {\ mathbb {R}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} \ lambda & v ^ {i} \\ w_ {j} & a_ {j} ^ {i} \ end {matrix}} \ right), \ quad (v ^ {i }) \ in {\ mathbb {R}} ^ {1 \ times n}, (w_ {j}) \ in {\ mathbb {R}} ^ {n \ times 1}, (a_ {j} ^ {i }) \ in {\ mathbb {R}} ^ {n \ times n}, \ lambda = - \ sum _ {i} a_ {i} ^ {i}}$.

И состоит из всех этих матриц с ( w _j ) = 0. По сравнению с матричным представлением, приведенным выше, форма Маурера-Картана группы G представляет собой систему 1-форм (ζ, α _j , α _j ⁱ , α ⁱ ), удовлетворяющих структурные уравнения ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

d ζ + Σ _i α ⁱ ∧α _i = 0

d α _j + α _j ζ + Σ _k α _j ^k ∧α _k = 0

d α _j ⁱ + α ⁱ ∧α _j + Σ _k α _k ⁱ ∧α _j ^k = 0

d α ⁱ + ζ∧α ⁱ + Σ _k α ^k ∧α _k ⁱ = 0

Проективные структуры на многообразиях

Проективная структура - это линейная геометрия на многообразии, в которой две близлежащие точки соединены линией (т. Е. Непараметризованной геодезической ) единственным образом. Кроме того, бесконечно малая окрестность каждой точки снабжена классом проективных реперов . Согласно Картану (1924),

Une varété (ou espace) à connected projective est une varété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, presente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de raccorder en un seul les espace projecits morceaux qui entourent deux points infiniment voisins. ...

Analytiquement, на choisira, сГипе manière d'Ailleurs arbitraire, данс l'Espace projectif Атташе à Chaque точка де - ла - варьете, ип repére définissant ип système де coordonnées проективных. ... Le raccord entre les espaces projectifs attés à deux points infiniment voisins a et a ' se traduira analytiquement par une homographique трансформации. ...

Это аналогично понятию Картана об аффинной связи , в которой близлежащие точки, таким образом, связаны и имеют аффинную систему отсчета, которая переносится от одной к другой (Картан, 1923):

Разнообразные сыворотки dite à "affine affine" lorsqu'on aura défini, d'une manière d'ailleurs Arbitraire, une loi permettant de repérer l'un par rapport à l'autre les espaces affines attates à deux points infiniment voisins quelconques m et m ' de la varété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine atté au point m ' соответствует tel point de l'espace affine atté au point m , que tel vecteur du premier espace es parallèle или equipollent à tel vecteur du second espace.

Говоря современным языком, проективная структура на n -многообразии M - это геометрия Картана, смоделированная на проективном пространстве, где последнее рассматривается как однородное пространство для PSL ( n +1, R ). Другими словами, это PSL ( n +1, R ) -бандл, снабженный

• PSL ( n +1, R ) -соединение ( соединение Картана )
• снижение структурной группы к стабилизатору точки в проективном пространстве

таким образом, что форма припоя, индуцированная этими данными, является изоморфизмом.

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Ü. Lumiste (2001) [1994], "Проективная связь" , Энциклопедия математики , EMS Press