Серия Неймана - Neumann series

Ряд Неймана - это математический ряд вида

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} T ^ {k}}$

где - оператор и его многократно повторяющееся приложение. Это обобщает геометрический ряд . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ^ {k}: = {} T ^ {k-1} \ circ {T}}$${\ displaystyle k}$

Серия названа в честь математика Карла Ноймана , который использовал ее в 1877 году в контексте теории потенциала . Ряд Неймана используется в функциональном анализе . Он составляет основу ряда Лиувилля-Неймана , который используется для решения интегральных уравнений Фредгольма . Это также важно при изучении спектра ограниченных операторов.

Характеристики

Предположим, что это ограниченный линейный оператор в нормированном векторном пространстве . Если ряд Неймана сходится в операторной норме , то есть обратим и обратный к нему ряды: ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {Id}} - T}$

${\ Displaystyle (\ mathrm {Id} -T) ^ {- 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} T ^ {k}}$,

где - тождественный оператор в . Чтобы понять почему, рассмотрим частичные суммы ${\ displaystyle \ mathrm {Id}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle S_ {n}: = \ sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k}}$.

Тогда у нас есть

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (\ mathrm {Id} -T) S_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ { n} T ^ {k} - \ sum _ {k = 0} ^ {n} T ^ {k + 1} \ right) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ mathrm {Id} - T ^ {n + 1} \ right) = \ mathrm {Id}.}$

Этот результат об операторах аналогичен геометрическому ряду в , в котором мы находим, что: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle (1-x) \ cdot (1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n-1} + x ^ {n}) = 1-x ^ {n + 1},}$

${\ displaystyle 1 + x + x ^ {2} + \ cdots = {\ frac {1} {1-x}}.}$

Один случай, когда сходимость гарантирована, - это когда является банаховым пространством и в операторной норме или сходится. Однако есть также результаты, которые дают более слабые условия сходимости ряда. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle | T | <1}$${\ displaystyle \ sum | T ^ {n} |}$

Пример

Пусть будет дано: ${\ Displaystyle С \ ин \ mathbb {R} ^ {3 \ times 3}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {1} {4}} \\ {\ frac {5} {7}} & 0 & {\ frac {1} {7}} \\ {\ frac {3} {10}} & {\ frac {3} {5}} & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Нам нужно показать, что C меньше единицы в некоторой норме . Поэтому рассчитываем:

${\ displaystyle {\ begin {align} || C || _ {\ infty} & = \ max _ {i} \ sum _ {j} | c_ {ij} | = \ max \ left \ lbrace {\ frac { 3} {4}}, {\ frac {6} {7}}, {\ frac {9} {10}} \ right \ rbrace = {\ frac {9} {10}} <1. \ end {выровнено }}}$

Таким образом, мы знаем из приведенного выше утверждения, что существует. ${\ Displaystyle (IC) ^ {- 1}}$

Приближенное обращение матрицы

Усеченный ряд Неймана можно использовать для приближенного обращения матрицы . Чтобы аппроксимировать обратную обратимую матрицу , мы можем назначить линейный оператор как: ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle Т (\ mathbf {x}) = (\ mathbf {I} - \ mathbf {A}) \ mathbf {x}}$

где - единичная матрица. Если условие нормы on выполнено, то, усекая ряд at , получаем: ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1} \ приблизительно \ сумма _ {я = 0} ^ {n} (\ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {i}}$

Множество обратимых операторов открыто

Следствие состоит в том, что множество обратимых операторов между двумя банаховыми пространствами B и B ' открыто в топологии, индуцированной операторной нормой. Действительно, пусть S  : B → B 'обратимый оператор и пусть T : B → B ' другой оператор. Если

| S - T | <| S ⁻¹ | ⁻¹ ,

то T также обратим.

Поскольку | Id - S ⁻¹ T | <1 ряд Неймана Σ (Id - ( S ⁻¹ T )) ^k сходится. Следовательно, мы имеем

T ⁻¹ S = (Id - (Id - S ⁻¹ T )) ⁻¹ = Σ (Id - ( S ⁻¹ T )) ^k .

Принимая нормы, получаем

| T ⁻¹ S | ≤ 1 / (1 - | Id - ( S ⁻¹ T ) |).

Норма T ⁻¹ может быть ограничена

${\ displaystyle | T ^ {- 1} | \ leq {\ tfrac {1} {1-q}} | S ^ {- 1} | \ quad {\ text {where}} \ quad q = | ST | \ , | S ^ {- 1} |.}$

Приложения

Серия Neumann использовалась для линейного обнаружения данных в массовых многопользовательских беспроводных системах с множеством входов и множеством выходов (MIMO). Использование усеченного ряда Неймана позволяет избежать вычисления явной обратной матрицы, что снижает сложность обнаружения линейных данных с кубической до квадратной.

Другое приложение - теория графов распространения, которая использует ряд Неймана для вывода выражения в замкнутой форме для передаточной функции.

использованная литература

• Вернер, Дирк (2005). Функциональный анализ (на немецком языке). Springer Verlag. ISBN 3-540-43586-7.