Квантовая операция - Quantum operation

В квантовой механике , А квантовая операция (также известная как квантовые динамическая карта или квантовый процесс ) представляет собой математический аппарат , используемый для описания широкого класса преобразований , что квантовая механическая система может пройти. Это было впервые обсуждались в качестве общего стохастического преобразования для матрицы плотности с помощью Джорджа Сударшана . Формализм квантовых операций описывает не только единичную временную эволюцию или преобразования симметрии изолированных систем, но также эффекты измерения и переходные взаимодействия с окружающей средой. В контексте квантовых вычислений квантовая операция называется квантовым каналом .

Обратите внимание, что некоторые авторы используют термин «квантовая операция» специально для обозначения полностью положительных (CP) и не увеличивающих след карт в пространстве матриц плотности, а термин « квантовый канал » - для обозначения подмножества тех, которые являются строго сохраняет следы.

Квантовые операции формулируются в терминах описания оператора плотности квантово-механической системы. Строго говоря, квантовая операция - это линейное , полностью положительное отображение множества операторов плотности в себя. В контексте квантовой информации часто накладывают дополнительное ограничение, согласно которому квантовая операция должна быть физической , то есть удовлетворять для любого состояния . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq \ OperatorName {Tr} [{\ mathcal {E}} (\ rho)] \ Leq 1}$${\ displaystyle \ rho}$

Некоторые квантовые процессы невозможно уловить в формализме квантовых операций; в принципе, матрица плотности квантовой системы может претерпевать совершенно произвольную временную эволюцию. Квантовые операции обобщаются квантовыми приборами , которые фиксируют классическую информацию, полученную во время измерений, в дополнение к квантовой информации .

Фон

Картина Шредингера дает удовлетворительное объяснение временной эволюции состояния квантово-механической системы при определенных предположениях. Эти предположения включают

• Система нерелятивистская
• Система изолирована.

Картина Шредингера для временной эволюции имеет несколько математически эквивалентных формулировок. Одна такая формулировка выражает скорость изменения состояния во времени через уравнение Шредингера . Более подходящая формулировка для этой экспозиции выражается следующим образом:

Эффект прохождения т единиц времени на состоянии изолированной системы S задаются унитарный оператор U _т на пространстве Гильберта Н , ассоциированный с S .

Это означает, что если система находится в состоянии, соответствующем v ∈ H, в момент времени s , то состояние через t единиц времени будет U _t v . Для релятивистских систем не существует универсального параметра времени, но мы все же можем сформулировать влияние определенных обратимых преобразований на квантово-механическую систему. Например, преобразования состояний, относящиеся к наблюдателям в разных системах отсчета, задаются унитарными преобразованиями. В любом случае эти преобразования состояний переводят чистые состояния в чистые состояния; это часто формулируется, говоря, что в этой идеализированной структуре нет декогеренции .

Для взаимодействующих (или открытых) систем, например тех, которые проходят измерения, ситуация совершенно иная. Начнем с того, что изменения состояния, испытываемые такими системами, не могут быть объяснены исключительно преобразованием множества чистых состояний (то есть тех, которые связаны с векторами нормы 1 в H ). После такого взаимодействия система в чистом состоянии φ может больше не находиться в чистом состоянии φ. Как правило, это будет статистическая смесь последовательности чистых состояний φ ₁ , ..., φ _k с соответствующими вероятностями λ ₁ , ..., λ _k . Переход от чистого состояния к смешанному называется декогеренцией.

Для случая взаимодействующей системы было установлено множество математических формализмов. Формализм квантовых операций появился примерно в 1983 году из работ Карла Крауса , который опирался на более ранние математические работы Ман-Дуэна Чоя . Его преимущество состоит в том, что он выражает такие операции, как измерение, как отображение состояний плотности в состояния плотности. В частности, эффект квантовых операций остается в пределах набора состояний плотности.

Определение

Напомним, что оператор плотности - это неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве с единичным следом.

