Неравенство Минковского - Minkowski inequality

В математическом анализе , то неравенство Минковского устанавливает , что L ^р пространства являются нормированные векторные пространства . Пусть S - пространство с мерой , пусть 1 ≤ p <∞ и пусть f и g - элементы L ^p ( S ). Тогда f + g принадлежит L ^p ( S ), и мы имеем неравенство треугольника

${\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}$

с равенством при 1 < p <∞ тогда и только тогда, когда f и g положительно линейно зависимы , т. е. f = λg для некоторого λ ≥ 0 или g = 0 . Здесь норма определяется по формуле:

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {p} = \ left (\ int | f | ^ {p} d \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}$

если p <∞, или в случае p = ∞ существенной супремумом

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {\ infty} = \ operatorname {ess \ sup} _ {x \ in S} | f (x) |.}$

Неравенство Минковского - это неравенство треугольника в L ^p ( S ). Фактически, это частный случай более общего факта

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {p} = \ sup _ {\ | g \ | _ {q} = 1} \ int | fg | d \ mu, \ qquad {\ tfrac {1} {p}} + {\ tfrac {1} {q}} = 1}$

где легко видеть, что правая часть удовлетворяет треугольному неравенству.

Как и неравенство Гёльдера, неравенство Минковского может быть специализировано для последовательностей и векторов с помощью счетной меры :

${\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} + y_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} \ leq {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} + {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p}}$

для всех реального (или комплекса ) числа х ₁ , ..., х _п , у ₁ , ..., у _п и где п есть количество элементов из S (число элементов в S ).

Неравенство названо в честь немецкого математика Германа Минковского .

Доказательство

Сначала мы докажем, что f + g имеет конечную p -норму, если f и g имеют конечную p -норму , что следует из

${\ displaystyle | f + g | ^ {p} \ leq 2 ^ {p-1} (| f | ^ {p} + | g | ^ {p}).}$

Действительно, здесь мы используем тот факт , что является выпуклым над R ⁺ (для р > 1 ) , и поэтому, по определению выпуклости, ${\ Displaystyle ч (х) = х ^ {р}}$

${\ displaystyle \ left | {\ tfrac {1} {2}} f + {\ tfrac {1} {2}} g \ right | ^ {p} \ leq \ left | {\ tfrac {1} {2}} | f | + {\ tfrac {1} {2}} | g | \ right | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | g | ^ {p}.}$

Это значит, что

${\ Displaystyle | е + г | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | 2f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | 2g | ^ {p} = 2 ^ {p-1} | f | ^ {p} + 2 ^ {p-1} | g | ^ {p}.}$

Теперь мы можем с полным основанием говорить об этом . Если он равен нулю, то неравенство Минковского выполнено. Теперь предположим, что это не ноль. Используя неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера , находим, что ${\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {р}}$${\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {р}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ | f + g \ | _ {p} ^ {p} & = \ int | f + g | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & = \ int | f + g | \ cdot | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ int (| f | + | g |) | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & = \ int | f || f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu + \ int | g | | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ & \ leq \ left (\ left (\ int | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ справа) ^ {\ frac {1} {p}} + \ left (\ int | g | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ right) \ left (\ int | f + g | ^ {(p-1) \ left ({\ frac {p} {p-1}} \ right)} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 - {\ frac {1} {p}}} && {\ text {неравенство Гёльдера}} \\ & = \ left (\ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p} \ right) {\ frac {\ | f + g \ | _ {p} ^ {p}} {\ | f + g \ | _ {p}}} \ end {align}}}$

Неравенство Минковского получаем, умножая обе части на

${\ displaystyle {\ frac {\ | f + g \ | _ {p}} {\ | f + g \ | _ {p} ^ {p}}}.}$

Интегральное неравенство Минковского

Предположим, что ( S ₁ , μ ₁ ) и ( S ₂ , μ ₂ ) - два пространства с σ- конечной мерой и F: S ₁ × S ₂ → R измеримо. Тогда интегральное неравенство Минковского имеет вид ( Stein 1970 , §A.1), ( Hardy, Littlewood & Pólya 1988 , теорема 202) : ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFHardyLittlewoodPólya1988 ( справка )

${\ Displaystyle \ left [\ int _ {S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) \ right | ^ {p} \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right] ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ му _ {1} (\ mathrm {d} x),}$

с очевидными изменениями в случае p = ∞ . Если p > 1 и обе стороны конечны, то равенство выполняется, только если | F ( x , y ) | = φ ( x ) ψ ( y ) п.в. для некоторых неотрицательных измеримых функций φ и ψ .

