p -адическая L -функция - p-adic L-function

В математике , А р -адическая дзета - функция , или в более общем случае р -адическая л -функции , является функцией аналогично дзета - функции Римана , или более общие L -функции , но чей домен и цели являются р-адическая (где р - простое число ). Например, областью могут быть целые p -адические числа Z p , проконечная p -группа или p -адическое семейство представлений Галуа , а образ может быть p -адическими числами Q p или их алгебраическим замыканием .

Источник p -адической L- функции обычно бывает одного из двух типов. Первый источник, из которого Томио Кубота и Генрих-Вольфганг Леопольдт дали первую конструкцию p -адической L- функции ( Kubota & Leopoldt, 1964 ), - это p -адическая интерполяция специальных значений L- функций . Например, Кубота-Леопольдт использовал сравнения Куммера для чисел Бернулли, чтобы построить p -адическую L- функцию , p -адическую дзета-функцию Римана ζ p ( s ), значения которой при отрицательных нечетных целых числах соответствуют значениям дзета-функции Римана при отрицательных значениях. нечетные целые числа (с точностью до явного поправочного коэффициента). Возникающие таким образом p -адические L -функции обычно называют аналитическими p -адическими L- функциями . Другой важный источник p -адических L- функций, впервые открытый Кенкичи Ивасавой, - это арифметика круговых полей или, в более общем смысле, определенных модулей Галуа над башнями круговых полей или даже более общих башен. Р -адическая л -функция , возникающая в этом случае , как правило , называют арифметической р -адической л -функцией , как он кодирует арифметические данные модуля Галуа вовлеченный. Основная гипотеза теории Ивасавы (теперь теорему из - за Барри Мазура и Эндрю Уайлс ) является утверждение о том , что Kubota-Леопольдта р -адическая L -функции и арифметический аналог построены теории Ивасавы, по существу , то же самое. В более общих ситуациях, когда конструируются (или ожидаются) как аналитические, так и арифметические p -адические L- функции, утверждение о том, что они согласуются, называется основной гипотезой теории Ивасавы для этой ситуации. Такие предположения представляют собой формальные утверждения, касающиеся философии, согласно которой специальные значения L- функций содержат арифметическую информацию.

L-функции Дирихле

L -функция Дирихле дается аналитическим продолжением

L -функция Дирихле при отрицательных целых числах имеет вид

где B n , χ - обобщенное число Бернулли, определяемое формулой

для х характер Дирихле с проводником f .

Определение с использованием интерполяции

Kubota-Леопольдта р -адическая л -функции л р ( с , χ) интерполирует Дирихле L -функции с фактором Эйлера при р удален. Точнее, L p ( s , χ) - единственная непрерывная функция p -адического числа s такая, что

для натуральных чисел n, делящихся на p  - 1. Правая часть представляет собой обычную L -функцию Дирихле , за исключением того, что фактор Эйлера в p удален, иначе он не был бы p -адически непрерывным. Непрерывность правой части тесно связана с конгруэнциями Куммера .

Когда n не делится на p  - 1, это обычно не выполняется; вместо

для натуральных чисел n . Здесь χ закручивается степенью характера Тейхмюллера ω.

Рассматривается как p -адическая мера

p -адические L -функции можно также рассматривать как p -адические меры (или p -адические распределения ) на p -конечных группах Галуа. Перевод между этой точкой зрения и исходной точкой зрения Куботы – Леопольдта (как Q p -значных функций на Z p ) осуществляется через преобразование Мазура – ​​Меллина (и теорию полей классов ).

Полностью реальные поля

Делинь и Рибет (1980) , основываясь на предыдущей работе Серра (1973) , построили аналитические p -адические L -функции для вполне реальных полей. Независимо от этого Барски (1978) и Кассу-Ногес (1979) сделали то же самое, но их подходы следовали подходу Такуро Шинтани к изучению L- значений.

Ссылки