Производный тест - Derivative test

В исчислении , А производной тест использует производные от в функции , чтобы определить местонахождение критических точек из функции и определить , каждая точка является ли локальный максимум , А локальный минимум , или седловой точки . Производные тесты также могут дать информацию о вогнутости функции.

Полезность производных для поиска экстремумов математически доказывается теоремой Ферма о стационарных точках .

Тест первой производной

Тест первой производной исследует монотонные свойства функции (где функция увеличивается или уменьшается ), сосредотачиваясь на конкретной точке в ее области определения . Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в этой точке, тогда функция достигает наивысшего значения в этой точке. Точно так же, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, тогда она достигнет наименьшего значения в этой точке. Если функция не может «переключиться» и продолжает увеличиваться или продолжает уменьшаться, то максимальное или наименьшее значение не достигается.

Монотонность функции можно исследовать без исчисления. Однако исчисление обычно полезно, потому что есть достаточные условия, которые гарантируют свойства монотонности, указанные выше, и эти условия применимы к подавляющему большинству функций, с которыми можно столкнуться.

Точная формулировка свойств монотонности

Точнее говоря, предположим, что f - непрерывная вещественнозначная функция действительной переменной, заданная на некотором открытом интервале, содержащем точку x .

• Если существует положительное число r  > 0 такое, что f слабо возрастает на ( x - r , x ] и слабо убывает на [ x , x + r ) , то f имеет локальный максимум в точке x . Это утверждение работает и наоборот: если x - точка локального максимума, то f слабо возрастает на ( x  -  r ,  x ] и слабо убывает на [ x , x  +  r ) .
• Если существует положительное число r  > 0 такое, что f строго возрастает на ( x - r , x ] и строго возрастает на [ x , x + r ) , то f строго возрастает на ( x - r , x + r ). и не имеет локального максимума или минимума в x .

Это утверждение является прямым следствием определения локальных экстремумов . То есть, если x ₀ - точка локального максимума, то существует r  > 0 такое, что f ( x ) ≤ f ( x ₀ ) для x в ( x ₀  -  r , x ₀  +  r ) , что означает, что f имеет для увеличения от x ₀  -  r до x ₀ и должно уменьшаться от x ₀ до x ₀  +  r, потому что f является непрерывным.

Обратите внимание, что в первых двух случаях f не обязательно должно быть строго возрастающим или строго убывающим слева или справа от x , в то время как в последних двух случаях требуется, чтобы f было строго возрастающим или строго убывающим. Причина в том, что при определении локального максимума и минимума неравенство не обязательно должно быть строгим: например, каждое значение постоянной функции считается как локальным максимумом, так и локальным минимумом.

Точная формулировка теста первой производной

Тест первой производной зависит от «теста возрастания-убывания», который сам в конечном итоге является следствием теоремы о среднем значении . Это прямое следствие способа определения производной и ее связи с локальным уменьшением и увеличением функции в сочетании с предыдущим разделом.

Предположим, что f - вещественная функция действительной переменной, заданная на некотором интервале, содержащем критическую точку a . Далее предположим , что F является непрерывным на и дифференцируема на некотором открытом интервале , содержащем , за исключением , возможно в себе.

• Если существует положительное число r  > 0 такое, что для любого x в ( a - r , a ) имеем f ′ ( x ) ≥ 0, а для каждого x в ( a , a + r ) имеем f ′ ( x ) ≤ 0, то f имеет локальный максимум в точке a .
• Если существует положительное число r  > 0 такое, что для любого x из ( a - r , a ) ∪ ( a , a + r ) выполняется f ′ ( x )> 0, то f строго возрастает в a и не имеет ни локальный максимум, ни локальный минимум.
• Если ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, тест не проходит. (Такое условие не является пустым ; есть функции, которые не удовлетворяют ни одному из первых трех условий, например, f ( x ) = x ²  sin (1 / x )).

Опять же, в соответствии с комментариями в разделе о свойствах монотонности, обратите внимание, что в первых двух случаях неравенство не обязательно должно быть строгим, а в следующих двух требуется строгое неравенство.

Приложения

Тест первой производной полезен при решении задач оптимизации в физике, экономике и технике. В сочетании с теоремой об экстремальных значениях его можно использовать для нахождения абсолютного максимума и минимума действительной функции, определенной на замкнутом и ограниченном интервале. В сочетании с другой информацией, такой как вогнутость, точки перегиба и асимптоты , его можно использовать для построения графика функции.

Тест второй производной (одна переменная)

После установления критических точек функции тест второй производной использует значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли такие точки локальным максимумом или локальным минимумом . Если функция f дважды дифференцируема в критической точке x (т.е. точке, где f ′ ( x ) = 0), то:

• Если , то имеет локальный максимум в .${\ displaystyle f '' (х) <0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$
• Если , то имеет локальный минимум в .${\ displaystyle f '' (х)> 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$
• Если , тест безрезультатный.${\ displaystyle f '' (x) = 0}$

В последнем случае теорема Тейлора может иногда использоваться для определения поведения f вблизи x с использованием высших производных .

