Порядковый определяемый набор - Ordinal definable set

В математической теории множеств , А множество S называется порядковое определимы , если, неформально, оно может быть определено в терминах конечного числа порядковых по формуле первого порядка . Порядковые определимые множества были введены Гёделем (1965) .

Недостатком этого неформального определения является то, что требуется количественная оценка всех формул первого порядка, что не может быть формализовано на языке теории множеств. Однако есть другой способ сформулировать определение, которое можно формализовать. В этом подходе множество S формально определяется как ординально определимое, если существует некоторый набор ординалов α 1 , ..., α n такой, что и может быть определен как элемент с помощью формулы первого порядка φ, принимающей α 2 , ..., α n в качестве параметров. Здесь обозначает множество, индексированное порядковым номером α 1 в иерархии фон Неймана . Другими словами, S - это единственный объект , для которого выполняется φ ( S , α 2 ... α n ) с его кванторами, простирающимися до .

Класс всех порядковых определимых множеств обозначается ОД; он не обязательно транзитивен и не обязательно должен быть моделью ZFC, потому что он может не удовлетворять аксиоме протяженности . Множество наследственно ординально определимо, если оно ординально определимо и все элементы его транзитивного замыкания ординально определимы. Класс наследственно порядковых определимых множеств обозначается HOD и представляет собой транзитивную модель ZFC с определимым хорошим порядком. Это согласуется с аксиомами теории множеств, что все множества ординально определимы, а значит, наследственно ординально определимы. Утверждение, что эта ситуация имеет место, обозначается как V = OD или V = HOD. Это следует из V = L и эквивалентно существованию (определимого) хорошего упорядочения Вселенной. Обратите внимание, однако, что формула, выражающая V = HOD, не обязательно должна выполняться в пределах HOD, поскольку она не является абсолютной для моделей теории множеств: в пределах HOD интерпретация формулы для HOD может дать еще меньшую внутреннюю модель.

Было обнаружено, что HOD полезен в том смысле, что это внутренняя модель, которая может вместить практически все известные большие кардиналы . Это контрастирует с ситуацией с базовыми моделями , поскольку базовые модели еще не построены , например, для суперкомпактных кардиналов .

использованная литература

  • Гедель, Курт (1965) [1946], «Замечания перед Принстонской двухсотлетней конференцией по проблемам математики», в Дэвисе, Мартине (ред.), Неразрешимое. Основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых задачах и вычислимых функциях , Raven Press, Hewlett, NY, стр. 84–88, ISBN 978-0-486-43228-1, MR  0189996
  • Кунен, Кеннет (1980), теория множеств: введение в доказательства независимости , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8


Значок заглушки

Эта статья, посвященная теории множеств, незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .