Уравнение состояния Ми – Грюнайзена - Mie–Grüneisen equation of state

Уравнение состояния Ми – Грюнайзена - это уравнение состояния, которое связывает давление и объем твердого тела при данной температуре. Используется для определения давления в твердом теле, сжатом ударной волной. Соотношение Ми – Грюнайзена - это особая форма модели Грюнайзена, которая описывает влияние изменения объема кристаллической решетки на ее колебательные свойства. Используются несколько вариантов уравнения состояния Ми – Грюнайзена.

Модель Грюнайзена можно выразить в виде

${\ displaystyle \ Gamma = V \ left ({\ frac {dp} {de}} \ right) _ {V}}$

где V - объем, p - давление, e - внутренняя энергия , а Γ - параметр Грюнайзена, который представляет тепловое давление от набора колеблющихся атомов. Если предположить, что Γ не зависит от p и e , мы можем интегрировать модель Грюнайзена, чтобы получить

${\ displaystyle p-p_ {0} = {\ frac {\ Gamma} {V}} (e-e_ {0})}$

где p ₀ и e ₀ - давление и внутренняя энергия в исходном состоянии, обычно принимаемом за состояние, в котором температура равна 0 К. В этом случае p ₀ и e ₀ не зависят от температуры, и значения этих величин можно оценить из уравнений Гюгонио . Уравнение состояния Ми – Грюнайзена является специальной формой приведенного выше уравнения.

История

Густав Ми в 1903 году разработал межмолекулярный потенциал для вывода высокотемпературных уравнений состояния твердых тел. В 1912 году Эдуард Грюнайзен расширил модель Ми на температуры ниже температуры Дебая, при которых квантовые эффекты становятся важными. Форма уравнений Грюнайзена более удобна и стала обычной отправной точкой для вывода уравнений состояния Ми – Грюнайзена.

Выражения для уравнения состояния Ми – Грюнайзена.

Версия с поправкой на температуру, которая используется в вычислительной механике, имеет вид (см. Также стр. 61)

${\ displaystyle p = {\ frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} \ chi \ left [1 - {\ frac {\ Gamma _ {0}} {2}} \, \ chi \ right]} {\ left (1-s \ chi \ right) ^ {2}}} + \ Gamma _ {0} E; \ quad \ chi: = 1 - {\ cfrac {\ rho _ {0}} { \ rho}}}$

где - объемная скорость звука, - начальная плотность, - плотность тока, - гамма Грюнайзена в исходном состоянии, - линейный коэффициент наклона Гюгонио, - скорость ударной волны, - скорость частицы, - внутренняя энергия на единицу единицу эталонного объема. Альтернативная форма ${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0}}$${\ displaystyle s = dU_ {s} / dU_ {p}}$${\ displaystyle U_ {s}}$${\ displaystyle U_ {p}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle p = {\ frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} (\ eta -1) \ left [\ eta - {\ frac {\ Gamma _ {0}} {2}} (\ eta -1) \ right]} {\ left [\ eta -s (\ eta -1) \ right] ^ {2}}} + \ Gamma _ {0} E; \ quad \ eta: = {\ cfrac {\ rho} {\ rho _ {0}}} \ ,.}$

Грубую оценку внутренней энергии можно вычислить, используя

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {V_ {0}}} \ int C_ {v} dT \ приблизительно {\ frac {C_ {v} (T-T_ {0})} {V_ {0}} } = \ rho _ {0} c_ {v} (T-T_ {0})}$

где - эталонный объем при температуре , - теплоемкость и - удельная теплоемкость при постоянном объеме. Во многих симуляциях предполагается, что и равны. ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle T = T_ {0}}$${\ displaystyle C_ {v}}$${\ displaystyle c_ {v}}$${\ displaystyle C_ {p}}$${\ displaystyle C_ {v}}$

Параметры для различных материалов

материал	${\ displaystyle \ rho _ {0}}$(кг / м 3 )	${\ displaystyle c_ {v}}$ (Дж / кг-К)	${\ displaystyle C_ {0}}$ (РС)	${\ displaystyle s}$	${\ displaystyle \ Gamma _ {0}}$( )${\ displaystyle T <T_ {1}}$	${\ displaystyle \ Gamma _ {0}}$( )${\ displaystyle T> = T_ {1}}$	${\ displaystyle T_ {1}}$ (K)
Медь	8960	390	3933	1.5	1,99	2,12	700

