p -адический порядок - p-adic order

В основной теории чисел , для данного простого числа р , то р -адическая порядка из натурального п является наивысшим показателем таким образом, что делит п . Эта функция легко распространяется на положительные рациональные числа r =${\ displaystyle \ nu _ {p}}$${\ displaystyle p ^ {\ nu _ {p}}}$ а/б к

${\ displaystyle r = p_ {1} ^ {\ nu _ {p_ {1}}} p_ {2} ^ {\ nu _ {p_ {2}}} \ cdots p_ {k} ^ {\ nu _ {p_ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {\ nu _ {p_ {i}}},}$

где простые числа и являются (уникальные) целые числа (считается 0 для всех простых чисел , не входящие в г так , что ). ${\ displaystyle p_ {1} <p_ {2} <\ dotsb <p_ {k}}$${\ displaystyle \ nu _ {p_ {i}}}$${\ displaystyle \ nu _ {p_ {i}} (r) = \ nu _ {p_ {i}} (a) - \ nu _ {p_ {i}} (b)}$

Этот p -адический порядок составляет (аддитивно записанную) оценку , так называемую p -адическую оценку , которая при мультипликативной записи является аналогом хорошо известного обычного абсолютного значения . Оба типа оценок могут использоваться для завершения поля рациональных чисел, где завершение с помощью p -адической оценки приводит к полю p -адических чисел ℚ _p (относительно выбранного простого числа p ), тогда как завершение с помощью обычные абсолютные значения приводят в поле действительных чисел ℝ .

Распределение натуральных чисел по их 2-адическому порядку с соответствующими степенями двойки в десятичной системе. У нуля всегда бесконечный порядок.

Определение и свойства

Пусть p - простое число .

Целые числа

Р -адическая порядок или р -адическая оценки для ℤ является функция

${\ displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N}}$

определяется

${\ displaystyle \ nu _ {p} (n) = {\ begin {case} \ mathrm {max} \ {k \ in \ mathbb {N}: p ^ {k} \ mid n \} & {\ text { if}} n \ neq 0 \\\ infty & {\ text {if}} n = 0, \ end {case}}}$

где обозначает натуральные числа . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Например, и с тех пор . ${\ displaystyle \ nu _ {3} (- 45) = 2}$${\ displaystyle \ nu _ {5} (- 45) = 1}$${\ displaystyle | {-45} | = 45 = 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1}}$

Обозначения иногда используются для обозначения . ${\ displaystyle p ^ {k} \ parallel n}$${\ Displaystyle к = \ ню _ {р} (п)}$

Рациональное число

Р -адический заказ может быть продлен в рациональные числа как функции

${\ displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Z}}$

определяется

${\ displaystyle \ nu _ {p} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = \ nu _ {p} (a) - \ nu _ {p} (b).}$

Например, и с тех пор . ${\ displaystyle \ nu _ {2} {\ bigl (} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = - 3}$${\ displaystyle \ nu _ {3} {\ bigl (} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = 2}$${\ displaystyle {\ tfrac {9} {8}} = {\ tfrac {3 ^ {2}} {2 ^ {3}}}}$

Некоторые свойства:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nu _ {p} (m \ cdot n) & = \ nu _ {p} (m) + \ nu _ {p} (n) \\ [5px] \ nu _ {p} (m + n) & \ geq \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p} (m), \ nu _ {p} (n) {\ bigr \}}. \ end {выровнено} }}$

Более того, если , то ${\ Displaystyle \ ню _ {п} (м) \ нек \ ню _ {р} (п)}$

${\ displaystyle \ nu _ {p} (м + n) = \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p} (m), \ nu _ {p} (n) {\ bigr \}}}$

где min - минимум (т.е. меньший из двух).

p -адическая абсолютная величина

Р -адическое абсолютное значение на ℚ является функцией

${\ displaystyle | \ cdot | _ {p} \ двоеточие \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

определяется

${\ displaystyle | r | _ {p} = p ^ {- \ nu _ {p} (r)}.}$

Например, и${\ displaystyle | {-45} | _ {3} = {\ tfrac {1} {9}}}$${\ displaystyle {\ bigl |} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr |} _ {2} = 8.}$

Р -адического абсолютное значение удовлетворяют следующие свойства.

Неотрицательность	${\ displaystyle | a | _ {p} \ geq 0}$
Положительная определенность	${\ displaystyle | a | _ {p} = 0 \ iff a = 0}$
Мультипликативность	${\ displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$
Неархимедов	${\ displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ left (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ right)}$

Симметрии следует из мультипликативности и субаддитивности из неархимедового неравенства треугольника . ${\ displaystyle | {-a} | _ {p} = | a | _ {p}}$ ${\ displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$ ${\ displaystyle | a + b | _ {p} \ leq | a | _ {p} + | b | _ {p}}$ ${\ displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ left (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ right)}$

Выбор основания p в возведении в степень не имеет значения для большинства свойств, но поддерживает формулу произведения: ${\ displaystyle p ^ {- \ nu _ {p} (r)}}$

${\ displaystyle \ prod _ {0, p} | x | _ {p} = 1}$

где произведение берется по всем простым числам p и обычному модулю, обозначенному . Это следует из простого разложения на простые множители : каждый простой коэффициент мощности вносит обратный вклад в его p -адическое абсолютное значение, а затем обычное архимедово абсолютное значение отменяет их все. ${\ displaystyle | x | _ {0}}$${\ displaystyle p ^ {k}}$

Р -адическое абсолютное значение иногда называют как « р -адической нормой», хотя это на самом деле не норма , потому что она не удовлетворяет требование однородности .

Метрическое пространство может быть образовано на множестве ℚ с ( неархимедовом , инвариантных относительно сдвига ) метрики

${\ Displaystyle д \ двоеточие \ mathbb {Q} \ times \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

определяется

${\ displaystyle d (x, y) = | xy | _ {p}.}$

Завершение из ℚ относительно этой метрики приводит к полю ℚ _р о р -адических чисел.

Смотрите также

• p -адическое число
• Архимедова собственность
• Кратность (математика)
• Теорема Островского

использованная литература