Проблема Монти Холла - Monty Hall problem

В поисках новой машины игрок выбирает дверь, скажем, 1 . Затем ведущий игры открывает одну из других дверей, скажем 3 , чтобы показать козу, и предлагает игроку переключиться с двери 1 на дверь 2 .

Задача Монти Холла - это головоломка в форме вероятностной головоломки, основанная на американском телеигре Let's Make a Deal и названная в честь его первоначального ведущего, Монти Холла . Проблема была изначально поставлена (и решена) в письме Стива Selvin к американскому статистику в 1975 г. Он стал известен как вопрос из письма считыватель Крейг Ф. Уайтейкер цитируемого в Мэрилин вос Савант колонке «s„Спроси Мэрилин“в параде журнале в 1990 г .:

Предположим, вы участвуете в игровом шоу, и вам предоставляется выбор из трех дверей: За одной дверью стоит машина; позади остальных - козы. Вы выбираете дверь, скажем, №1, и хозяин, который знает, что за дверями, открывает другую дверь, скажем №3, в которой есть коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?» Выгодно ли менять свой выбор?

Вос Савант ответил, что участник должен перейти к другой двери. При стандартных предположениях стратегия переключения имеет2/3 вероятность выигрыша машины, в то время как стратегия, которая остается с первоначальным выбором, имеет только1/3 вероятность.

Когда игрок впервые делает свой выбор, появляется 2/3Вероятность того, что машина находится за одной из дверей, не выбрана. Эта вероятность не меняется после того, как ведущий откроет одну из невыбранных дверей. Когда хост предоставляет информацию о 2 невыбранных дверях (показывая, что за одной из них нет машины),2/3 вероятность того, что автомобиль окажется за одной из невыбранных дверей, упирается в невыбранную и нераскрытую дверь, а не на 1/3 вероятность того, что машина окажется за дверью, изначально была выбрана участником.

Приведенные вероятности зависят от конкретных предположений о том, как ведущий и участник выбирают свои двери. Ключевой вывод состоит в том, что в этих стандартных условиях информации о дверях 2 и 3 больше, чем было доступно в начале игры, когда дверь 1 была выбрана игроком: преднамеренное действие хозяина увеличивает ценность двери, которую он не делал. выбрал исключение, но не тот, который изначально был выбран участником. Другое понимание заключается в том, что переключение дверей - это действие, отличное от случайного выбора между двумя оставшимися дверями, поскольку первое действие использует предыдущую информацию, а второе - нет. Другое возможное поведение хозяина, отличное от описанного, может раскрыть другую дополнительную информацию или не получить ее вовсе и дать разные вероятности.

Многие читатели колонки Вос Савант отказались поверить в то, что переключение полезно, и отвергли ее объяснение. После того, как проблема появилась в Parade , в журнал написали около 10 000 читателей, в том числе около 1000 с докторами наук , и большинство из них назвали vos Savant неправым. Даже получив объяснения, моделирование и формальные математические доказательства, многие люди все еще не соглашались с тем, что переключение - лучшая стратегия. Пол Эрдеш , один из самых плодовитых математиков в истории, оставался неубедительным, пока ему не показали компьютерную симуляцию, демонстрирующую предсказанный результат Вос Саванта.

Проблема представляет собой парадокс достоверного типа, потому что решение Вос Саванта настолько нелогично, что может показаться абсурдным, но тем не менее очевидно истинным. Проблема Монти Холла математически тесно связана с более ранней проблемой «Трех узников» и с гораздо более старым парадоксом коробки Бертрана .

Парадокс

Стив Селвин написал письмо американскому статистику в 1975 году с описанием проблемы, основанной на игровом шоу Let's Make a Deal , назвав ее «проблемой Монти Холла» в последующем письме. Задача математически эквивалентна проблеме трех заключенных, описанной в колонке Мартина Гарднера «Математические игры» в журнале Scientific American в 1959 году, и проблеме трех оболочек, описанной в книге Гарднера « Ага, попался» .

Стандартные допущения

При стандартных предположениях вероятность выигрыша машины после переключения равна 2/3. Ключом к этому решению является поведение хоста. Неоднозначности в версии Parade явно не определяют протокол хоста. Однако решение Мэрилин вос Савант, напечатанное вместе с вопросом Уитакера, подразумевает, и как Селвен, так и вос Савант явно определяют роль хозяина следующим образом:

1. Ведущий всегда должен открывать дверь, которую не выбрал участник.
2. Хозяин всегда должен открывать дверь, чтобы показать козу, но не машину.
3. Хост всегда должен предлагать возможность переключиться между первоначально выбранной дверью и оставшейся закрытой дверью.

Когда любое из этих предположений изменяется, это может изменить вероятность выигрыша путем переключения дверей, как подробно описано в разделе ниже . Также обычно предполагается, что машина изначально случайно спрятана за дверями и что, если игрок сначала выбирает машину, то выбор хозяином того, какую дверь из козла открыть, является случайным. Некоторые авторы независимо или включительно предполагают, что первоначальный выбор игрока также случаен.

Простые решения

Три начальных конфигурации игры. В двух из них игрок выигрывает, отказываясь от выбора, сделанного до открытия двери.

Решение, представленное vos Savant в Parade, показывает три возможных варианта расположения одной машины и двух коз за тремя дверями и результат пребывания или переключения после первоначального выбора двери 1 в каждом случае:

За дверью 1	За дверью 2	За дверью 3	Результат, если оставаться у двери №1	Результат при переходе на предложенную дверь
Козел	Козел	Автомобиль	Побеждает коза	Выигрывает автомобиль
Козел	Автомобиль	Козел	Побеждает коза	Выигрывает автомобиль
Автомобиль	Козел	Козел	Выигрывает автомобиль	Побеждает коза

Игрок, который остается с первоначальным выбором, выигрывает только в одной из трех из этих равновероятных возможностей, в то время как игрок, который переключается, выигрывает в двух из трех.

Интуитивно понятное объяснение состоит в том, что, если участник сначала выберет козу (2 из 3 дверей), он выиграет машину, переключившись, потому что другая коза больше не может быть выбрана, тогда как если участник сначала выберет машину (1 из 3 двери), участник не выиграет машину переключением. Тот факт, что ведущий впоследствии обнаруживает козу в одной из неизбранных дверей, ничего не меняет в отношении начальной вероятности.

Другой процесс выбора, когда игрок выбирает случайным образом после открытия любой двери, дает другую вероятность.

Большинство людей приходят к выводу, что переключение не имеет значения, потому что есть две закрытые двери и одна машина, и это выбор 50/50. Это будет верно, если хост открывает дверь случайным образом, но это не так; открытая дверь зависит от первоначального выбора игрока, поэтому предположение о независимости не выполняется. Прежде чем ведущий откроет дверь,1/3вероятность того, что машина находится за каждой дверью. Если машина находится за дверью 1, хост может открыть дверь 2 или дверь 3, поэтому вероятность того, что машина находится за дверью 1, а хост откроет дверь 3, равна1/3 × 1/2 знак равно 1/6. Если машина находится за дверью 2 (и игрок выбрал дверь 1), ведущий должен открыть дверь 3, поэтому вероятность того, что машина находится за дверью 2, а ведущий откроет дверь 3, равна1/3 × 1 = 1/3. Это единственные случаи, когда ведущий открывает дверь 3, поэтому, если игрок выбрал дверь 1, а ведущий открывает дверь 3, вероятность того, что машина окажется за дверью 2, в два раза выше, чем за дверью 1. Ключ в том, что если машина за дверью 2 хозяин должен открыть дверь 3, но если машина находится за дверью 1, хозяин может открыть любую дверь.

