F-пространство - F-space

В функциональном анализе , F-пространство является векторное пространство V над реальными или комплексными числами вместе с метрикой $д : V \times V \to ℝ$ так , что

Скалярное умножение в V является непрерывным по отношению к D и стандартной метрика на ℝ или ℂ.
Сложение в V непрерывно по d .
Метрика инвариантна к трансляции ; т.е., $д (х + , у + ) = д (х, у)$ для всех х , у и в V .
Метрическое пространство $(V, д)$ является полным .

Операция x ↦ || х || : = d (0, x ) называется F-нормой , хотя в общем случае F-норма не обязательно должна быть однородной. Благодаря трансляционной инвариантности метрика восстанавливается по F-норме. Таким образом, действительное или комплексное F-пространство эквивалентно действительному или комплексному векторному пространству, снабженному полной F-нормой.

Некоторые авторы используют термин пространство Фреше, а не F-пространство , но обычно термин «пространство Фреше» зарезервирован для локально выпуклых F-пространств. Некоторые другие авторы используют термин «F-пространство» как синоним «пространство Фреша», с помощью которого они означают локально выпуклое полное метризуемое топологическое векторное пространство . Метрика может быть или не обязательно быть частью структуры F-пространства; многие авторы только требуют , чтобы такое пространство было метризуемо таким образом , что удовлетворяет указанным выше свойствам.

Примеры

Все банаховы пространства и пространства Фреше являются F-пространствами. В частности, банахово пространство - это F-пространство с дополнительным требованием $d (αx, 0) = | α | \cdot d (x, 0)$ .

В L ^р пространство может быть сделано в F-пространства для все р ≥ 0 и для р ≥ 1 , они могут быть превращены в локально выпуклые и , таким образом Фреше и даже банаховы пространства.

Пример 1

${\ displaystyle \ scriptstyle L ^ {\ frac {1} {2}} [0, \, 1]}$ является F-пространством. Он не допускает ни непрерывных полунорм, ни непрерывных линейных функционалов - он имеет тривиальное сопряженное пространство .

Пример 2

Позвольте быть пространство всех комплексных рядов Тейлора ${\ Displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

{\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {п \ geq 0} а_ {п} г ^ {п}}

на единичном диске так , что ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {D}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n} | a_ {n} | ^ {p} <\ infty}

то (при 0 <p <1 ) являются F-пространствами относительно p-нормы : ${\ Displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

{\ Displaystyle \ | е \ | _ {p} = \ sum _ {n} | a_ {n} | ^ {p} \ qquad (0 <p <1)}

Фактически, это квазибанахова алгебра . Более того, для любого с отображением есть ограниченный линейный (мультипликативный функционал) на . ${\ displaystyle \ scriptstyle W_ {p}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ zeta}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle | \ Zeta | \; \ Leq \; 1}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle f \, \ mapsto \, f (\ zeta)}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle W_ {p} (\ mathbb {D})}$

Достаточные условия

Теорема (Кли) - Пусть $d$ быть любая метрика на векторном пространстве $X$ такая , что топология $τ$ индуцируется $D$ на $X$ делает $(X, τ)$ в топологическое векторное пространство. Если $(X, d)$ - полное метрическое пространство, то $(X, 𝜏)$ - полная-TVS.

Связанные свойства

Линейное почти непрерывное отображение в F-пространство с замкнутым графиком непрерывно.
Линейное почти открытое отображение в F-пространство с замкнутым графиком обязательно является открытым отображением .
Линейная непрерывная почти открытая карта из F-пространства обязательно является открытой картой .
Линейное непрерывное почти открыто отображение из F-пространства, образ которого имеет вторую категорию в области значений обязательно является сюръективна открытой карта .

Смотрите также

Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство
Полное метрическое пространство - метрическая геометрия
Полное топологическое векторное пространство - TVS, где точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку.
Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
Гильбертово пространство - Обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечные измерения
K-пространство (функциональный анализ)
Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена с помощью метрики.
Бочковое пространство
Счетное квази-ствольное пространство
DF-пространство
LB-пространство
LF-пространство
Ядерное пространство
Проективное тензорное произведение

использованная литература

Хусейн, Такдир (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665 .
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .

Languages

In other projects