Если μ ₁ - считающая мера на двухточечном множестве S ₁ = {1,2}, то интегральное неравенство Минковского дает обычное неравенство Минковского как частный случай: полагая f _i ( y ) = F ( i , y ) для i = 1, 2 интегральное неравенство дает

${\ displaystyle \ | f_ {1} + f_ {2} \ | _ {p} = \ left (\ int _ {S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y ) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) \ right | ^ {p} \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p }} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d } y) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) = \ | f_ {1} \ | _ {p} + \ | f_ {2 } \ | _ {p}.}$

Эти обозначения были обобщены на

${\ displaystyle \ | е \ | _ {p, q} = \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} \ left [\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | f (x, y) | ^ {q} \ mathrm {d} y \ right] ^ {\ frac {p} {q}} \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ frac {1} {p} }}$

для , с . Используя эти обозначения, манипуляции с показателями степени показывают, что если , то . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m + n} \ to E}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {p, q} (\ mathbb {R} ^ {m + n}, E) = \ {f \ in E ^ {\ mathbb {R} ^ {m + n }}: \ | f \ | _ {p, q} <\ infty \}}$${\ displaystyle p> q}$${\ Displaystyle \ | е \ | _ {p, q} \ leq \ | f \ | _ {q, p}}$

Обратное неравенство

Когда выполняется обратное неравенство: ${\ displaystyle p <1}$

${\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {p} \ geq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}$

Мы также необходимо ограничение , что как и неотрицательны, как мы можем видеть на примере и : . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f = -1, g = 1}$${\ displaystyle p = 1}$${\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {1} = 0 <2 = \ | е \ | _ {1} + \ | г \ | _ {1}}$

Обратное неравенство следует из того же аргумента, что и стандартное неравенство Минковского, но при использовании этого неравенства Гёльдера также обращено в этом диапазоне. См. Также главу о неравенстве Минковского в.

Использование обратного Минковского, мы можем доказать , что власть означает с , например, средним гармоническими и средним геометрической вогнутыми. ${\ displaystyle p \ leq 1}$

Обобщения на другие функции

Неравенство Минковского может быть обобщено на другие функции помимо степенной . Обобщенное неравенство имеет вид ${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ displaystyle x ^ {p}}$

${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i} + y_ {i})) \ leq \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i})) + \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (y_ {i}))}$

Различные достаточные условия были найдены Малхолландом и другими. Например, для одного набора достаточных условий из Малхолланда есть ${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle х \ geq 0}$

1. ${\ Displaystyle \ фи (х)}$непрерывно и строго возрастает с .${\ displaystyle \ phi (0) = 0}$
2. ${\ Displaystyle \ фи (х)}$является выпуклой функцией от .${\ displaystyle x}$
3. ${\ Displaystyle \ журнал \ фи (х)}$является выпуклой функцией от .${\ Displaystyle \ журнал (х)}$

Смотрите также

• Неравенство Коши – Шварца.
• Неравенство Малера
• Неравенство Гёльдера

Рекомендации

• Харди, GH ; Литтлвуд, Дж. Э . ; Полиа, Г. (1952). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35880-9.
• Минковский, Х. (1953). "Geometrie der Zahlen". Челси. Цитировать журнал требует |journal=( помощь ).
• Штейн, Элиас (1970). «Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций». Издательство Принстонского университета. Цитировать журнал требует |journal=( помощь ).
• М.И. Войцеховский (2001) [1994], "Неравенство Минковского" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Лохуотер, Артур Дж. (1982). «Введение в неравенство» .