Нарциссическое число - Narcissistic number

В теории чисел , самовлюбленный номер (также известный как Давнопрошедшее цифровой инвариант ( PPDI ), номер Армстронг (после того, как Майкл Ф. Армстронг) или плюс совершенное число ) в данной системе счисления это число , которое является суммой его собственного цифры, каждая из которых возведена в степень числа цифр. ${\ displaystyle b}$

Определение

Позвольте быть натуральным числом. Мы определяем нарциссическую функцию для base следующим образом: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} ^ {k}.}$

где - количество цифр в числе в базе , а ${\ Displaystyle к = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число является нарциссическим числом, если оно является фиксированной точкой для , что происходит, если . Натуральные числа - это тривиальные нарциссические числа для всех , все остальные нарциссические числа - нетривиальные нарциссические числа . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {b}}$${\ Displaystyle F_ {b} (п) = п}$${\ Displaystyle 0 \ Leq п <Ь}$${\ displaystyle b}$

Например, число 153 в основе является нарциссическим числом, потому что и . ${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle k = 3}$${\ displaystyle 153 = 1 ^ {3} + 5 ^ {3} + 3 ^ {3}}$

Натуральное число является общительным нарциссическим числом , если она является периодической точкой для , где для положительного целого числа ( в данном случае это й итерации в ), и образует цикл периода . Нарциссическое число - это общительное нарциссическое число , а дружелюбное нарциссическое число - это общительное нарциссическое число с . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {b}}$${\ Displaystyle F_ {b} ^ {p} (n) = n}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle F_ {b} ^ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle F_ {b}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 1}$${\ displaystyle p = 2}$

Все натуральные числа являются препериодическими точками для независимо от основания. Это связано с тем, что для любого заданного количества цифр минимально возможное значение равно , максимально возможное значение равно , а значение нарциссической функции равно . Таким образом, любое нарциссическое число должно удовлетворять неравенству . Умножение всех сторон , мы получаем , или , что эквивалентно, . Так , это означает , что будет максимальное значение , когда , из-за экспоненциального характера и линейности в . Помимо этого значения , всегда. Таким образом, существует конечное число нарциссических чисел, и любое натуральное число гарантированно достигает периодической точки или фиксированной точки меньше, чем , что делает его предпериодической точкой. Установка, равная 10, показывает, что наибольшее нарциссическое число в базе 10 должно быть меньше . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {b}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b ^ {k-1}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b ^ {k} -1 \ leq b ^ {k}}$${\ Displaystyle F_ {b} (п) = к (b-1) ^ {k}}$${\ displaystyle b ^ {k-1} \ leq k (b-1) ^ {k} \ leq b ^ {k}}$${\ displaystyle {\ frac {b} {(b-1) ^ {k}}}}$${\ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk \ leq b {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ справа)} ^ {k}}$${\ Displaystyle к \ leq {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk}$${\ displaystyle {\ frac {b} {b-1}} \ geq 1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k} \ leq bk}$${\ displaystyle {\ left ({\ frac {b} {b-1}} \ right)} ^ {k}}$${\ displaystyle bk}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle F_ {b} (п) \ Leq п}$${\ displaystyle b ^ {k} -1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 10 ^ {60}}$

Число итераций , необходимых для достичь неподвижной точки нарциссических функциональной направления настойчивости в , и неопределенной , если он никогда не достигает фиксированную точку. ${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle F_ {b} ^ {i} (п)}$${\ displaystyle n}$

База имеет по крайней мере одно двузначное нарциссическое число тогда и только тогда, когда оно не является простым, а количество двузначных нарциссических чисел в базе равно , где - количество положительных делителей числа . ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b ^ {2} +1}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ тау (Ь ^ {2} +1) -2}$${\ Displaystyle \ тау (п)}$${\ displaystyle b}$

Каждая основа , не кратная девяти, имеет по крайней мере одно трехзначное нарциссическое число. Базы, которых нет ${\ displaystyle b \ geq 3}$

2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ... (последовательность A248970 в OEIS )

В базе 10 всего 89 нарциссических чисел, самое большое из которых

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

с 39 цифрами.

Нарциссические числа и циклы F _b для конкретного b

Все числа представлены в базе . '#' - длина каждой известной конечной последовательности. ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle b}$	Нарциссические числа	#	Циклы	Последовательность OEIS
2	0, 1	2	${\ displaystyle \ varnothing}$
3	0, 1, 2, 12, 22, 122	6	${\ displaystyle \ varnothing}$
4	0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303	12	${\ displaystyle \ varnothing}$	A010344 и A010343
5	0, 1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423, 434434444, ...	18	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 3424 → 4414 → 11034 → 20034 → 20144 → 31311 → 3424 1044302 → 2110314 → 1044302 1043300 → 1131014 → 1043300	A010346
6	0, 1, 2, 3, 4, 5, 243, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035 ...	31 год	44 → 52 → 45 → 105 → 330 → 130 → 44 13345 → 33244 → 15514 → 53404 → 41024 → 13345 14523 → 32253 → 25003 → 23424 → 14523 2245352 → 3431045 → 2245352 12444435 → 22045351 → 30145020 → 13531231 → 12444435 115531430 → 230104215 → 115531430 225435342 → 235501040 → 225435342	A010348
7	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 34, 44, 63, 250, 251, 305, 505, 12205, 12252, 13350, 13351, 15124, 36034, 205145, 1424553, 1433554, 3126542, 4355653, 6515652, 125543055, ...	60		A010350
8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, 40663, 42710, 42711, 60007, 62047, 636703, 3352072, 3352272, ...	63		A010354 и A010351
9	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 45, 55, 150, 151, 570, 571, 2446, 12036, 12336, 14462, 2225764, 6275850, 6275851, 12742452, ...	59		A010353
10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, ...	89		A005188
11	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, 56, 66, 105, 307, 708, 966, A06, A64, 8009, 11720, 11721, 12470, ...	135		A0161948
12	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83, 14765, 938A4, 369862, A2394A, ...	88		A161949
13	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, 14, 36, 67, 77, A6, C4, 490, 491, 509, B85, 3964, 22593, 5Б350, ...	202		A0161950
14	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, 136, 409, 74AB5, 153A632, ...	103		A0161951
15	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, 78, 88, C3A, D87, 1774, E819, E829, 7995C, 829BB, A36BC, ...	203		A0161952
16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1, B8D2, 13579, 2B702, 2B722, 5A07C, 5A47C, C00E0, C00E1, C04E0, C04E1, C60E7, C64E7, CE080, CE C84E1, ...	294		A161953

