Аналитическая функция матрицы - Analytic function of a matrix

В математике каждую аналитическую функцию можно использовать для определения матричной функции, которая отображает квадратные матрицы со сложными элементами в квадратные матрицы того же размера.

Это используется для определения экспоненты матрицы , которая участвует в замкнутом решении систем линейных дифференциальных уравнений .

Расширение скалярной функции до матричных функций

Существует несколько методов поднятия вещественной функции до квадратной матричной функции с сохранением интересных свойств. Все следующие методы дают одну и ту же матричную функцию, но области, в которых она определена, могут отличаться.

Силовая серия

Если аналитическая функция f имеет разложение Тейлора

${\ displaystyle f (x) = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + \ cdots}$

то матрица - функция может быть определена путем подстановки х с помощью квадратной матрицы : силы становятся матричные силы , дополнения становятся матричные суммы и умножения на коэффициенты становятся скалярных умножений . Если ряд сходится для , то соответствующий матричный ряд сходится для таких матриц A , что для некоторой нормы матрицы, которая удовлетворяет . ${\ Displaystyle A \ mapsto f (A)}$${\ Displaystyle | х | <г}$${\ Displaystyle \ | А \ | <г}$${\ Displaystyle \ | AB \ | \ Leq \ | A \ | \, | B \ |}$

Диагонализируемые матрицы

Квадратная матрица является диагонализируемо , если есть обратимая матрица Р таким образом, что является диагональной матрицей , то есть, D имеет форму ${\ Displaystyle D = P ^ {- 1} \, A \, P}$

${\ displaystyle D = {\ begin {bmatrix} d_ {1} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & d_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Поскольку естественно установить ${\ Displaystyle A = P \, D \, P ^ {- 1},}$

${\ displaystyle f (A) = P \, {\ begin {bmatrix} f (d_ {1}) & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & f (d_ {n}) \ end {bmatrix}} \, P ^ {- 1}.}$

Можно проверить , что матрица F ( ) не зависит от конкретного выбора P .

Например, предположим , что один ищет для ${\ Displaystyle \ Гамма (А) = (А-1)!}$

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Надо

${\ displaystyle A = P {\ begin {bmatrix} 1 - {\ sqrt {6}} & 0 \\ 0 & 1 + {\ sqrt {6}} \ end {bmatrix}} P ^ {- 1} ~,}$

для

${\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1/2 и 1/2 \\ - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} и {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} \ end {bmatrix}} ~.}$

Тогда применение формулы просто дает

${\ displaystyle \ Gamma (A) = {\ begin {bmatrix} 1/2 и 1/2 \\ - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} и {\ frac {1} {\ sqrt {6} }} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} \ Gamma (1 - {\ sqrt {6}}) & 0 \\ 0 & \ Gamma (1 + {\ sqrt {6}}) \ end {bmatrix }} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & - {\ sqrt {6}} / 2 \\ 1 & {\ sqrt {6}} / 2 \ end {bmatrix}} \ приблизительно {\ begin {bmatrix} 2.8114 & 0. 4080 \\ 0,2720 и 2,8114 \ end {bmatrix}} ~.}$

Так же,

${\ displaystyle A ^ {4} = {\ begin {bmatrix} 1/2 и 1/2 \\ - {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} и {\ frac {1} {\ sqrt {6} }} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} (1 - {\ sqrt {6}}) ^ {4} & 0 \\ 0 & (1 + {\ sqrt {6}}) ^ {4} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & - {\ sqrt {6}} / 2 \\ 1 & {\ sqrt {6}} / 2 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 73 и 84 \\ 56 и 73 \ end {bmatrix}} ~.}$

Разложение Жордана

Все комплексные матрицы, независимо от того, диагонализуемы они или нет, имеют жордановую нормальную форму , где матрица J состоит из жордановых блоков . Рассмотрим эти блоки отдельно и применим степенной ряд к блоку Жордана: ${\ Displaystyle A = P \, J \, P ^ {- 1}}$

${\ displaystyle f \ left ({\ begin {bmatrix} \ lambda & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda & 1 & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & \ lambda & 1 \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & \ lambda \ end {bmatrix}} \ right) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {f (\ lambda)} {0!}} & {\ frac {f '(\ lambda)} {1!}} & {\ frac {f' '(\ lambda)} {2!}} & \ cdots & {\ frac {f ^ {(n)} (\ lambda )} {n!}} \\ 0 & {\ frac {f (\ lambda)} {0!}} & {\ frac {f '(\ lambda)} {1!}} & \ vdots & {\ frac { f ^ {(n-1)} (\ lambda)} {(n-1)!}} \\ 0 & 0 & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ cdots & \ ddots & {\ frac {f (\ lambda)} {0!}} & {\ frac {f '(\ lambda)} {1!}} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & {\ frac {f (\ lambda)} {0!} } \ end {bmatrix}}.}$

Это определение можно использовать для расширения области определения матричной функции за пределы набора матриц со спектральным радиусом, меньшим, чем радиус сходимости степенного ряда. Обратите внимание, что существует также связь с разделенными различиями .

Связанное с этим понятие - разложение Жордана – Шевалле, которое выражает матрицу как сумму диагонализуемой и нильпотентной частей.