Математически квантовая операция - это линейное отображение Φ между пространствами операторов классов следов на гильбертовых пространствах H и G, такое что

• Если S - оператор плотности, Tr (Φ ( S )) ≤ 1.
• Φ полностью положительна , то есть для любого натурального числа n и любой квадратной матрицы размера n , элементы которой являются операторами следового класса

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} S_ {11} & \ cdots & S_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ S_ {n1} & \ cdots & S_ {nn} \ end {bmatrix}}}$

и которая неотрицательна, то

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ Phi (S_ {11}) & \ cdots & \ Phi (S_ {1n}) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ Phi (S_ {n1}) & \ cdots & \ Phi (S_ {nn}) \ end {bmatrix}}}$

также неотрицательно. Другими словами, Φ полностью положительна , если положительна для всех п , где обозначает тождественное отображение на C * -алгебре из матриц. ${\ displaystyle \ Phi \ otimes I_ {n}}$${\ displaystyle I_ {n}}$${\ Displaystyle п \ раз п}$

Обратите внимание, что по первому условию квантовые операции могут не сохранять свойство нормализации статистических ансамблей. С вероятностной точки зрения квантовые операции могут быть субмарковскими . Чтобы квантовая операция сохранила набор матриц плотности, нам нужно дополнительное предположение, что она сохраняет след.

В контексте квантовой информации определенные здесь квантовые операции, то есть полностью положительные отображения, не увеличивающие след, также называются квантовыми каналами или стохастическими отображениями . Формулировка здесь ограничивается каналами между квантовыми состояниями; однако его можно расширить, включив также и классические состояния, что позволит обрабатывать квантовую и классическую информацию одновременно.

Операторы Крауса

Крауса " теорема (названная в честь Карла Крауса ) характеризует вполне положительные карты , что модель квантовых операции между квантовыми состояниями. Неформально теорема гарантирует, что действие любой такой квантовой операции на состояние всегда можно записать как для некоторого набора операторов, удовлетворяющих условиям , где 𝟙 - тождественный оператор. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ Phi (\ rho) = \ сумма _ {k} B_ {k} \ rho B_ {k} ^ {*}}$${\ displaystyle \ {B_ {k} \} _ {k}}$${\ displaystyle \ sum _ {k} B_ {k} ^ {*} B_ {k} = {\ text {𝟙}} \! \! \! \!}$

Формулировка теоремы

Теорема . Позвольте и быть гильбертовыми пространствами размерности и соответственно, и быть квантовой операцией между и . Тогда есть матрицы${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$

отображение на такое , что для любого состояния ,${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle \ rho}$ И наоборот, любая карта этой формы является квантовой операцией, если${\ displaystyle \ Phi}$ доволен.

Матрицы называются операторами Крауса . (Иногда они известны как операторы шума или операторы ошибок , особенно в контексте обработки квантовой информации , где квантовая операция представляет зашумленные, вызывающие ошибки эффекты окружающей среды.) Теорема факторизации Стайнспринга распространяет приведенный выше результат на произвольные разделяемые Гильберта. пространства H и G . Там S заменяется оператором класса трассировки и последовательностью ограниченных операторов. ${\ displaystyle \ {B_ {i} \}}$${\ displaystyle \ {B_ {i} \}}$

Унитарная эквивалентность

Матрицы Крауса не определяются однозначно квантовой операцией вообще. Например, разные факторизации Холецкого матрицы Чоя могут давать разные наборы операторов Крауса. Следующая теорема утверждает, что все системы матриц Крауса, представляющие одну и ту же квантовую операцию, связаны унитарным преобразованием: ${\ displaystyle \ Phi}$

Теорема . Пусть - (не обязательно сохраняющая след) квантовая операция в конечномерном гильбертовом пространстве H с двумя представляющими последовательностями матриц Крауса и . Тогда существует унитарная операторная матрица такая, что ${\ displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ {B_ {я} \} _ {я \ leq N}}$${\ Displaystyle \ {C_ {я} \} _ {я \ leq N}}$${\ Displaystyle (и_ {ij}) _ {ij}}$

${\ displaystyle C_ {i} = \ sum _ {j} u_ {ij} B_ {j}.}$

В бесконечномерном случае это обобщается на связь между двумя минимальными представлениями Стайнспринга .

