Оптимальное решение - Optimal decision

Решение оптимальным является решение , которое приводит к по крайней мере так хорошо известного или ожидаемого результата , как и все другие доступные варианты решения. Это важное понятие в теории принятия решений . Чтобы сравнить разные результаты решения, каждому из них обычно присваивается значение полезности .

Если есть неуверенность в том, каким будет результат, но есть знание о распределении неопределенности, то в соответствии с аксиомами фон Неймана-Моргенштерна оптимальное решение максимизирует ожидаемую полезность ( средневзвешенное значение полезности по всем возможным исходам решения. ). Иногда, эквивалентная задача минимизации ожидаемого значения от потери , считаются, где потеря (-1) раз полезности. Другая эквивалентная проблема - минимизировать ожидаемое сожаление .

«Полезность» - это всего лишь произвольный термин для количественной оценки желательности конкретного результата решения и не обязательно связанный с «полезностью». Например, для кого-то вполне может быть оптимальным решением купить спортивный автомобиль, а не универсал, если результат с точки зрения другого критерия (например, влияние на личный имидж) более желателен, даже с учетом более высокой стоимости и отсутствия универсальности спортивного автомобиля.

Проблема поиска оптимального решения - это задача математической оптимизации . На практике немногие люди проверяют, что их решения оптимальны, но вместо этого используют эвристику для принятия решений, которые «достаточно хороши», т. Е. Они приносят удовлетворение .

Более формальный подход может использоваться, когда решение достаточно важно, чтобы мотивировать время, необходимое для его анализа, или когда оно слишком сложно для решения с более простыми интуитивными подходами, такими как множество доступных вариантов решения и сложная взаимосвязь между решением и результатом. .

Формальное математическое описание

Каждое решение в наборе доступных вариантов решения приведет к результату . Все возможные исходы образуют набор . Приписывая полезность каждому результату, мы можем определить полезность конкретного решения как ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle о = е (д)}$${\ displaystyle O}$${\ Displaystyle U_ {O} (о)}$${\ displaystyle d}$

${\ Displaystyle U_ {D} (d) \ = \ U_ {O} (f (d)). \,}$

Затем мы можем определить оптимальное решение как такое, которое максимизирует  : ${\ displaystyle d _ {\ mathrm {opt}}}$${\ displaystyle U_ {D} (d)}$

${\ displaystyle d _ {\ mathrm {opt}} = \ arg \ max \ limits _ {d \ in D} U_ {D} (d). \,}$

Таким образом, решение проблемы можно разделить на три этапа:

1. прогнозирование результата для каждого решения${\ displaystyle o}$${\ displaystyle d;}$
2. назначение полезности каждому результату${\ Displaystyle U_ {O} (о)}$${\ displaystyle o;}$
3. найти решение, которое максимизирует${\ displaystyle d}$${\ displaystyle U_ {D} (d).}$

При неуверенности в исходе

Если невозможно с уверенностью предсказать, каким будет результат того или иного решения, необходим вероятностный подход. В самом общем виде это можно выразить следующим образом:

Учитывая принятое решение , мы знаем распределение вероятностей для возможных результатов, описываемое условной плотностью вероятности . Рассматривая как случайную величину (при условии ), мы можем рассчитать ожидаемую полезность решения как ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle p (o | d)}$${\ displaystyle U_ {D} (d)}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$

${\ Displaystyle {\ текст {E}} U_ {D} (d) = \ int {p (o | d) U (o) do} \,}$ ,

где интеграл берется по всему набору (ДеГрут, стр. 121). ${\ displaystyle O}$

Тогда оптимальное решение - это максимальное решение , как указано выше: ${\ displaystyle d _ {\ mathrm {opt}}}$${\ displaystyle {\ text {E}} U_ {D} (d)}$

${\ displaystyle d _ {\ mathrm {opt}} = \ arg \ max \ limits _ {d \ in D} {\ text {E}} U_ {D} (d). \,}$

Примером может служить проблема Монти Холла .

Смотрите также

• Принятие решения
• ПО для принятия решений
• Двухальтернативный принудительный выбор

Ссылки

• Оптимальные статистические решения Морриса ДеГрута . Макгроу-Хилл. Нью-Йорк. 1970. ISBN  0-07-016242-5 .
• Джеймс О. Бергер Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ . Второе издание. 1980. Серия Спрингера в статистике. ISBN  0-387-96098-8 .