Формула для среднего значения функции по ее области определения
В исчислении , и особенно в исчислении с несколькими переменными , среднее значение функции в общих чертах определяется как среднее значение функции по ее области определения . В одной переменной среднее значение функции f ( x ) на интервале ( a , b ) определяется как
ж
¯
знак равно
1
б
-
а
∫
а
б
ж
(
Икс
)
d
Икс
.
{\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}
Напомним, что определяющим свойством среднего значения конечного числа чисел
является то . Другими словами, это постоянное значение, которое при
добавлении к себе в разы равно результату сложения членов . По аналогии, определяющим свойством среднего значения функции на интервале является то, что
у
¯
{\ displaystyle {\ bar {y}}}
у
1
,
у
2
,
…
,
у
п
{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}}
п
у
¯
знак равно
у
1
+
у
2
+
⋯
+
у
п
{\ displaystyle n {\ bar {y}} = y_ {1} + y_ {2} + \ cdots + y_ {n}}
у
¯
{\ displaystyle {\ bar {y}}}
п
{\ displaystyle n}
п
{\ displaystyle n}
у
1
,
…
,
у
п
{\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}
ж
¯
{\ displaystyle {\ bar {f}}}
[
а
,
б
]
{\ Displaystyle [а, б]}
∫
а
б
ж
¯
d
Икс
знак равно
∫
а
б
ж
(
Икс
)
d
Икс
{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ bar {f}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}
Другими словами, это постоянное значение , которое , когда интегрированный над равен результату интегрирования над . Но интеграл от константы просто
ж
¯
{\ displaystyle {\ bar {f}}}
[
а
,
б
]
{\ Displaystyle [а, б]}
ж
(
Икс
)
{\ displaystyle f (x)}
[
а
,
б
]
{\ Displaystyle [а, б]}
ж
¯
{\ displaystyle {\ bar {f}}}
∫
а
б
ж
¯
d
Икс
знак равно
ж
¯
Икс
|
а
б
знак равно
ж
¯
б
-
ж
¯
а
знак равно
(
б
-
а
)
ж
¯
{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ bar {f}} \, dx = {\ bar {f}} x {\ bigr |} _ {a} ^ {b} = {\ bar { f}} b - {\ bar {f}} a = (ba) {\ bar {f}}}
См. Также первую теорему о среднем значении для интегрирования , которая гарантирует, что если она непрерывна, то существует такая точка , что
ж
{\ displaystyle f}
c
∈
(
а
,
б
)
{\ Displaystyle с \ в (а, б)}
∫
а
б
ж
(
Икс
)
d
Икс
знак равно
ж
(
c
)
(
б
-
а
)
{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f (c) (ba)}
Точка называется средним значением вкл . Итак, мы напишем
и изменим предыдущее уравнение, чтобы получить приведенное выше определение.
ж
(
c
)
{\ displaystyle f (c)}
ж
(
Икс
)
{\ displaystyle f (x)}
[
а
,
б
]
{\ Displaystyle [а, б]}
ж
¯
знак равно
ж
(
c
)
{\ displaystyle {\ bar {f}} = f (c)}
В некоторых переменных среднее значение по относительно компактной области U в евклидовом пространстве определяется выражением
ж
¯
знак равно
1
Vol
(
U
)
∫
U
ж
.
{\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {{\ hbox {Vol}} (U)}} \ int _ {U} f.}
Это обобщает среднее арифметическое . С другой стороны, также возможно обобщить среднее геометрическое на функции, определив среднее геометрическое f как
exp
(
1
Vol
(
U
)
∫
U
бревно
ж
)
.
{\ displaystyle \ exp \ left ({\ frac {1} {{\ hbox {Vol}} (U)}} \ int _ {U} \ log f \ right).}
В целом, в теории меры и теории вероятностей , либо рода средних играет важную роль. В этом контексте неравенство Дженсена дает точные оценки взаимосвязи между этими двумя различными понятиями среднего значения функции.
Существует также гармоническое среднее значений функций и квадратичное среднее (или среднеквадратичное значение ) функций.
Смотрите также
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">