Следствием теоремы Стайнспринга является то, что все квантовые операции могут быть реализованы путем унитарной эволюции после присоединения подходящей вспомогательной функции к исходной системе.

Замечания

Эти результаты могут быть также получены из теоремы Чоя о полностью положительных отображениях , характеризующих полностью положительное конечномерное отображение с помощью уникального эрмитово-положительного оператора плотности ( матрицы Чоя ) относительно следа. Среди всех возможных представлений Kraus данного канала , существует канонического вид отличающегося соотношения ортогональности операторов Крауса, . Такой канонический набор ортогональных операторов Крауса может быть получен путем диагонализации соответствующей матрицы Чоя и преобразования ее собственных векторов в квадратные матрицы. ${\ displaystyle \ operatorname {Tr} A_ {i} ^ {\ dagger} A_ {j} \ sim \ delta _ {ij}}$

Также существует бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя, известное как «теорема Белавкина Радона-Никодима для полностью положительных отображений», которое определяет оператор плотности как «производную Радона – Никодима» квантового канала относительно доминирующего полностью положительная карта (опорный канал). Он используется для определения относительной точности и взаимной информации для квантовых каналов.

Динамика

Для нерелятивистское квантово - механической системы, ее эволюция во времени описывается одним параметром группы автоморфизмов {α _т } _т из Q . Это можно сузить до унитарных преобразований: при определенных слабых технических условиях (см. Статью о квантовой логике и ссылку Варадараджана) существует сильно непрерывная однопараметрическая группа { U _t } _t унитарных преобразований основного гильбертова пространства такая, что элементы E из Q эволюционируют по формуле

${\ displaystyle \ alpha _ {t} (E) = U_ {t} ^ {*} EU_ {t}.}$

Эволюцию системного времени можно также рассматривать двояко как временную эволюцию пространства статистических состояний. Эволюция статистического состояния задается семейством операторов {β _t } _t таких, что

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ beta _ {t} (S) E) = \ operatorname {Tr} (S \ alpha _ {- t} (E)) = \ operatorname {Tr} (SU_ {t} EU_ {t} ^ {*}) = \ operatorname {Tr} (U_ {t} ^ {*} SU_ {t} E).}$

Очевидно, что для каждого значения т , S → U * _T S U _T является квантовой операцией. Более того, эта операция обратима .

Это легко обобщить: если G - связная группа Ли симметрий Q, удовлетворяющая тем же условиям слабой непрерывности, то действие любого элемента g группы G задается унитарным оператором U :

${\ displaystyle g \ cdot E = U_ {g} EU_ {g} ^ {*}. \ quad}$

Это отображение г → U _г известен как проективное представление о G . Отображения S → U * _g S U _g являются обратимыми квантовыми операциями.

Квантовое измерение

Квантовые операции можно использовать для описания процесса квантового измерения . В представлении ниже описывается измерение в терминах самосопряженных проекций на сепарабельное комплексное гильбертово пространство H , то есть в терминах PVM ( проекционно-значная мера ). В общем случае измерения могут быть выполнены с использованием неортогональных операторов, через понятия POVM . Неортогональный случай интересен тем, что может улучшить общую эффективность квантового инструмента .

Бинарные измерения

Квантовые системы можно измерить, задав серию вопросов « да – нет» . Можно понять, что этот набор вопросов выбирается из ортодополняемой решетки Q предложений квантовой логики . Решетки эквивалентно пространству самосопряжённых проекций на комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве H .