Другой способ понять решение - рассмотреть две исходные несобранные двери вместе. Как выразился Сесил Адамс , «Монти фактически говорит: вы можете оставить себе одну дверь или две другие». В2/3Шанс найти машину не изменился после открытия одной из этих дверей, потому что Монти, зная местонахождение машины, наверняка обнаружит козу. Таким образом, выбор игрока после того, как ведущий открывает дверь, ничем не отличается от того, если бы ведущий предлагал игроку возможность переключиться с исходной выбранной двери на набор из обеих оставшихся дверей. Переключатель в этом случае явно дает игроку2/3 вероятность выбора машины.

Автомобиль имеет 1/3 шанс оказаться за выбором игрока и 2/3 шанс оказаться за одной из двух других дверей.

Ведущий открывает дверь, шансы для двух сетов не меняются, но шансы переходят в 0 для открытой двери и 2/3 для закрытой двери.

Как говорит Кейт Девлин : «Открывая дверь, Монти говорит участнику:« Есть две двери, которые вы не выбрали, и вероятность того, что приз находится за одной из них, составляет2/3. Я помогу вам, используя свои знания о том, где находится приз, чтобы открыть одну из этих двух дверей, чтобы показать вам, что она не скрывает приз. Теперь вы можете воспользоваться этой дополнительной информацией. Выбранная вами дверь А имеет шанс 1 из 3 стать победителем. Я этого не изменил. Но за счет устранения двери C, я показал, что вероятность того, что дверь B скрывает приз 2 в 3. ' "

Вос Савант предполагает, что решение будет более интуитивным с 1 000 000 дверей, а не с 3. В данном случае имеется 999 999 дверей с козами за ними и одна дверь с призом. После того, как игрок выбирает дверь, ведущий открывает 999 998 оставшихся дверей. В среднем, в 999 999 раз из 1 000 000 оставшаяся дверь будет содержать приз. Интуитивно игрок должен спросить, насколько вероятно, что, учитывая миллион дверей, им удалось изначально выбрать правильную. Стибел и др. Предположили, что потребность в рабочей памяти облагается налогом во время проблемы Монти Холла и что это вынуждает людей «свернуть» свой выбор на два равновероятных варианта. Они сообщают, что когда количество вариантов увеличивается до более чем 7 вариантов (7 дверей), люди склонны переключаться чаще; однако большинство участников по-прежнему неверно оценивают вероятность успеха в соотношении 50:50.

Вос Савант и фурор в СМИ

Вос Савант написала в своей первой колонке о проблеме Монти Холла, что игрок должен переключиться. Она получила тысячи писем от своих читателей, подавляющее большинство из которых, в том числе многие от читателей с докторской степенью, не согласились с ее ответом. В 1990–1991 годах парадоксу были посвящены еще три ее колонки в « Параде» . Многочисленные примеры писем читателей колонок Вос Саванта представлены и обсуждаются в книге «Дилемма Монти Холла: когнитивная иллюзия по преимуществу» .

Обсуждение было воспроизведено в других местах (например, в газетной колонке Сесила Адамса " The Straight Dope ") и опубликовано в крупных газетах, таких как The New York Times .

Пытаясь прояснить свой ответ, она предложила проиллюстрировать игру в ракушку: «Вы смотрите в сторону, и я кладу горошину под одну из трех раковин. Затем я прошу вас ткнуть пальцем в раковину. Вероятность того, что ваш выбор содержит горошина 1/3, согласовано? Затем я просто поднимаю пустую оболочку из оставшихся двух. Поскольку я могу (и буду) делать это независимо от того, что вы выбрали, мы не узнали ничего, что позволило бы нам пересмотреть шансы на ракушку под вашим пальцем ». Она также предложила аналогичную симуляцию с тремя игральными картами.

Вос Савант прокомментировала, что, хотя некоторая путаница была вызвана тем, что некоторые читатели не понимали, что они должны были предположить, что ведущий всегда должен показывать козу, почти все ее многочисленные корреспонденты правильно поняли проблемные предположения и все же изначально были убеждены, что вос Савант ответ («переключатель») был неправильным.

Замешательство и критика

Источники путаницы

Когда впервые сталкивается с проблемой Монти Холла, подавляющее большинство людей предполагают, что каждая дверь имеет равную вероятность, и приходят к выводу, что переключение не имеет значения. Из 228 субъектов в одном исследовании только 13% решили переключиться. В своей книге Сила логического мышления , когнитивный психолог Массимо Piattelli Palmarini  [ это не] пишет: «Ни одна другая статистическая головоломка приходит так близко к одурачить всех людей все время [и] даже Nobel физиков систематически дают неправильный ответ, и что они настаивают на этом, и они готовы ругать в печати тех, кто предлагает правильный ответ ». Голуби, неоднократно сталкивающиеся с этой проблемой, показывают, что они быстро учатся всегда переключаться, в отличие от людей.

Большинство формулировок проблемы, особенно в Parade , не соответствуют правилам реального игрового шоу и не полностью определяют поведение ведущего или то, что местоположение автомобиля выбирается случайным образом. Краусс и Ван предполагают, что люди делают стандартные предположения, даже если они не сформулированы явно.

Хотя эти проблемы имеют математическое значение, даже при учете этих факторов почти все люди по-прежнему думают, что каждая из двух закрытых дверей имеет равную вероятность, и приходят к выводу, что переключение не имеет значения. Это предположение о «равной вероятности» - глубоко укоренившаяся интуиция. Люди сильно склонны полагать, что вероятность равномерно распределяется по всему количеству неизвестных, независимо от того, есть это или нет.

Проблема продолжает привлекать внимание когнитивных психологов. Типичное поведение большинства, то есть отказ от переключения, можно объяснить феноменами, известными в психологической литературе как:

1. Эффект эндаумента , при котором люди склонны переоценивать вероятность выигрыша уже выбранной - уже «находящейся в собственности» двери.
2. Смещения статуса - кво , в котором люди предпочитают палочку с выбором двери они уже сделали.
3. Ошибки упущения и ошибки комиссионного вознаграждения имеют эффект, при котором, при прочих равных, люди предпочитают совершать ошибки посредством бездействия (Остаться), а не действия (Переключить).

Экспериментальные данные подтверждают, что это правдоподобные объяснения, не зависящие от вероятностной интуиции. Другая возможность состоит в том, что интуиция людей просто имеет дело не с учебной версией задачи, а с реальной постановкой игрового шоу. Там есть вероятность, что ведущий шоу обманывает, открывая другие двери только в том случае, если изначально была выбрана дверь с автомобилем. Мастер шоу, играющий обманным путем, в половине случаев изменяет шансы на победу в случае, если одному предлагается перейти на «равную вероятность».

Критика простых решений

Как уже отмечалось, большинство источников в области вероятности , в том числе многие вводные учебники по вероятности, решают проблему, показывая условные вероятности того, что автомобиль находится за дверью 1 и дверью 2.1/3 а также 2/3 (нет 1/2 а также 1/2) при условии, что участник сначала выбирает дверь 1, а ведущий открывает дверь 3; различные способы получения и понимания этого результата были приведены в предыдущих подразделах.

Среди этих источников есть несколько, которые открыто критикуют широко представленные «простые» решения, заявляя, что эти решения «правильные, но ... шаткие», или не «решают поставленную проблему», или являются «неполными», или «неубедительными и неубедительными». вводящие в заблуждение "или являются (прямо)" ложными ".

Саша Волоч (2015) писал, что «любое объяснение, которое говорит что-то вроде« вероятность двери 1 была 1/3, и ничто не может изменить это  ... 'автоматически становится подозрительным: вероятности - это выражение нашего незнания мира, а новая информация может изменить степень нашего невежества ».

Некоторые говорят, что эти решения отвечают на несколько другой вопрос - одна фраза: «вы должны объявить, прежде чем дверь будет открыта , планируете ли вы переключиться».