Вывод уравнения состояния

Из модели Грюнайзена у нас есть

${\ displaystyle (1) \ qquad p-p_ {0} = {\ frac {\ Gamma} {V}} (e-e_ {0})}$

где p ₀ и e ₀ - давление и внутренняя энергия в исходном состоянии. Уравнения Гюгонио для сохранения массы, импульса и энергии имеют вид

${\ displaystyle \ rho _ {0} U_ {s} = \ rho (U_ {s} -U_ {p}) ~~, \ quad p_ {H} -p_ {H0} = \ rho _ {0} U_ { s} U_ {p} \ quad {\ text {and}} \ quad p_ {H} U_ {p} = \ rho _ {0} U_ {s} \ left ({\ frac {U_ {p} ^ {2 }} {2}} + E_ {H} -E_ {H0} \ right)}$

где ρ ₀ - эталонная плотность, ρ - плотность, обусловленная ударным сжатием, p _H - давление на Гюгонио, E _H - внутренняя энергия на единицу массы на Гюгонио, U _s - скорость удара, а U _p - скорость частицы. Из сохранения массы имеем

${\ displaystyle {\ frac {U_ {p}} {U_ {s}}} = 1 - {\ frac {\ rho _ {0}} {\ rho}} = 1 - {\ frac {V} {V_ { 0}}} =: \ chi \ ,.}$

Где мы определили , удельный объем (объем на единицу массы). ${\ Displaystyle V = 1 / \ rho}$

Для многих материалов U _s и U _p связаны линейно, то есть U _s = C ₀ + s U _p, где C ₀ и s зависят от материала. В этом случае мы имеем

${\ Displaystyle U_ {s} = C_ {0} + s \ chi U_ {s} \ quad {\ text {или}} \ quad U_ {s} = {\ frac {C_ {0}} {1-s \ chi}} \ ,.}$

Тогда уравнение импульса может быть записано (для главного Гюгонио, где p _H0 равно нулю) как

${\ displaystyle p_ {H} = \ rho _ {0} \ chi U_ {s} ^ {2} = {\ frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} \ chi} {(1- s \ chi) ^ {2}}} \ ,.}$

Аналогично из уравнения энергии имеем

${\ displaystyle p_ {H} \ chi U_ {s} = {\ tfrac {1} {2}} \ rho \ chi ^ {2} U_ {s} ^ {3} + \ rho _ {0} U_ {s } E_ {H} = {\ tfrac {1} {2}} p_ {H} \ chi U_ {s} + \ rho _ {0} U_ {s} E_ {H} \ ,.}$

Решая для e _H , имеем

${\ displaystyle E_ {H} = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {p_ {H} \ chi} {\ rho _ {0}}} = {\ tfrac {1} {2}} p_ {H} (V_ {0} -V)}$

С этими выражениями для p _H и E _H модель Грюнайзена на Гюгонио становится

${\ displaystyle p_ {H} -p_ {0} = {\ frac {\ Gamma} {V}} \ left ({\ frac {p_ {H} \ chi V_ {0}} {2}} - e_ {0 } \ right) \ quad {\ text {или}} \ quad {\ frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} \ chi} {(1-s \ chi) ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {\ chi} {2}} \, {\ frac {\ Gamma} {V}} \, V_ {0} \ right) -p_ {0} = - {\ frac {\ Гамма} {V}} e_ {0} \ ,.}$

Если предположить, что Γ / V = Γ ₀ / V ₀ и заметить, что , мы получим ${\ displaystyle p_ {0} = - de_ {0} / dV}$

${\ displaystyle (2) \ qquad {\ frac {\ rho C_ {0} ^ {2} \ chi} {(1-s \ chi) ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {\ Gamma _ {0} \ chi} {2}} \ right) + {\ frac {de_ {0}} {dV}} + {\ frac {\ Gamma _ {0}} {V_ {0}}} e_ {0 } = 0 \ ,.}$

Вышеупомянутое обыкновенное дифференциальное уравнение может быть решено относительно e ₀ с начальным условием e ₀ = 0, когда V = V ₀ (χ = 0). Точное решение

${\ displaystyle {\ begin {align} e_ {0} = {\ frac {\ rho C_ {0} ^ {2} V_ {0}} {2s ^ {4}}} {\ Biggl [} & \ exp ( \ Gamma _ {0} \ chi) ({\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s}} - 3) s ^ {2} - {\ frac {[{\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s}} - (3-s \ chi)] s ^ {2}} {1-s \ chi}} + \\ & \ exp \ left [- {\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s }} (1-s \ chi) \ right] (\ Gamma _ {0} ^ {2} -4 \ Gamma _ {0} s + 2s ^ {2}) ({\ text {Ei}} [{\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s}} (1-s \ chi)] - {\ text {Ei}} [{\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s}}]) {\ Biggr ]} \ end {выровнен}}}$