Рассмотрим систему в некотором состоянии S с целью определить, обладает ли она каким-либо свойством E , где E - элемент решетки квантовых вопросов типа « да-нет» . Измерение в этом контексте означает подчинение системы некоторой процедуре, чтобы определить, удовлетворяет ли состояние свойству. Ссылка на состояние системы в этом обсуждении может иметь операционный смысл , рассматривая статистический ансамбль систем. Каждое измерение дает определенное значение 0 или 1; кроме того, применение процесса измерения к ансамблю приводит к предсказуемому изменению статистического состояния. Это преобразование статистического состояния задается квантовой операцией

${\ Displaystyle S \ mapsto ESE + (IE) S (IE).}$

Здесь E можно понимать как оператор проекции .

Общий случай

В общем случае измерения проводятся на наблюдаемых, принимающих более двух значений.

Когда наблюдаемая A имеет чисто точечный спектр , ее можно записать в терминах ортонормированного базиса собственных векторов. То есть A имеет спектральное разложение

${\ displaystyle A = \ sum _ {\ lambda} \ lambda \ operatorname {E} _ {A} (\ lambda)}$

где E _A (λ) - семейство попарно ортогональных проекций , каждая на соответствующее собственное подпространство A, связанное со значением измерения λ.

Измерение наблюдаемых А дает собственное значение А . Повторные измерения, сделанные на статистическом ансамбле S систем, приводит к распределению вероятностей по собственному значению спектра A . Это дискретное распределение вероятностей , которое определяется выражением

${\ displaystyle \ operatorname {Pr} (\ lambda) = \ operatorname {Tr} (S \ operatorname {E} _ {A} (\ lambda)).}$

Измерение статистического состояния S дается картой

${\ displaystyle S \ mapsto \ sum _ {\ lambda} \ operatorname {E} _ {A} (\ lambda) S \ operatorname {E} _ {A} (\ lambda) \.}$

То есть сразу после измерения статистическое состояние представляет собой классическое распределение по собственным подпространствам, связанным с возможными значениями λ наблюдаемого: S - смешанное состояние .

Не вполне положительные карты

Шаджи и Сударшан утверждали в статье Physics Letters A, что при внимательном рассмотрении полная положительность не является требованием для хорошего представления открытой квантовой эволюции. Их расчеты показывают, что, начиная с некоторых фиксированных начальных корреляций между наблюдаемой системой и окружающей средой, карта, ограниченная самой системой, не обязательно даже положительна. Однако он не является положительным только для тех состояний, которые не удовлетворяют предположению о форме исходных корреляций. Таким образом, они показывают, что для полного понимания квантовой эволюции следует также учитывать не полностью положительные карты.

Смотрите также

• Квантовая динамическая полугруппа
• Супероператор

использованная литература

• Nielsen, Michael A .; Чуанг, Исаак Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (10-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107002173. OCLC  665137861 .
• Чой, Ман-Дуэн (1975). «Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах» . Линейная алгебра и ее приложения . Elsevier BV. 10 (3): 285–290. DOI : 10.1016 / 0024-3795 (75) 90075-0 . ISSN  0024-3795 .
• Сударшан, ЭКГ; Мэтьюз, PM; Рау, Джаясита (1961-02-01). «Стохастическая динамика квантово-механических систем». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 121 (3): 920–924. Bibcode : 1961PhRv..121..920S . DOI : 10.1103 / Physrev.121.920 . ISSN  0031-899X .
• Белавкин, ВП; Сташевский, П. (1986). «Теорема Радона-Никодима для вполне положительных отображений». Доклады по математической физике . Elsevier BV. 24 (1): 49–55. Bibcode : 1986RpMP ... 24 ... 49В . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (86) 90039-X . ISSN  0034-4877 .
• К. Краус, Состояния, эффекты и операции: фундаментальные понятия квантовой теории , Springer Verlag, 1983 г.
• В. Ф. Стайнспринг, Положительные функции на C * -алгебрах , Труды Американского математического общества, 211–216, 1955
• В. Варадараджан, Геометрия квантовой механики, тома 1 и 2, Springer-Verlag 1985.