Простые решения различными способами показывают, что участник, решивший переключиться, с вероятностью выиграет машину. 2/3, и, следовательно, это переключение является выигрышной стратегией, если игрок должен заранее выбрать между «всегда переключаться» и «всегда оставаться». Однако вероятность выигрыша при постоянном переключении является логически отличным понятием от вероятности выигрыша при переключении при условии, что игрок выбрал дверь 1, а хост открыл дверь 3 . Как говорится в одном источнике, «различие между [этими вопросами], кажется, многих сбивает с толку». Тот факт, что они разные, можно показать, варьируя задачу так, чтобы эти две вероятности имели разные числовые значения. Например, предположим, что участник знает, что Монти не выбирает вторую дверь случайным образом среди всех допустимых альтернатив, а вместо этого, когда ему предоставляется возможность выбрать между двумя проигрышными дверями, Монти откроет правую. В этой ситуации на следующие два вопроса есть разные ответы:

1. Какова вероятность выиграть машину, всегда меняя?
2. Какова вероятность выигрыша машины, если игрок выбрал дверь 1, а хозяин открыл дверь 3 ?

Ответ на первый вопрос: 2/3, как правильно показывают «простые» решения. Но ответ на второй вопрос теперь другой: условная вероятность, что машина находится за дверью 1 или дверью 2, при условии, что хозяин открыл дверь 3 (дверь справа), равна1/2. Это потому, что Монти предпочитает крайние правые двери, что означает, что он открывает дверь 3, если машина находится за дверью 1 (что изначально с вероятностью1/3) или если машина находится за дверью 2 (тоже изначально с вероятностью 1/3). Для этого варианта два вопроса дают разные ответы. Однако до тех пор, пока начальная вероятность того, что машина находится за каждой дверью, равна1/3, переключение никогда не является недостатком для участника, так как условная вероятность выигрыша в результате переключения всегда составляет не менее 1/2.

В Morgan et al. , четыре университетских профессора опубликовали в The American Statistician статью, в которой утверждали, что Вос Савант дал правильный совет, но неверный аргумент. Они считали, что задаваемый вопрос о вероятности появления машины за дверью 2 с учетом первоначального выбора игрока для двери 1 и открытой двери 3, и они показали, что этот шанс был чем-то между1/2и 1 в зависимости от процесса принятия решения принимающей стороной с учетом выбора. Только когда решение полностью рандомизировано, есть шанс2/3.

В приглашенном комментарии и в последующих письмах редактору Морган и др. Были поддержаны одними писателями, а другие подверглись критике; в каждом случае ответ Morgan et al публикуется вместе с письмом или комментарием в The American Statistician . В частности, Вос Савант энергично защищалась. В своем ответе vos Savant Морган и др. Жаловались, что vos Savant до сих пор не отреагировали на их собственный главный вопрос. Позже в своем ответе Хогбину и Нидждаму они согласились с тем, что было естественным предположить, что хозяин выбирает дверь для открытия совершенно случайно, когда у него есть выбор, и, следовательно, что условная вероятность выигрыша при переключении (т. Е. условно, учитывая ситуацию, в которой находится игрок, когда он должен сделать свой выбор) имеет то же значение,2/3, как безусловная вероятность выигрыша при переключении (т.е. усредненная по всем возможным ситуациям). Это равенство уже подчеркивалось Беллом (1992), который предположил, что математически сложное решение Моргана и др. Понравится только статистикам, тогда как эквивалентность условного и безусловного решений в случае симметрии была интуитивно очевидна.

В литературе существуют разногласия относительно того, ставит ли Вос Савант формулировку проблемы, как она представлена ​​в Parade , первый или второй вопрос, и является ли это различие значительным. Берендс заключает, что «нужно внимательно рассмотреть вопрос, чтобы убедиться, что оба анализа верны»; что не означает, что они одинаковы. Некоторые критики статьи Morgan et al. , чьи статьи были опубликованы вместе с оригинальной статьей, критиковали авторов за изменение формулировки Вос Савант и неверное толкование ее намерений. Один из участников дискуссии (Уильям Белл) счел делом вкуса явное упоминание того, что (при стандартных условиях), какая дверь открывается ведущим, не зависит от того, нужно ли переключаться.

Среди простых решений «решение с комбинированными дверями» ближе всего к условному решению, как мы видели при обсуждении подходов, использующих концепцию шансов и теорему Байеса. Он основан на глубоко укоренившейся интуиции, что раскрытие уже известной информации не влияет на вероятности . Но знание того, что ведущий может открыть одну из двух не выбранных дверей, чтобы показать козу, не означает, что открытие конкретной двери не повлияет на вероятность того, что машина находится за первоначально выбранной дверью. Дело в том, что, хотя мы заранее знаем, что хозяин откроет дверь и покажет козу, мы не знаем, какую дверь он откроет. Если хост выбирает равномерно случайным образом между дверями, скрывающими козу (как в случае стандартной интерпретации), эта вероятность действительно остается неизменной, но если хост может выбирать между такими дверями неслучайно, то конкретная дверь, которую открывает хост раскрывает дополнительную информацию. Хозяин всегда может открыть дверь, обнаружив козла, и (в стандартной интерпретации задачи) вероятность того, что машина окажется за первоначально выбранной дверью, не меняется, но последнее верно не из- за первого. Решения, основанные на утверждении, что действия хоста не могут повлиять на вероятность того, что машина находится позади первоначально выбранного, кажутся убедительными, но это утверждение просто неверно, если каждый из двух вариантов хоста не является равновероятным, если у него есть выбор. Следовательно, это утверждение должно быть обосновано; без обоснования решение в лучшем случае неполное. Ответ может быть правильным, но аргументация, использованная для его оправдания, ошибочна.

Решения с использованием условной вероятности и другие решения

Приведенные выше простые решения показывают, что игрок со стратегией переключения выигрывает машину с общей вероятностью. 2/3, т. е. без учета того, какая дверь была открыта хостом. Напротив, большинство источников в области вероятностей вычисляют условные вероятности того, что автомобиль находится за дверью 1 и дверью 2, являются1/3 а также 2/3 учитывая, что участник изначально выбирает дверь 1, а ведущий открывает дверь 3. Решения в этом разделе учитывают только те случаи, когда игрок выбрал дверь 1, а ведущий открыл дверь 3.

Уточнение простого решения

Если мы предположим, что хост открывает дверь наугад, когда ему предоставляется выбор, то какая дверь открывает хост не дает нам никакой информации о том, находится ли машина за дверью 1. В простых решениях мы уже наблюдали. что вероятность того, что машина находится за дверью 1, дверью, изначально выбранной игроком, изначально равна 1/3. Кроме того, хозяин, конечно , собирается открыть в (другое) двери, так что открытие в двери ( которая дверь неопределенная) ничего не меняет.1/3Должна быть средняя вероятность того, что автомобиль находится за дверью 1, учитывая выбранную хозяином дверь 2 и заданную хозяином дверь 3, потому что это единственные две возможности. Но эти две вероятности одинаковы. Следовательно, они оба равны1/3. Это показывает, что вероятность того, что машина находится за дверью 1, при условии, что игрок изначально выбрал эту дверь и при условии, что хозяин открыл дверь 3, составляет1/3, и отсюда следует, что вероятность того, что машина находится за дверью 2, при условии, что игрок изначально выбрал дверь 1, а хозяин открыл дверь 3, составляет 2/3. Анализ также показывает, что общий уровень успеха2/3, достигается постоянным переключением , не может быть улучшен и подчеркивает то, что уже могло быть интуитивно очевидным: выбор, стоящий перед игроком, заключается в том, что между первоначально выбранной дверью и другой дверью, оставленной закрытой хозяином, конкретные числа на этих дверях не имеют значения.

Условная вероятность прямым вычислением

Дерево, показывающее вероятность всех возможных исходов, если игрок сначала выбирает Дверь 1.