Расширение до отрицательных целых чисел

Нарциссические числа могут быть расширены до отрицательных целых чисел путем использования представления цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Пример программирования

Python

В приведенном ниже примере реализуется нарциссическая функция, описанная в определении выше, для поиска нарциссических функций и циклов в Python .

def ppdif(x, b):
    y = x
    digit_count = 0
    while y > 0:
        digit_count = digit_count + 1
        y = y // b
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + pow(x % b, digit_count)
        x = x // b
    return total

def ppdif_cycle(x, b):
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = ppdif(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = ppdif(x, b)
    return cycle

Следующая программа Python определяет, является ли введенное целое числом нарциссическим / Армстронгским или нет.

def no_of_digits(num):
    i = 0
    while num > 0:
        num //= 10
        i+=1

    return i

def required_sum(num):
    i = no_of_digits(num)
    s = 0
    
    while num > 0:
        digit = num % 10
        num //= 10
        s += pow(digit, i)
        
    return s


num = int(input("Enter number:"))
s = required_sum(num)
     
if s == num:
    print("Armstrong Number")
else:
    print("Not Armstrong Number")

Джава

Следующая программа на Java определяет, является ли введенное целое числом Нарциссическим числом Армстронга или нет.

import java.util.Scanner; 
public class ArmstrongNumber
{
    public static void main ()
    {
        Scanner in = new Scanner (System.in);
        System.out.println("Enter the number: ");
        int num = in.nextInt();
        double sum = required_sum(num);
        if (num == sum)
            System.out.println("Armstrong Number");
        else 
          System.out.println("Not an Armstrong Number");
        }
    
    public static int no_of_digits(int num)
    { 
      int i;
      for ( i = 0; num > 0; i++)
        num /= 10;
      return i;      
    }
    
    public static double required_sum(int num)
    {   
        int i = no_of_digits(num);
        double sum = 0;
        while (num > 0)
        {
            int digit = num % 10;
            num/=10;
            sum += Math.pow(digit,i);
        }
        return sum;
    }

C #

Следующая программа на C # определяет, является ли введенное целое числом нарциссическим / Армстронгом или нет.

using System;

public class Program
{
    public static void Main()
    {
        Console.WriteLine("Enter the number:");
        int value = int.Parse(Console.ReadLine());

        if (value == RequiredSum(value))
        {
            Console.WriteLine("Armstrong Number");
        }
        else 
        {
            Console.WriteLine("Not an Armstrong Number");
        }
    }

    private static int CountDigits(int num)
    {
        int i = 0; 
        for (;num > 0; ++i) num /= 10;

        return i;    
    }

    private static int RequiredSum(int num)
    {
        int count = CountDigits(num);

        int sum = 0;
        while (num > 0)
        {
            sum += (int)Math.Pow(num % 10, count);
            num /= 10;
        }

        return sum;
    }
}

C

Следующая программа на языке C определяет, является ли введенное целое числом нарциссическим / Армстронгским или нет.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

int getNumberOfDigits(int n);
bool isArmstrongNumber(int candidate);

int main()
{
    int userNumber = 0;
    printf("Enter a number to verify if it is an Armstrong number: ");
    scanf("%d", &userNumber);
    printf("Is %d an Armstrong number?: %s\n", userNumber,  isArmstrongNumber(userNumber) ? "true" : "false");
    return 0;
}


bool isArmstrongNumber(int candidate)
{
    int numberOfDigits = getNumberOfDigits(candidate);
    int sum = 0;
    for(int i = candidate; i != 0; i /= 10)
    {
	int num = i % 10;
	int n = 1;
	for(int j = 0; j < numberOfDigits; j++)
		{
			n *= num;
		}
	sum += n;
    }
    return sum == candidate;
}

int getNumberOfDigits(int n)
{
    int sum = 0;
    while(n != 0)
    {
        n /= 10;
        ++sum;
    }
    return sum;
}

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Факторион
• Счастливый номер
• Постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Совершенный инвариант преобразования цифр в цифру
• Совершенный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

использованная литература

внешние ссылки

• Цифровые инварианты
• Числа Армстронга
• Числа Армстронга с основанием от 2 до 16
• Калькулятор чисел Армстронга от 1 до 999
• Симондс, Риа. «153 и нарциссические числа» . Numberphile . Брэди Харан .