Теорема о разделении паевого фонда - Mutual fund separation theorem

В теории портфеля , в теореме взаимного фонда разделения , теоремах взаимного фонда , или разделении теоремы является теорема о том , что при определенных условиях, оптимальный портфель любого инвестора может быть построен путем проведения каждого из определенных взаимных фондов в соответствующих соотношениях, где количество взаимного средств меньше, чем количество отдельных активов в портфеле. Здесь взаимный фонд относится к любому указанному эталонному портфелю доступных активов. Теорема о взаимном фонде дает два преимущества. Во-первых, при соблюдении соответствующих условий инвестору может быть проще (или снизить транзакционные издержки) для инвестора приобрести меньшее количество паевых инвестиционных фондов, чем покупать большее количество активов по отдельности. Во-вторых, с теоретической и эмпирической точки зрения, если можно предположить, что соответствующие условия действительно выполнены, то можно вывести и протестировать последствия для функционирования рынков активов.

Разделение портфеля в анализе среднего отклонения

Портфели можно анализировать в рамках модели среднего отклонения , при этом каждый инвестор владеет портфелем с наименьшей возможной дисперсией доходности, соответствующей выбранному этим инвестору уровню ожидаемой доходности (так называемый портфель с минимальной дисперсией ), если доходность активов в совокупности эллиптическая. распределены , включая особый случай, когда они совместно нормально распределены . При анализе средней дисперсии можно показать, что каждый портфель с минимальной дисперсией при определенной ожидаемой доходности (то есть каждый эффективный портфель) может быть сформирован как комбинация любых двух эффективных портфелей. Если оптимальный портфель инвестора имеет ожидаемую доходность, которая находится между ожидаемой доходностью двух эффективных эталонных портфелей, то этот портфель инвестора можно охарактеризовать как состоящий из положительных количеств двух эталонных портфелей.

Нет безрискового актива

Чтобы увидеть разделение двух фондов в контексте, в котором нет доступных безрисковых активов, используя матричную алгебру , пусть будет дисперсия доходности портфеля, пусть будет уровень ожидаемой доходности портфеля, при котором дисперсия доходности портфеля должна быть минимизирована при условии, пусть будет вектор ожидаемой доходности от доступных активов, пусть будет вектор сумм, которые будут размещены в доступных активах, пусть будет сумма богатства, которая должна быть распределена в портфеле, и пусть будет вектор единицы. Тогда проблема минимизации дисперсии доходности портфеля при заданном уровне ожидаемой доходности портфеля может быть сформулирована как ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle 1}$

Минимизировать ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

при условии

${\ displaystyle X ^ {T} r = \ mu}$

а также

${\ Displaystyle X ^ {T} 1 = W}$

где верхний индекс обозначает транспонирование матрицы. Дисперсию доходности портфеля в целевой функции можно записать как где - матрица положительно определенной ковариации доходностей отдельных активов. Лагранжиан для этой задачи оптимизации (чей второго порядка условия могут быть показаны быть удовлетворены) является ${\ displaystyle ^ {T}}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = X ^ {T} VX,}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle L = X ^ {T} VX + 2 \ lambda (\ mu -X ^ {T} r) +2 \ eta (WX ^ {T} 1),}$

с множителями Лагранжа и . Это можно решить для оптимального вектора количества активов, приравняв к нулю производные по , и , предварительно решив условие первого порядка для в терминах и , подставив в другие условия первого порядка, решив для и в условиях параметров модели и подставив обратно в предварительное решение для . Результат ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X ^ {\ mathrm {opt}} = {\ frac {W} {\ Delta}} [(r ^ {T} V ^ {- 1} r) V ^ {- 1} 1- (1 ^ {T} V ^ {- 1} r) V ^ {- 1} r] + {\ frac {\ mu} {\ Delta}} [(1 ^ {T} V ^ {- 1} 1) V ^ { -1} r- (r ^ {T} V ^ {- 1} 1) V ^ {- 1} 1]}$

где

${\ Displaystyle \ Delta = (г ^ {T} V ^ {- 1} г) (1 ^ {T} V ^ {- 1} 1) - (г ^ {T} V ^ {- 1} 1) ^ {2}> 0.}$

Для простоты это можно записать более компактно как

${\ Displaystyle X ^ {\ mathrm {opt}} = \ альфа W + \ beta \ mu}$

где и - векторы параметров на основе параметров базовой модели. Теперь рассмотрим два эталонных эффективных портфелей построен на эталонных ожидаемой доходности и и , таким образом , дается ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ mu _ {1}}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$