По определению, условная вероятность выигрыша при переключении при условии, что участник изначально выбирает дверь 1, а ведущий открывает дверь 3, представляет собой вероятность события «машина за дверью 2, а хост открывает дверь 3», деленная на вероятность «хост открывает дверь». 3 дюйма. Эти вероятности можно определить, используя приведенную ниже таблицу условных вероятностей или эквивалентное дерево решений, показанное справа. Условная вероятность выигрыша при переключении равна1/3/1/3 + 1/6, который 2/3.

В приведенной ниже таблице условной вероятности показано, как 300 случаев, во всех из которых игрок изначально выбирает дверь 1, будут разделены, в среднем, в зависимости от местоположения автомобиля и выбора двери, которую должен открыть хост.

Автомобиль скрыт за дверью 3 (в среднем 100 случаев из 300)	Автомобиль спрятан за дверью 1 (в среднем 100 случаев из 300)		Автомобиль спрятан за дверью 2 (в среднем 100 случаев из 300)
Игрок сначала выбирает Дверь 1, 300 повторений
Хост должен открыть дверь 2 (100 ящиков)	Хост случайным образом открывает дверь 2 (в среднем 50 случаев)	Хост случайным образом открывает дверь 3 (в среднем 50 случаев)	Хост должен открыть дверь 3 (100 ящиков)
Вероятность 1/3 (100 из 300)	Вероятность 1/6 (50 из 300)	Вероятность 1/6 (50 из 300)	Вероятность 1/3 (100 из 300)
Переключение побед	Переключение проигрывает	Переключение проигрывает	Переключение побед
В тех случаях, когда ведущий открывает Дверь 2, переключение побеждает в два раза чаще, чем остается (100 случаев против 50).		В тех случаях, когда ведущий открывает Дверь 3, переключение выигрывает в два раза чаще, чем остается (100 случаев против 50).

Теорема Байеса

Многие учебники по вероятности и статьи в области теории вероятностей выводят решение с условной вероятностью посредством формального применения теоремы Байеса ; среди них книги Гилла и Хенце. Использование нечетной формы теоремы Байеса, часто называемой правилом Байеса, делает такой вывод более прозрачным.

Первоначально автомобиль с одинаковой вероятностью находится за любой из трех дверей: шансы на дверь 1, дверь 2 и дверь 3 равны 1: 1: 1 . Это остается так после того, как игрок независимо выбрал дверь 1. Согласно правилу Байеса , апостериорные шансы на местонахождение машины при условии, что хозяин открывает дверь 3, равны априорным шансам, умноженным на байесовский фактор или вероятность, которая, по определению, является вероятностью новой детали. информации (хост открывает дверь 3) по каждой из рассмотренных гипотез (местонахождение автомобиля). Теперь, поскольку игрок изначально выбрал дверь 1, вероятность того, что хост откроет дверь 3, составляет 50%, если машина находится за дверью 1, 100%, если машина находится за дверью 2, 0%, если машина находится за дверью 3. Таким образом, Фактор Байеса состоит из соотношений1/2 : 1: 0 или эквивалентно 1: 2: 0 , тогда как предыдущие коэффициенты были 1: 1: 1 . Таким образом, апостериорные шансы становятся равными байесовскому фактору 1: 2: 0 . Учитывая, что хост открыл дверь 3, вероятность того, что машина находится за дверью 3, равна нулю, и это в два раза больше вероятности оказаться за дверью 2, чем за дверью 1.

Ричард Гилл анализирует вероятность того, что хозяин откроет дверь 3, следующим образом. Учитывая, что машина находится не за дверью 1, с равной вероятностью она находится за дверью 2 или 3. Таким образом, вероятность того, что хозяин откроет дверь 3, составляет 50%. Учитывая, что машина находится за дверью 1, вероятность того, что хост откроет дверь 3, также составляет 50%, потому что, когда у хоста есть выбор, любой выбор одинаково вероятен. Следовательно, независимо от того, находится ли машина за дверью 1, вероятность того, что хост откроет дверь 3, составляет 50%. Информация «хост открывает дверь 3» вносит байесовский фактор или отношение правдоподобия 1: 1 в зависимости от того, находится ли машина за дверью 1. Первоначально вероятность того, что дверь 1 скрывает машину, составляла 2: 1 . Следовательно, апостериорные шансы на то, что дверь 1 скрывает машину, остаются такими же, как и предыдущие шансы 2: 1 .

На словах, информация о том, какая дверь открывается хозяином (дверь 2 или дверь 3?), Не раскрывает вообще никакой информации о том, находится ли машина за дверью 1, и это именно то, что якобы интуитивно очевидно сторонниками простые решения, или, используя идиомы математических доказательств, «очевидно истинное, по симметрии».

Прямой расчет

Рассмотрим событие Ci , указывающее на то, что автомобиль находится за дверью номер i , принимает значение Xi для выбора игрока и значение Hi для хоста, открывающего дверь. Первоначально игрок выбирает дверь i = 1, C = X1, и ведущий открывает дверь i = 3, C = H3.

В этом случае мы имеем:

${\ Displaystyle {\ begin {align} P (H3 | C1, X1) & = {\ tfrac {1} {2}} \\ P (H3 | C2, X1) & = 1 \\ P (H3 | C3, X1) & = 0 \\ P (Ci) & = {\ tfrac {1} {3}} \\ P (Ci, Xi) & = P (Ci) P (Xi) \\ P (H3 | X1) & = {\ tfrac {1} {2}} \\\ конец {выровнено}}}$

P (H3 | X1) = 1/2, потому что это выражение зависит только от X1 , а не от любого Ci . Итак, в этом конкретном выражении выбор хоста не зависит от того, где находится машина, и после выбора X1 остаются только две двери (например, P (H1 | X1) = 0 ); и P (Ci, Xi) = P (Ci) P (Xi), потому что Ci и Xi являются независимыми событиями (игрок не знает, где находится машина, чтобы сделать выбор).

Затем, если игрок изначально выбирает дверь 1, а ведущий открывает дверь 3, мы доказываем, что условная вероятность выигрыша при переключении равна:

${\ displaystyle {\ begin {align} P (C2 | H3, X1) & = {\ tfrac {2} {3}} \ end {align}}}$

Из правила Байеса мы знаем, что P (A, B) = P (A | B) P (B) = P (B | A) P (A) . Распространяя эту логику на несколько событий, например A , B и C , мы получаем, что можем поиграть с различными подмножествами {A, B, C}, чтобы вычислить вероятность пересечения, в качестве инструмента для упрощения вычисления наших условная возможность:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} P (A, B, C) & = P (A | B, C) P (B, C) \\ & = P (B | A, C) P (A, C ) \\ & = P (C | A, B) P (A, B) \\ & = P (A, B | C) P (C) \\ & = P (A, C | B) P (B ) \\ & = P (B, C | A) P (A) \ end {align}}}$

В нашем случае, поскольку мы знаем, что P (H3 | C2, X1) = 1 , нам повезло:

${\ displaystyle {\ begin {align} P (C2 | H3, X1) & = {\ frac {P (C2, H3, X1)} {P (H3, X1)}} = {\ frac {P (H3 | C2, X1) P (C2, X1)} {P (H3, X1)}} = {\ frac {P (C2) P (X1)} {P (H3 | X1) P (X1)}} = {\ гидроразрыв {1/3} {1/2}} = {\ гидроразрыв {2} {3}} \ конец {выровненный}}}$

Решение стратегического доминирования

Возвращаясь к Налебаффу, проблема Монти Холла также широко изучается в литературе по теории игр и теории принятия решений , и этой точке зрения соответствуют некоторые популярные решения. Вос Савант просит решения, а не шанса. А случайные аспекты того, как спрятана машина и как открыта невыбранная дверь, неизвестны. С этой точки зрения нужно помнить, что у игрока есть две возможности сделать выбор: во-первых, какую дверь выбрать изначально; а во-вторых, переключаться или нет. Поскольку он не знает, как спрятана машина и как хозяин делает выбор, он может использовать свой первый вариант выбора, как бы нейтрализовать действия команды, проводящей викторину, включая ведущего.