где Ei [z] - экспоненциальный интеграл . Выражение для p ₀ имеет вид

${\ displaystyle {\ begin {align} p_ {0} = - {\ frac {de_ {0}} {dV}} = {\ frac {\ rho C_ {0} ^ {2}} {2s ^ {4}) (1- \ chi)}} {\ Biggl [} & {\ frac {s} {(1-s \ chi) ^ {2}}} {\ Bigl (} - \ Gamma _ {0} ^ {2} (1- \ chi) (1-s \ chi) + \ Gamma _ {0} [s \ {4 (\ chi -1) \ chi s-2 \ chi +3 \} - 1] \\ & - \ exp (\ Gamma _ {0} \ chi) [\ Gamma _ {0} (\ chi -1) -1] (1-s \ chi) ^ {2} (\ Gamma _ {0} -3s) + s [3- \ chi s \ {(\ chi -2) s + 4 \}] {\ Bigr)} \\ & - \ exp \ left [- {\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s}} (1-s \ chi) \ right] [\ Gamma _ {0} (\ chi -1) -1] (\ Gamma _ {0} ^ {2} -4 \ Gamma _ {0} s + 2s ^ { 2}) ({\ text {Ei}} [{\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s}} (1-s \ chi)] - {\ text {Ei}} [{\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {s}}]) {\ Biggr]} \,. \ End {align}}}$

Графики e ₀ и p ₀ для меди как функции χ.

Для часто встречающихся задач сжатия приближением к точному решению является решение степенного ряда вида

${\ displaystyle e_ {0} (V) = A + B \ chi (V) + C \ chi ^ {2} (V) + D \ chi ^ {3} (V) + \ dots}$

и

${\ displaystyle p_ {0} (V) = - {\ frac {de_ {0}} {dV}} = - {\ frac {de_ {0}} {d \ chi}} \, {\ frac {d \ chi} {dV}} = {\ frac {1} {V_ {0}}} \, (B + 2C \ chi + 3D \ chi ^ {2} + \ dots) \ ,.}$

Подстановка в модель Грюнайзена дает нам уравнение состояния Ми – Грюнайзена

${\ displaystyle p = {\ frac {1} {V_ {0}}} \, (B + 2C \ chi + 3D \ chi ^ {2} + \ dots) + {\ frac {\ Gamma _ {0}} {V_ {0}}} \ left [e- (A + B \ chi + C \ chi ^ {2} + D \ chi ^ {3} + \ dots) \ right] \ ,.}$

Если мы предположим, что внутренняя энергия e ₀ = 0, когда V = V ₀ (χ = 0), мы имеем A = 0. Аналогично, если мы предположим p ₀ = 0, когда V = V _0, мы имеем B = 0. Mie– Тогда уравнение состояния Грюнайзена можно записать как

${\ displaystyle p = {\ frac {1} {V_ {0}}} \ left [2C \ chi \ left (1 - {\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {2}} \ chi \ right) + 3D \ chi ^ {2} \ left (1 - {\ tfrac {\ Gamma _ {0}} {3}} \ chi \ right) + \ dots \ right] + \ Gamma _ {0} E}$

где E - внутренняя энергия на единицу контрольного объема. Возможны несколько форм этого уравнения состояния.

Сравнение точного и первого порядка уравнения состояния Ми – Грюнайзена для меди.

Если мы возьмем член первого порядка и подставим его в уравнение (2), мы сможем решить для C, чтобы получить

${\ displaystyle C = {\ frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} V_ {0}} {2 (1-s \ chi) ^ {2}}} \ ,.}$

Тогда мы получим следующее выражение для p  :

${\ displaystyle p = {\ frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} \ chi} {(1-s \ chi) ^ {2}}} \ left (1 - {\ tfrac {\ Гамма _ {0}} {2}} \ chi \ right) + \ Gamma _ {0} E \ ,.}$

Это обычно используемое уравнение состояния Ми – Грюнайзена первого порядка.

Смотрите также

• Удар (механика)
• Ударная волна
• Удар (механика)
• Ударная трубка
• Гидростатический шок
• ALEGRA
• Вязкопластичность

Ссылки