${\ displaystyle X_ {1} ^ {\ mathrm {opt}} = \ alpha W + \ beta \ mu _ {1}}$

а также

${\ displaystyle X_ {2} ^ {\ mathrm {opt}} = \ alpha W + \ beta \ mu _ {2}.}$

Оптимальный портфель в произвольном случае может быть записан как средневзвешенное значение и следующим образом: ${\ displaystyle \ mu _ {3}}$${\ Displaystyle X_ {1} ^ {\ mathrm {opt}}}$${\ Displaystyle X_ {2} ^ {\ mathrm {opt}}}$

${\ displaystyle X_ {3} ^ {\ mathrm {opt}} = \ alpha W + \ beta \ mu _ {3} = {\ frac {\ mu _ {3} - \ mu _ {2}} {\ mu _ {1} - \ mu _ {2}}} X_ {1} ^ {\ mathrm {opt}} + {\ frac {\ mu _ {1} - \ mu _ {3}} {\ mu _ {1} - \ mu _ {2}}} X_ {2} ^ {\ mathrm {opt}}.}$

Это уравнение доказывает теорему о разделении двух фондов для анализа средней дисперсии. Для геометрической интерпретации см. Пулю Марковица .

Один безрисковый актив

Если доступен безрисковый актив , снова применяется теорема разделения двух фондов; но в этом случае один из «фондов» может быть выбран как очень простой фонд, содержащий только безрисковый актив, а другой фонд может быть выбран как тот, который содержит нулевые авуары безрискового актива. (С безрисковым активом, называемым «деньгами», эта форма теоремы упоминается как теорема денежного разделения .) Таким образом, эффективные по средней дисперсии портфели могут быть сформированы просто как комбинация владений безрискового актива. и авуары конкретного эффективного фонда, который содержит только рискованные активы. Однако приведенный выше вывод не применяется, поскольку для безрискового актива указанная выше ковариационная матрица всех доходностей активов имела бы одну строку и один столбец нулей и, следовательно, не была бы обратимой. Вместо этого проблема может быть установлена ​​как ${\ displaystyle V}$

Минимизировать ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

при условии

${\ displaystyle (WX ^ {T} 1) r_ {f} + X ^ {T} r = \ mu,}$

где - известная доходность безрискового актива, теперь - вектор количества, которое должно храниться в рискованных активах, и - вектор ожидаемой доходности рискованных активов. Левая часть последнего уравнения - это ожидаемая доходность портфеля, поскольку это количество, хранящееся в безрисковом активе, что включает ограничение на добавление активов, которое в более ранней задаче требовало включения отдельного лагранжевого ограничения. Целевая функция может быть записана в виде , где теперь - ковариационная матрица только рискованных активов. Можно показать, что эта оптимизационная задача дает оптимальный вектор владений рискованными активами. ${\ displaystyle r_ {f}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle (WX ^ {T} 1)}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = X ^ {T} VX}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle X ^ {\ mathrm {opt}} = {\ frac {(\ mu -Wr_ {f})} {(r-1r_ {f}) ^ {T} V ^ {- 1} (r-1r_ {f})}} V ^ {- 1} (r-1r_ {f}).}$

Конечно, это равняется нулевому вектору if , доходности безрискового портфеля, и в этом случае все богатство хранится в безрисковом активе. Можно показать, что портфель с точно нулевыми авуарами безрискового актива находится в и определяется выражением ${\ displaystyle \ mu = Wr_ {f}}$${\ displaystyle \ mu = {\ tfrac {Wr ^ {T} V ^ {- 1} (r-1r_ {f})} {1 ^ {T} V ^ {- 1} (r-1r_ {f}) }}}$

${\ displaystyle X ^ {*} = {\ frac {W} {1 ^ {T} V ^ {- 1} (r-1r_ {f})}} V ^ {- 1} (r-1r_ {f} ).}$

Также можно показать (аналогично демонстрации в вышеупомянутом случае с двумя взаимными фондами), что вектор рискованных активов каждого портфеля (то есть для каждого значения ) может быть сформирован как взвешенная комбинация последнего вектора и нулевого вектора. . Для геометрической интерпретации см. Границу эффективности без безрисковых активов . ${\ displaystyle X ^ {\ mathrm {opt}}}$${\ displaystyle \ mu}$

Разделение портфеля без анализа среднего отклонения

Если у инвесторов есть гиперболическое абсолютное неприятие риска (HARA) (включая степенную функцию полезности , логарифмическую функцию и экспоненциальную функцию полезности ), теоремы разделения могут быть получены без использования анализа средней дисперсии. Например, Дэвид Касс и Джозеф Стиглиц показали в 1970 году, что разделение денег на два фонда применимо, если все инвесторы имеют полезность HARA с одинаковым показателем степени.

В последнее время в динамической модели оптимизации портфеля Чанакоглу и Озекичи уровень первоначального богатства инвестора (отличительная черта инвесторов) не влияет на оптимальный состав рискованной части портфеля. Аналогичный результат дает Шмеддерс.

Рекомендации