Следуя Гиллу, стратегия участника включает в себя два действия: первоначальный выбор двери и решение переключиться (или придерживаться), которое может зависеть как от изначально выбранной двери, так и от двери, на которую хост предлагает переключение. Например, стратегия одного из участников: «выбрать дверь 1, затем переключиться на дверь 2, когда предлагается, и не переключаться на дверь 3, когда предлагается». Существует двенадцать таких детерминированных стратегий участника.

Элементарное сравнение стратегий участника показывает, что для каждой стратегии A существует другая стратегия B «выбрать дверь, а затем переключиться, что бы ни случилось», которая доминирует над ней. Независимо от того, как спрятана машина и какое правило использует ведущий, когда у него есть выбор между двумя козлами, если A выигрывает машину, то B также делает это. Например, в стратегии A «выбрать дверь 1 и всегда придерживаться ее» преобладает стратегия B «выбрать дверь 1 и всегда переключаться после того, как хост открывает дверь»: A выигрывает, когда дверь 1 закрывает машину, а B выигрывает, когда одна из дверей 2 и 3 скрывает автомобиль. Точно так же в стратегии A «выбрать дверь 1, затем переключиться на дверь 2 (если предлагается), но не переключиться на дверь 3 (если предлагается)» преобладает стратегия B «выбрать дверь 3, затем всегда переключаться».

Доминирование - веская причина искать решение среди стратегий постоянного переключения при довольно общих предположениях об окружающей среде, в которой участник принимает решения. В частности, если автомобиль скрыт с помощью некоторого устройства рандомизации - например, подбрасывания симметричной или асимметричной трехсторонней матрицы - доминирование означает, что стратегия, максимизирующая вероятность выигрыша автомобиля, будет одной из трех стратегий постоянного переключения, а именно: быть стратегией, которая сначала выбирает наименее вероятную дверь, а затем переключает, независимо от того, какую дверь переключить предлагает хост.

Стратегическое доминирование связывает проблему Монти Холла с теорией игр . В сеттинге игры с нулевой суммой Джилла отказ от стратегий без переключения сводит игру к следующему простому варианту: ведущий (или телевизионная команда) решает, через дверь ли спрятать машину, и участник выбирает две двери ( т.е. две двери, оставшиеся после первого номинального выбора игрока). Участница побеждает (а ее противник проигрывает), если машина находится за одной из двух дверей, которые она выбрала.

Решения путем моделирования

Моделирование 29 исходов задачи Монти Холла

Простой способ продемонстрировать, что стратегия переключения действительно выигрывает два из трех раз при стандартных предположениях, - это смоделировать игру с игральными картами . Три карты из обычной колоды используются для обозначения трех дверей; одна «особая» карта представляет собой дверь с автомобилем, а две другие карты представляют собой козьи двери.

Моделирование можно повторить несколько раз, чтобы смоделировать несколько раундов игры. Игрок выбирает одну из трех карт, затем, глядя на оставшиеся две карты, «хозяин» сбрасывает карту козла. Если карта, остающаяся в руке хозяина, является картой автомобиля, это записывается как выигрыш переключения; если хозяин держит карту козла, раунд записывается как оставшаяся победа. Поскольку этот эксперимент повторяется в течение нескольких раундов, наблюдаемый процент выигрышей для каждой стратегии, вероятно, приближается к ее теоретической вероятности выигрыша в соответствии с законом больших чисел .

Повторные игры также проясняют, почему переключение - лучшая стратегия. После того, как игрок выбирает свою карту, уже определяется , выиграет ли переключение раунд для игрока. Если это не убедительно, моделирование можно проводить со всей колодой. В этом варианте автомобиль карта идет к хосту 51 раз из 52, и остаются с хозяином , независимо от того , сколько не являющихся -автомобиль карт отбрасываются.

Варианты

Общий вариант проблемы, принятый несколькими академическими авторами как каноническая проблема, не делает упрощающего предположения, что хост должен единообразно выбирать дверь, которую нужно открыть, но вместо этого он использует некоторую другую стратегию . Путаница в отношении того, какая формализация является авторитетной, привела к значительной язвительности, особенно потому, что этот вариант делает доказательства более сложными, не изменяя оптимальности стратегии постоянного переключения для игрока. В этом варианте у игрока могут быть разные вероятности выигрыша в зависимости от наблюдаемого выбора хоста, но в любом случае вероятность выигрыша при переключении составляет не менее1/2(и может достигать 1), в то время как общая вероятность выигрыша при переключении все еще равна точно2/3. Варианты иногда последовательно представлены в учебниках и статьях, предназначенных для обучения основам теории вероятностей и теории игр . Изучено также значительное количество других обобщений.

Другое поведение хоста

В версии проблемы Монти Холла, опубликованной в Parade в 1990 году, конкретно не говорилось, что ведущий всегда будет открывать другую дверь или всегда предлагать переключиться, или даже никогда не открывать дверь, открывающую машину. Однако вос Савант ясно дала понять в своей второй последующей колонке, что поведение предполагаемого хозяина могло быть только тем, что привело к2/3вероятность, которую она дала в качестве своего первоначального ответа. «Все остальное - это другой вопрос». «Практически все мои критики понимали предполагаемый сценарий. Я лично прочитал почти три тысячи писем (из многих дополнительных тысяч, которые пришли) и обнаружил, что почти все настаивают на том, что, поскольку осталось два варианта (или эквивалентная ошибка), шансы были Даже. Очень немногие вызвали вопросы о двусмысленности, и письма, фактически опубликованные в колонке, не были среди этих немногих ». Ответ следует, если машина случайным образом помещается за любой дверью, хозяин должен открыть дверь, в которой видна коза, независимо от первоначального выбора игрока, и, если доступны две двери, выбирает, какую из них открыть случайным образом. В таблице ниже показано множество других возможных вариантов поведения хоста и их влияние на успешность переключения.

Определение лучшей стратегии игрока в рамках заданного набора других правил, которым должен следовать ведущий, - это тип проблемы, изучаемой в теории игр . Например, если хост не обязан делать предложение о переключении, игрок может подозревать, что хост является злонамеренным, и делает предложения чаще, если игрок изначально выбрал машину. В общем, ответ на такой вопрос зависит от конкретных предположений, сделанных о поведении хоста, и может варьироваться от «полностью игнорировать хост» до «подбросить монетку и переключиться, если выпадет орел»; см. последнюю строку таблицы ниже.

Морган и др. И Гиллман оба показывают более общее решение, в котором автомобиль (равномерно) размещается случайным образом, но хост не ограничен в выборе случайным образом равномерно, если игрок изначально выбрал автомобиль, как они оба интерпретируют формулировку задачи. in Parade, несмотря на заявления автора. Оба изменили формулировку версии Parade, чтобы подчеркнуть этот момент при повторной постановке проблемы. Они рассматривают сценарий, в котором хозяин выбирает между открытием двух коз с предпочтением, выраженным как вероятность q , имеющая значение от 0 до 1. Если хозяин выбирает случайным образом, q будет1/2 и переключение выигрышей с вероятностью 2/3независимо от того, какую дверь открывает хозяин. Если игрок выбирает дверь 1 и предпочтения хозяина для двери 3, д , то вероятность того, хозяин открывает дверь 3 и автомобиль находится за дверью 21/3, а вероятность того, что хозяин откроет дверь 3, а машина окажется за дверью 1, равна q/3. Это единственные случаи, когда хост открывает дверь 3, поэтому условная вероятность выигрыша при переключении, если хост открывает дверь 3, составляет1/3/1/3 + q / 3 что упрощает 1/1 + д. Поскольку q может варьироваться от 0 до 1, эта условная вероятность может варьироваться от1/2и 1. Это означает, что даже без ограничения хоста на выбор случайным образом, если игрок изначально выбирает машину, переключение игрока никогда не будет хуже. Однако ни один из источников не предполагает, что игрок знает значение q , поэтому игрок не может приписать вероятность, отличную от2/3 это предположение Вос Савант было неявным.

