Теоремы Мертенса - Mertens' theorems

В теории чисел , теоремы Мертенса три +1874 результаты , связанные с плотностью простых чисел доказанных Франца Мертенс . «Теорема Мертенса» может также относиться к его теореме в анализе .

Теоремы

Далее, пусть означают все простые числа, не превосходящие n . ${\ displaystyle p \ leq n}$

Первая теорема Мертенса :

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p}} - \ ln n}$

не превышает 2 по абсолютной величине ни для одного . ( A083343 ) ${\ Displaystyle п \ geq 2}$

Вторая теорема Мертенса :

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln nM \ right) = 0,}$

где M - постоянная Мейселя – Мертенса ( A077761 ). Точнее, Мертенс доказывает, что выражение под пределом по абсолютной величине не превосходит

${\ displaystyle {\ frac {4} {\ ln (n + 1)}} + {\ frac {2} {n \ ln n}}}$

для любого . ${\ Displaystyle п \ geq 2}$

Третья теорема Мертенса :

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = e ^ {- \ gamma },}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони ( A001620 ).

Изменения в знаке

В статье о скорости роста функции суммы делителей, опубликованной в 1983 году, Гай Робин доказал, что во 2-й теореме Мертенса разность

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} - \ ln \ ln nM}$

меняет знак бесконечно часто, и что в 3-й теореме Мертенса разница

${\ displaystyle \ ln n \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) -e ^ {- \ gamma}}$

меняет знак бесконечно часто. Результаты Робина аналогичны Лнттлвуда «s известной теоремы о том , что разница π ( х ) - ли ( х ) меняет знак бесконечно часто. Никакой аналог числа Скьюза (верхняя граница первого натурального числа x, для которого π ( x )> li ( x )) не известен в случае 2-й и 3-й теорем Мертенса.

Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах

Относительно этой асимптотической формулы Мертенс ссылается в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра», первая из которых является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая - прототипом третьей теоремы Мертенса: см. Самые первые строки статьи). Он напоминает, что она содержится в третьем издании Лежандра его «Теории Номеров» (1830; она уже упоминалась во втором издании 1808 года), а также что более сложная версия была доказана Чебышевым в 1851 году. , уже в 1737 г. Эйлер знал асимптотику этой суммы.

Мертенс дипломатично описывает свое доказательство как более точное и строгое. На самом деле ни одно из предыдущих доказательств неприемлемо по современным стандартам: вычисления Эйлера включают бесконечность (и гиперболический логарифм бесконечности, и логарифм логарифма бесконечности!); Аргумент Лежандра эвристический; и доказательство Чебышева, хотя и совершенно здравое, использует гипотезу Лежандра-Гаусса, которая не была доказана до 1896 года и стала более известной как теорема о простых числах .

Доказательство Мертенса не апеллирует ни к какой недоказанной гипотезе (1874 г.), а только к элементарному реальному анализу. Это произошло за 22 года до первого доказательства теоремы о простых числах, которое, напротив, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексной переменной. Доказательство Мертенса в этом отношении примечательно. Действительно, в современных обозначениях это дает

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (1 / \ log x)}$

в то время как теорема о простых числах (в ее простейшей форме, без оценки погрешности), как можно показать, эквивалентна

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + o (1 / \ log x).}$

В 1909 году Эдмунд Ландау , используя лучшую версию теоремы о простых числах, имевшуюся тогда в его распоряжении, доказал, что

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- (\ log x) ^ {1/14}}) }$

держит; в частности, ошибка меньше, чем для любого фиксированного целого числа k . Простое суммирование по частям с использованием сильнейшей известной формы теоремы о простых числах улучшает это до ${\ Displaystyle 1 / (\ журнал х) ^ {к}}$

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + O (e ^ {- c (\ log x) ^ {3/5} ( \ log \ log x) ^ {- 1/5}})}$

для некоторых . ${\ displaystyle c> 0}$

Точно так же частичное суммирование показывает, что это эквивалентно PNT. ${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq x} {\ frac {\ log p} {p}} = \ log x + C + o (1)}$

Третья теорема Мертенса и теория решета

Оценка вероятности ( ) , не имеющий коэффициента задаются ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ gg n}$${\ Displaystyle \ Leq п}$

${\ displaystyle \ prod _ {p \ leq n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right)}$

Это тесно связано с третьей теоремой Мертенса, которая дает асимптотическое приближение

${\ Displaystyle P (п \ nmid X \ \ forall p \ leq n) = {\ frac {1} {e ^ {\ gamma} \ ln n}}}$

Доказательство

Главный шаг - это

${\ Displaystyle О (п) + п \ журнал п = \ журнал п! = \ сумма _ {p ^ {k} \ leq n} \ lfloor n / p ^ {k} \ rfloor \ log p = \ sum _ { p ^ {k} \ leq n} \ left ({\ frac {n} {p ^ {k}}} + O (1) \ right) \ log p = n \ sum _ {p ^ {k} \ leq n} {\ frac {\ log p} {p ^ {k}}} \ + O (n)}$

где необходимо последнее равенство, которое следует из . ${\ displaystyle \ sum _ {p ^ {k} \ leq n} \ log p = O (n)}$${\ displaystyle \ sum _ {p \ in (n, 2n]} \ log p \ leq \ log {2n \ choose n} = O (n)}$

Таким образом, мы доказали, что

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ log p} {p}} = \ log n + O (1)}$.

А частичное суммирование дает

${\ displaystyle \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {1} {p}} = \ log \ log n + M + O (1 / \ log n)}$.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Яглом и Яглом Сложные математические задачи с элементарными решениями Том 2, задачи 171, 173, 174

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Мертенс Констан» . MathWorld .
• Сондоу, Джонатан и Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Мертенса» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Вторая теорема Мертенса" . MathWorld .
• Варун Раджкумар, π (x) и Решето Эратосфена