Доказательство теста второй производной

Предположим, что имеем (доказательство аналогично). По предположению . потом ${\ displaystyle f '' (х)> 0}$${\ displaystyle f '' (х) <0}$${\ displaystyle f '(x) = 0}$

${\ displaystyle 0 <f '' (x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f '(x + h) -f' (x)} {h}} = \ lim _ {h \ на 0} {\ frac {f '(x + h)} {h}}.}$

Таким образом, при достаточно малых h получаем

${\ displaystyle {\ frac {f '(x + h)} {h}}> 0,}$

что означает, что if (интуитивно f уменьшается по мере приближения слева) и что if (интуитивно f увеличивается по мере продвижения вправо от x ). Теперь, согласно тесту первой производной , имеет локальный минимум в . ${\ displaystyle f '(x + h) <0}$${\ displaystyle h <0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f '(x + h)> 0}$${\ displaystyle h> 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Тест на вогнутость

Связанное, но отличное использование вторых производных состоит в том, чтобы определить, является ли функция вогнутой вверх или вогнутой вниз в точке. Однако он не дает информации о точках перегиба . В частности, дважды дифференцируемая функция f вогнута вверх, если и вогнута вниз, если . Обратите внимание, что если , then имеет нулевую вторую производную, но не является точкой перегиба, поэтому одна только вторая производная не дает достаточно информации, чтобы определить, является ли данная точка точкой перегиба. ${\ displaystyle f '' (х)> 0}$${\ displaystyle f '' (х) <0}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {4}}$${\ displaystyle x = 0}$

Тест производной высшего порядка

Тест производной более высокого порядка или тест общей производной может определить, являются ли критические точки функции максимумами, минимумами или точками перегиба для более широкого круга функций, чем тест производной второго порядка. Как показано ниже, тест второй производной математически идентичен частному случаю n  = 1 в тесте производной более высокого порядка.

Пусть f - вещественная, достаточно дифференцируемая функция на интервале , пусть и пусть - натуральное число . Также пусть все производные f в c равны нулю вплоть до n -й производной включительно , но с ( n  + 1) -й производной, отличной от нуля: ${\ Displaystyle I \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c \ in I}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$

${\ displaystyle f '(c) = \ cdots = f ^ {(n)} (c) = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad f ^ {(n + 1)} (c) \ neq 0 .}$

Есть четыре варианта, первые два случая , где с является экстремум, вторые два , где с представляет собой (локальный) седловой точки:

• Если п является нечетным и , то с является локальным максимумом.${\ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с) <0}$
• Если n нечетно и , то c - локальный минимум.${\ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с)> 0}$
• Если п есть еще и , то с является строго убывающей точкой перегиба.${\ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с) <0}$
• Если n четно и , то c - строго возрастающая точка перегиба.${\ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с)> 0}$

Поскольку n должно быть четным или нечетным, этот аналитический тест классифицирует любую стационарную точку f , если в конечном итоге обнаруживается ненулевая производная.

Пример

Скажем, мы хотим выполнить общую проверку производной функции в точке . Для этого мы вычисляем производные функции, а затем оцениваем их в интересующей точке, пока результат не станет отличным от нуля. ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {6} +5}$${\ displaystyle x = 0}$

${\ displaystyle f '(x) = 6x ^ {5}}$, ${\ displaystyle f '(0) = 0;}$

${\ displaystyle f '' (x) = 30x ^ {4}}$, ${\ displaystyle f '' (0) = 0;}$

${\ Displaystyle f ^ {(3)} (х) = 120x ^ {3}}$, ${\ displaystyle f ^ {(3)} (0) = 0;}$

${\ displaystyle f ^ {(4)} (х) = 360x ^ {2}}$, ${\ Displaystyle f ^ {(4)} (0) = 0;}$

${\ displaystyle f ^ {(5)} (x) = 720x}$, ${\ displaystyle f ^ {(5)} (0) = 0;}$

${\ Displaystyle f ^ {(6)} (х) = 720}$, ${\ displaystyle f ^ {(6)} (0) = 720.}$

Как показано выше, в этой точке функция имеет все производные в 0, равные 0, за исключением 6-й производной, которая положительна. Таким образом, n  = 5, и, согласно тесту, существует локальный минимум в 0. ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x ^ {6} +5}$

Многопараметрический случай

Для функции более чем одной переменной тест второй производной обобщается на тест, основанный на собственных значениях матрицы Гессе функции в критической точке. В частности, если предположить, что все частные производные второго порядка функции f непрерывны в окрестности критической точки x , то если все собственные значения гессиана в точке x положительны, то x является локальным минимумом. Если все собственные значения отрицательны, то x является локальным максимумом, а если некоторые из них положительны, а некоторые отрицательны, то точка является седловой точкой . Если матрица Гессе сингулярна , то проверка второй производной неубедительна.

Смотрите также

дальнейшее чтение

• Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С.  231–267 . ISBN 0-07-010813-7.
• Марсден, Джеррольд ; Вайнштейн, Алан (1985). Исчисление I (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 139–199. ISBN 0-387-90974-5.
• Шокли, Джеймс Э. (1976). Краткое исчисление: с приложениями в социальных науках (2-е изд.). Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. С. 77–109. ISBN 0-03-089397-6.
• Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные (6-е изд.). Брукс Коул Сэнджэдж Обучение. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Уиллард, Стивен (1976). Исчисление и его приложения . Бостон: Prindle, Weber & Schmidt. С. 103–145. ISBN 0-87150-203-8.

внешние ссылки

• «Второй производный тест» в Mathworld
• Вогнутость и второй производный тест
• Использование Томасом Симпсоном теста второй производной для нахождения максимумов и минимумов на конвергенции