N дверей

Д.Л. Фергюсон (1975 г. в письме к Селвину) предлагает N- дверное обобщение исходной проблемы, в котором хост открывает p проигрышные двери, а затем предлагает игроку возможность переключиться; в этом варианте с вероятностью выигрывает переключение . Эта вероятность всегда больше , поэтому переключение всегда дает преимущество. ${\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ cdot {\ frac {N-1} {Np-1}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {N}}}$

Даже если хост открывает только одну дверь ( ), игроку лучше переключаться в любом случае. По мере увеличения N преимущество уменьшается и приближается к нулю. С другой стороны, если хост открывает все проигрышные двери, кроме одной ( p  =  N  - 2), преимущество увеличивается по мере увеличения N (вероятность выигрыша путем переключения равна${\ displaystyle p = 1}$N - 1/N, которая приближается к 1 при очень большом N ).

Квантовая версия

Квантовая версия парадокса иллюстрирует некоторые моменты о связи между классической или неквантовой информацией и квантовой информацией , закодированной в состояниях квантово-механических систем. Формулировка в общих чертах основана на квантовой теории игр . Три двери заменены квантовой системой, допускающей три альтернативы; открыть дверь и заглянуть за нее, что переводится как выполнение определенного измерения. Правила могут быть изложены на этом языке, и снова игроку остается выбор: придерживаться первоначального выбора или перейти к другому «ортогональному» варианту. Последняя стратегия, как и в классическом случае, увеличивает шансы вдвое. Однако, если ведущий шоу не рандомизировал положение приза полностью квантово-механическим способом, игрок может добиться еще большего, а иногда даже с уверенностью выиграть приз.

История

Самой ранней из нескольких вероятностных головоломок, связанных с проблемой Монти Холла, является парадокс ящика Бертрана , сформулированный Жозефом Бертраном в 1889 году в его « Calcul des probabilités» . В этой головоломке есть три коробки: коробка с двумя золотыми монетами, коробка с двумя серебряными монетами и коробка с одной каждой из них. После выбора коробки наугад и случайного извлечения одной монеты, которая оказывается золотой, возникает вопрос, какова вероятность того, что другая монета будет золотой. Как и в случае с проблемой Монти Холла, интуитивный ответ таков:1/2, но на самом деле вероятность 2/3.

Три Узники проблема , опубликованная в Martin Gardner «s Математические игры колонке в журнале Scientific American в 1959 году эквивалентна проблеме Monty Hall. Эта проблема касается трех осужденных заключенных, один из которых был тайно выбран для помилования. Один из заключенных умоляет надзирателя назвать ему имя одного из других, которого нужно казнить, утверждая, что это не раскрывает никакой информации о его собственной судьбе, но увеличивает его шансы на помилование.1/3 к 1/2. Надзиратель обязывает (тайно) подбрасывать монетку, чтобы решить, какое имя назвать, если заключенный, который просит, помилован. Вопрос в том, изменяет ли знание ответа надзирателя шансы заключенного на помилование. Эта проблема эквивалентна проблеме Монти Холла; у заключенного, задающего вопрос, все еще есть1/3 шанс на помилование, но его неназванный коллега имеет 2/3 шанс.

Стив Селвин сформулировал проблему Монти Холла в паре писем в The American Statistician в 1975 году. В первом письме проблема была представлена ​​в версии, близкой к ее изложению в Parade 15 лет спустя. Второе, по-видимому, первое употребление термина «проблема Монти Холла». Проблема на самом деле в экстраполяции игрового шоу. Монти Холл открыл не ту дверь, чтобы вызвать ажиотаж, но предложил меньший приз - например, 100 долларов наличными - вместо того, чтобы сменить дверь. Как писал Монти Холл Селвину:

И если вы когда-нибудь попадете на мое шоу, правила будут для вас неизменными - никаких торговых ящиков после выбора.

-  Монти Холл

Версия проблемы, очень похожая на ту, которая появилась три года спустя в « Параде», была опубликована в 1987 году в разделе «Пазлы» журнала «Экономические перспективы» . Налебафф, как более поздний писатель по математической экономике, рассматривает эту проблему как простое и забавное упражнение в теории игр .

«Ловушка Монти Холла», статья Филиппа Мартина в журнале Bridge Today в 1989 году , представила проблему Селвина как пример того, что Мартин называет вероятностной ловушкой, когда обрабатывает неслучайную информацию, как если бы она была случайной, и связывает это с концепциями игры в бридж. .

В новой редакции проблемы Selvin появилась в Мэрилин вос Савант «с Ask Marilyn вопросов и ответы колонны Парада в сентябре 1990 года , хотя вос Савант дал правильный ответ , что переключение будет выиграть две трети времени, она оценивает журнал получил 10 000 писем, в том числе около 1 000 подписанных докторами наук, многие на бланках факультетов математики и естествознания, заявляют, что ее решение было неправильным. Из-за подавляющего отклика Parade опубликовал беспрецедентные четыре колонки по этой проблеме. В результате огласки проблема получила альтернативное название «Мэрилин и Козы».

В ноябре 1990 г. столь же спорное обсуждение статьи Вос Саванта имело место в колонке Сесила Адамса « The Straight Dope ». Первоначально Адамс ответил неверно, что вероятность открытия двух оставшихся дверей должна быть одна к двум. После того, как читатель написал, чтобы исправить математику анализа Адамса, Адамс согласился, что математически он был неправ. «Вы выбираете дверь №1. Теперь вам предлагается выбор: открыть дверь №1 или открыть дверь №2 и дверь №3. В последнем случае вы сохраняете приз, если он находится за любой из дверей. если вдуматься, исходная задача предлагает вам в основном тот же выбор. Монти, по сути, говорит: вы можете сохранить свою единственную дверь или у вас могут быть две другие двери, одну из которых (непризовую) я открою для вас ». Адамс действительно сказал, что в версии Parade критические ограничения остались неустановленными, и без этих ограничений шансы на победу при переключении не обязательно были двумя из трех (например, было неразумно предполагать, что хост всегда открывает дверь). Однако многочисленные читатели писали, что Адамс был «прав с первого раза» и что правильные шансы были равны одному из двух.

Parade колонна и ее ответ получил значительное внимание в прессе, в том числе историю на первой странице в Нью - Йорк Таймс , в которой Монти Холла сам опрошены. Холл понял проблему, продемонстрировав репортеру демонстрацию ключей от машины и объяснив, чем реальная игра в Let's Make a Deal отличается от правил головоломки. В статье Холл указал, что, поскольку он контролировал ход игры, играя на психологии соперника, теоретическое решение не применимо к реальному игровому процессу шоу. Он сказал, что его не удивило утверждение экспертов о том, что вероятность была 1 из 2. «Это то же самое предположение, которое участники конкурса сделали бы в шоу после того, как я показал им, что за одной дверью ничего не было», - сказал он. «Они подумали, что шансы на их дверь теперь увеличились до 1 к 2, поэтому они ненавидели отказываться от двери, независимо от того, сколько денег я предлагал. Открывая эту дверь, мы оказывали давление. Мы назвали это Генри Джеймсом. лечение. Это был « Поворот винта » ». Холл пояснил, что как ведущий игрового шоу ему не нужно было следовать правилам головоломки в колонке vos Savant и не всегда нужно было давать человеку возможность переключиться (например, он мог бы немедленно открыть дверь, если бы это был проигравшая дверь, может предложить им деньги, чтобы не переключиться с проигрышной двери на выигрышную, или может дать им возможность переключиться только в том случае, если у них есть выигрышная дверь). «Если хост должен постоянно открывать дверь и предлагать вам выключатель, то вы должны взять выключатель», - сказал он. «Но если у него есть выбор, разрешить переключение или нет, будьте осторожны. Будьте осторожны, покупатель. Все зависит от его настроения».

