Расстояние Минковского - Minkowski distance

Расстояние Минковского или метрика Минковского - это метрика в нормированном векторном пространстве, которое можно рассматривать как обобщение как евклидова расстояния, так и манхэттенского расстояния . Он назван в честь немецкого математика Германа Минковского .

Определение

Расстояние Минковского порядка (где - целое число) между двумя точками ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle X = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) {\ text {и}} Y = (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n }) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

определяется как:

{\ Displaystyle D \ left (X, Y \ right) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {\ гидроразрыв {1} {p}}.}

Ведь расстояние Минковского является метрикой в результате неравенства Минковского . Когда расстояние между и составляет всего лишь точку, находящуюся на расстоянии от обеих этих точек. Поскольку это нарушает неравенство треугольника , поскольку это не метрика. Однако для этих значений можно получить метрику, просто удалив показатель степени . Результирующая метрика также является F-нормой . ${\ displaystyle p \ geq 1,}$ ${\ displaystyle p <1,}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle (1,1)}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1 / p}> 2,}$ ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle p <1}$ ${\ displaystyle 1 / p.}$

Расстояние Минковского обычно используется с 1 или 2, которые соответствуют Манхэттенскому расстоянию и Евклидову расстоянию соответственно. В предельном случае достижения бесконечности получаем расстояние Чебышева : ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {\ гидроразрыв {1} {p}}} = \ max _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} |.}

Точно так же для достижения отрицательной бесконечности мы имеем: ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle \ lim _ {p \ to - \ infty} {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p} \ right) ^ { \ frac {1} {p}}} = \ min _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} |.}

Расстояние Минковского также можно рассматривать как произведение, кратное среднему значению компонентных разностей между и ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q.}$

На следующем рисунке показаны единичные круги (набор всех точек, находящихся на единичном расстоянии от центра) с различными значениями : ${\ displaystyle p}$

Смотрите также

Обобщенное среднее
${\ Displaystyle L ^ {p}}$ space - Функциональные пространства, обобщающие конечномерные p-нормальные пространства
Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
${\ displaystyle p}$ -норма

Languages

In other projects

Расстояние Минковского - Minkowski distance

Определение

Смотрите также

Внешние ссылки