Смотрите также

• Разрушители мифов. Эпизод 177 "Колесо легенды" - Выбери дверь
• Принцип ограниченного выбора - аналогичное применение байесовского обновления в мосте контрактов

Подобные загадки в теории вероятностей и решений

• Парадокс мальчика или девочки
• Проблема Спящей красавицы
• Проблема с двумя конвертами

использованная литература

Библиография

• Адамс, Сесил (2 ноября 1990 г.). «В Let's Make a Deal вы выбираете дверь №1. Монти открывает дверь №2 - никакого приза. Вы останетесь с дверью №1 или переключитесь на №3?» . Прямой допинг . Проверено 25 июля 2005 года .
• Барбо, Эдвард (1993). «Заблуждения, недостатки и вздор: проблема автомобиля и коз». Журнал математики колледжа . 24 (2): 149–154. DOI : 10.1080 / 07468342.1993.11973519 .
• Берендс, Эрхард (2008). Пятиминутная математика . Книжный магазин AMS. п. 57. ISBN 978-0-8218-4348-2.
• Белл, Уильям (август 1992 г.). «Комментарий Моргана и др. « Давайте заключим сделку ». Американский статистик . 46 (3): 241.
• Карлтон, Мэтью (2005). «Родословные, призы и заключенные: злоупотребление условной вероятностью» . Журнал статистики образования . 13 (2). DOI : 10.1080 / 10691898.2005.11910554 . S2CID  118792491 .
• Чун, Янг Х. (1991). «Проблема игрового шоу». ИЛИ / MS Сегодня . 18 (3): 9.
• Д'Ариано, GM; Gill, RD; Кейл, М .; Kuemmerer, B .; Maassen, H .; Вернер, РФ (21 февраля 2002 г.). «Квантовая проблема Монти Холла». Quant. Инф. Comput . 2 (5): 355–366. arXiv : квант-ph / 0202120 . Bibcode : 2002quant.ph..2120D .
• Девлин, Кейт (июль – август 2003 г.). «Угол Девлина: Монти Холл» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 23 июня 2014 .
• Девлин, Кейт (декабрь 2005 г.). «Угол Девлина: снова посетил Монти Холл» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 23 июня 2014 .
• Эйзенхауэр, Джозеф Г. (2001). "Матрица Монти Холла" (PDF) . Статистика обучения . 22 (1): 17–20. DOI : 10.1111 / 1467-9639.00005 . Архивировано 1 марта 2012 года из оригинального (PDF) . Проверено 9 июля 2012 года .
• Enßlin, Torsten A .; Вестеркамп, Маргрет (апрель 2018 г.). «Рациональность иррациональности в проблеме Монти Холла». Annalen der Physik . 531 (3): 1800128. arXiv : 1804.04948 . Bibcode : 2019AnP ... 53100128E . DOI : 10.1002 / andp.201800128 . S2CID  56036255 .
• Фальк, Рума (1992). «Более пристальный взгляд на вероятности пресловутых трех заключенных». Познание . 43 (3): 197–223. DOI : 10.1016 / 0010-0277 (92) 90012-7 . PMID  1643813 . S2CID  39617738 .
• Флитни, Адриан П. и Эбботт, Дерек (2002). «Квантовая версия проблемы Монти Холла». Physical Review . 65 (6): 062318. Arxiv : колич-фот / 0109035 . Bibcode : 2002PhRvA..65f2318F . DOI : 10.1103 / PhysRevA.65.062318 . S2CID  119417490 . Изобразительное искусство. № 062318, 2002 г.
• Фокс, Крейг Р. и Левав, Джонатан (2004). «Раздел-редактирование-счет: наивное экстенсиональное рассуждение в суждении об условной вероятности» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: Общие . 133 (4): 626–642. DOI : 10.1037 / 0096-3445.133.4.626 . PMID  15584810 . Архивировано из оригинального (PDF) 10 апреля 2020 года.
• Гарднер, Мартин (октябрь 1959a). «Математические игры». Scientific American : 180–182. Перепечатано во второй книге «Научно-американская книга математических головоломок и диверсий».CS1 maint: postscript ( ссылка )
• Гарднер, Мартин (ноябрь 1959b). «Математические игры». Scientific American : 188.
• Гарднер, Мартин (1982). Ага! Попался: парадоксы к загадкам и восторгу . WH Freeman. ISBN 978-0716713616.
• Гилл, Джефф (2002). Байесовские методы . CRC Press. С. 8–10. ISBN 1-58488-288-3. ( ограниченная копия в Интернете , стр. 8, в Google Книгах )CS1 maint: postscript ( ссылка )
• Гилл, Ричард (2010). «Проблема Монти Холла». Международная энциклопедия статистической науки . Springer. С. 858–863. arXiv : 1002.3878v2 .
• Гилл, Ричард (февраль 2011 г.). «Проблема Монти Холла - это не вероятностная головоломка (это задача математического моделирования)». Statistica Neerlandica . 65 (1): 58–71. arXiv : 1002.0651v3 . DOI : 10.1111 / j.1467-9574.2010.00474.x .
• Гилл, Ричард (17 марта 2011a). "Проблема Монти Холла" (PDF) . Математический институт Лейденского университета, Нидерланды. С. 10–13.
• Гиллман, Леонард (1992). «Автомобиль и козы». Американский математический ежемесячник . 99 (1): 3–7. DOI : 10.2307 / 2324540 . JSTOR  2324540 .
• Гилович, Т .; Медвец, В. Х. и Чен, С. (1995). «Комиссионные, упущения и уменьшение диссонанса: как справиться с сожалением в проблеме« Монти Холл »». Журнал личности и социальной психологии . 21 (2): 182–190. DOI : 10.1177 / 0146167295212008 . S2CID  146500989 .
• Гнедин, Саша (2011). «Игра Mondee Gills» . Математический интеллигент . 34 : 34–41. DOI : 10.1007 / s00283-011-9253-0 .
• Гранберг, Дональд (2014). Дилемма Монти Холла: когнитивная иллюзия по преимуществу . Lumad / CreateSpace. ISBN 978-0996100809.
• Гранберг, Дональд (1996). «Переключаться или не переключаться». In vos Savant, Мэрилин (ред.). Сила логического мышления . Пресса Св. Мартина. ISBN 0-312-30463-3. ( ограниченная копия в Интернете , стр. 169, в Google Книгах )CS1 maint: postscript ( ссылка )
• Гранберг, Дональд и Браун, Тад А. (1995). "Дилемма Монти Холла". Вестник личности и социальной психологии . 21 (7): 711–729. DOI : 10.1177 / 0146167295217006 . S2CID  146329922 .
• Гринстед, Чарльз М. и Снелл, Дж. Лори (4 июля 2006 г.). Введение Гринстеда и Снелла в вероятность (PDF) . Проверено 2 апреля 2008 года .
• Холл, Монти (1975). "Проблема Монти Холла" . LetsMakeADeal.com . Проверено 15 января 2007 года . Включает письмо Стиву Селвину от 12 мая 1975 г.CS1 maint: postscript ( ссылка )
• Хенце, Норберт (2011) [1997]. Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls (9-е изд.). Springer. С. 50–51, 105–107. ISBN 978-3834818454. ( ограниченная копия в Интернете , стр. 105, в Google Книгах )CS1 maint: postscript ( ссылка )
• Хербрэнсон, В. Т. и Шредер, Дж. (2010). «Птицы умнее математиков? Голуби ( Columba livia ) оптимально справляются с версией дилеммы Монти Холла» . Журнал сравнительной психологии . 124 (1): 1–13. DOI : 10.1037 / a0017703 . PMC  3086893 . PMID  20175592 .
• Hogbin, M .; Нидждам, В. (2010). «Письмо в редакцию от Моргана и др. « Давайте заключим сделку ». Американский статистик . 64 (2): 193. DOI : 10,1198 / tast.2010.09227 . S2CID 219595003 . 
• Канеман, Д .; Knetsch, JL & Thaler, RH (1991). «Аномалии: эффект наделения, неприятие потерь и предубеждение статус-кво» . Журнал экономических перспектив . 5 : 193–206. DOI : 10,1257 / jep.5.1.193 .
• Kaivanto, K .; Кролл, Е.Б. и Забински, М. (2014). «Манипуляции с триггером смещения и понимание формы задачи в Монти Холле» (PDF) . Бюллетень экономики . 34 (1): 89–98.
• Краусс, Стефан и Ван, XT (2003). «Психология проблемы Монти Холла: открытие психологических механизмов для решения цепкой головоломки» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: Общие . 132 (1): 3–22. DOI : 10.1037 / 0096-3445.132.1.3 . Проверено 30 марта 2008 года .
• Лукас, Стивен; Розенхаус, Джейсон и Шеплер, Эндрю (2009). «Проблема Монти Холла, пересмотренная» (PDF) . Математический журнал . 82 (5): 332–342. DOI : 10.4169 / 002557009X478355 . Проверено 9 июля 2012 года .
• Мартин, Филипп (1993) [1989]. Грановеттер, Памела; Грановеттер, Мэтью (ред.). Ловушка Монти Холла . Только для экспертов . Книги Грановеттера.
• Morgan, JP; Чаганты, Н.Р .; Дахия, Р.С. и Довяк, М.Дж. (1991). «Давай договоримся: дилемма игрока». Американский статистик . 45 (4): 284–287. DOI : 10.1080 / 00031305.1991.10475821 . JSTOR  2684453 .
• Морон, А., Фиоре, А. (2007). "Три двери Монти Холла для чайников" . Dipartimento di Scienze Economiche e Metodi Matematici - Università di Bari, Исследования экономики Южной Европы в области экономических исследований - СЕРИЯ Рабочий документ № 0012.
• Муэзер, Питер Р. и Гранберг, Дональд (май 1999 г.). «Возвращение к дилемме Монти Холла: понимание взаимосвязи определения проблемы и принятия решений» . Экспериментальный . Университетская библиотека Мюнхена. Рабочий документ 99–06 . Проверено 10 июня 2010 года .
• Налебафф, Барри (осень 1987). «Головоломки: выберите занавес, дуэль, двухточечные преобразования и многое другое» . Журнал экономических перспектив . 1 (2): 157–163. DOI : 10,1257 / jep.1.2.157 .
• Рао, М. Бхаскара (август 1992 г.). «Комментарий Моргана и др. « Давайте заключим сделку ». Американский статистик . 46 (3): 241–242.
• Розенхаус, Джейсон (2009). Проблема Монти Холла . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-536789-8.
• Розенталь, Джеффри С. (сентябрь 2005a). «Монти Холл, Монти Фолл, Монти Крол» (PDF) . Математические горизонты : 5–7.
• Розенталь, Джеффри С. (2005b). Удар молнии: любопытный мир вероятностей . Харпер Коллинз. ISBN 978-0-00-200791-7.
• Самуэльсон В. и Зекхаузер Р. (1988). «Предвзятость статус-кво в принятии решений». Журнал риска и неопределенности . 1 : 7–59. CiteSeerX  10.1.1.632.3193 . DOI : 10.1007 / bf00055564 . S2CID  5641133 .
• Селвин, Стив (февраль 1975a). «Проблема в вероятности (письмо в редакцию)». Американский статистик . 29 (1): 67–71. DOI : 10.1080 / 00031305.1975.10479121 . JSTOR  2683689 .
• Селвин, Стив (август 1975b). «О проблеме Монти Холла (письмо в редакцию)». Американский статистик . 29 (3): 134. JSTOR  2683443 .
• Сейманн, Р.Г. (1991). «Комментарий к книге« Давайте заключим сделку : дилемма игрока ». Американский статистик . 45 (4): 287–288. DOI : 10.2307 / 2684454 . JSTOR  2684454 .
• Стибел, Джеффри ; Дрор, Итиэль; Бен-Зеев, Талия (2008). «Теория коллапсирующего выбора: разделение выбора и суждения при принятии решений» (PDF) . Теория и решение .
• Тирни, Джон (21 июля 1991 г.). «За дверями Монти Холла: загадка, дебаты и ответы?» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 18 января 2008 года .
• Вазсоний, Андрей (декабрь 1998 г. - январь 1999 г.). "В какой двери Кадиллак?" (PDF) . Линия решения : 17–19. Архивировано из оригинального (PDF) 13 апреля 2014 года . Проверено 16 октября 2012 года .CS1 maint: дата и год ( ссылка )
• ВерБругген, Роберт (24 февраля 2015 г.). «Проблема Монти Холла: все ошибаются» . RealClearScience . Проверено 12 октября 2017 .
• Волох, Саша (02.03.2015). «Легкий ответ на печально известную проблему Монти Холла» . Вашингтон Пост . ISSN  0190-8286 . Проверено 12 октября 2017 .
• Вос Савант, Мэрилин (2012) [1990–1991]. «Проблема игрового шоу» . Парад . Архивировано из оригинального 29 апреля 2012 года .
• Вос Савант, Мэрилин (9 сентября 1990a). «Спросите Мэрилин» . Parade : 16. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 года .
• Вос Савант, Мэрилин (2 декабря 1990b). «Спросите Мэрилин» . Parade : 25. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 года .
• Вос Савант, Мэрилин (17 февраля 1991a). «Спросите Мэрилин» . Parade : 12. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 года .
• Вос Савант, Мэрилин (ноябрь 1991c). «Ответ Мэрилин вос Савант». Письма в редакцию. Американский статистик . 45 (4): 347.
• Вос Савант, Мэрилин (1996). Сила логического мышления . Пресса Св. Мартина. п. 5 . ISBN 0-312-15627-8.
• Уильямс, Ричард (2004). «Приложение D: Противоречие Монти Холла» (PDF) . Примечания курса социологии Высшей статистики I . Проверено 25 апреля 2008 .
• Уитакер, Крейг Ф. (9 сентября 1990 г.). «[Формулировка вопроса Мэрилин вос Савант в письме Крейга Уитакера]. Спросите Мэрилин». Парад : 16.

дальнейшее чтение

• Гилл, Ричард (2011b). «Проблема Монти Холла (версия 5)» . StatProb: энциклопедия, спонсируемая обществами статистики и теории вероятностей . Архивировано из оригинала на 2016-01-21 . Проверено 3 апреля 2011 .
• Вос Савант, Мэрилин (7 июля 1991b). «Спросите Мэрилин» . Parade : 26. Архивировано из оригинала 21 января 2013 года . Проверено 12 ноября 2012 года .
• Вос Савант, Мэрилин (26 ноября 2006 г.). «Спросите Мэрилин». Парад : 6.

внешние ссылки

• Проблема Game Show - исходный вопрос и ответы на веб-сайте Мэрилин вос Савант
• Калифорнийский университет в Сан-Диего, Монти знает версию и Монти не знает версию, объяснение игры
• Монти Холл в Керли
• «Придерживаться или переключиться? Вероятность и проблема Монти Холла» , BBC News Magazine , 11 сентября 2013 г. (видео). Математик Маркус дю Сотуа объясняет парадокс Монти Холла.