Эрмитовы матрицы

Эрмитова матрица имеет все вещественные собственные значения и всегда может быть диагонализуется с помощью унитарной матрицы P, согласно спектральной теореме . В этом случае определение Жордана естественно. Более того, это определение позволяет расширить стандартные неравенства для вещественных функций:

Если для всех собственных значений , то . (По соглашению, это положительно-полуопределенная матрица .) Доказательство следует непосредственно из определения. ${\ Displaystyle е (а) \ leq g (а)}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle е (А) \ предшествующий г (А)}$${\ Displaystyle X \ prevq Y \ Leftrightarrow YX}$

Интеграл Коши

Интегральная формула Коши из комплексного анализа также может использоваться для обобщения скалярных функций на матричные функции. Интегральная формула Коши утверждает, что для любой аналитической функции f, определенной на множестве D ⊂ ℂ , выполняется

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} \! {\ frac {f (z)} {zx}} \, \ mathrm {d} z ~,}$

где C - замкнутая простая кривая внутри области D, охватывающей x .

Теперь, заменить й на матрицу А и рассмотрит путь C внутри D , который охватывает все собственные значения из A . Одна из возможностей добиться этого - позволить C быть окружностью вокруг начала координат с радиусом больше A ‖ для произвольной матричной нормы ‖ • ‖. Тогда f  ( A ) определима следующим образом:

${\ displaystyle f (A) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} f (z) \ left (zI-A \ right) ^ {- 1} \ mathrm {d} г ~.}$

Этот интеграл легко вычислить численно, используя правило трапеции , которое в этом случае сходится экспоненциально. Это означает, что точность результата удваивается, когда количество узлов удваивается. В обычных случаях это обходится формулой Сильвестра .

Эта идея, примененная к ограниченным линейным операторам в банаховом пространстве , которые можно рассматривать как бесконечные матрицы, приводит к голоморфному функциональному исчислению .

Матричные возмущения

Приведенный выше степенной ряд Тейлора позволяет заменить скаляр матрицей. В целом это неверно при расширении с точки зрения about if . Контрпример , который имеет ряд Тейлора конечной длины. Мы вычисляем это двумя способами: ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle A (\ eta) = A + \ eta B}$${\ displaystyle \ eta = 0}$${\ displaystyle [A, B] = 0}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {3}}$

• Распределительное право:

${\ displaystyle f (A + \ eta B) = (A + \ eta B) ^ {3} = A ^ {3} + \ eta (A ^ {2} B + ABA + BA ^ {2}) + \ eta ^ {2} (AB ^ {2} + BAB + B ^ {2} A) + \ eta ^ {3} B ^ {3}}$

• Использование скалярного разложения Тейлора и замена скаляров матрицами в конце:${\ Displaystyle е (а + \ эта б)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (a + \ eta b) & = f (a) + f '(a) {\ frac {\ eta b} {1!}} + f' '(a) {\ frac {(\ eta b) ^ {2}} {2!}} + f '' '(a) {\ frac {(\ eta b) ^ {3}} {3!}} \\ [. 5em] & = a ^ {3} + 3a ^ {2} (\ eta b) + 3a (\ eta b) ^ {2} + (\ eta b) ^ {3} \\ [. 5em] & \ to A ^ {3} = + 3A ^ {2} (\ eta B) + 3A (\ eta B) ^ {2} + (\ eta B) ^ {3} \ end {align}}}$

Скалярное выражение предполагает коммутативность, в то время как матричное выражение - нет, и поэтому они не могут быть приравнены напрямую, кроме как . Для некоторого f ( x ) с этим можно справиться, используя тот же метод, что и для скалярных рядов Тейлора. Например, . Если существует, то . Затем разложение первого члена следует за степенным рядом, приведенным выше: ${\ displaystyle [A, B] = 0}$${\ textstyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ Displaystyle е (A + \ эта B) = е (\ mathbb {I} + \ eta A ^ {- 1} B) f (A)}$

${\ Displaystyle е (\ mathbb {I} + \ eta A ^ {- 1} B) = \ mathbb {I} - \ eta A ^ {- 1} B + (- \ eta A ^ {- 1} B) ^ {2} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- \ eta A ^ {- 1} B) ^ {n}}$

Затем применяются критерии сходимости степенного ряда, требующие, чтобы они были достаточно малыми при соответствующей матричной норме. Для более общих задач, которые нельзя переписать таким образом, что две матрицы коммутируют, необходимо отслеживать упорядочение матричных продуктов, полученных путем повторного применения правила Лейбница. ${\ Displaystyle \ Vert \ eta A ^ {- 1} B \ Vert}$

Произвольная функция матрицы 2 × 2

Для произвольной функции f (A) матрицы A 2 × 2 формула Сильвестра упрощается до

${\ displaystyle f (A) = {\ frac {f (\ lambda _ {+}) + f (\ lambda _ {-})} {2}} I + {\ frac {A- \ left ({\ frac { tr (A)} {2}} \ right) I} {\ sqrt {\ left ({\ frac {tr (A)} {2}} \ right) ^ {2} - | A |}}} {\ гидроразрыв {f (\ lambda _ {+}) - f (\ lambda _ {-})} {2}} ~,}$

где - собственные значения его характеристического уравнения, | A-λI | = 0, и задаются формулами ${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = {\ frac {tr (A)} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {tr (A)} {2}} \ right) ^ {2} - | A |}}.}$

Примеры

• Матричный полином
• Корень матрицы
• Матричный логарифм
• Матрица экспоненциальная
• Функция знака матрицы

Классы матричных функций

Использование полуопределенного упорядочения ( является положительным полуопределенным и является положительно определенным ), некоторые из классов скалярных функций могут быть перенесены на матричные функции эрмитовых матриц . ${\ Displaystyle X \ prevq Y \ Leftrightarrow YX}$${\ Displaystyle X \ Prec Y \ Leftrightarrow YX}$

Оператор монотонный

Функция f называется операторной монотонной тогда и только тогда, когда для всех самосопряженных матриц A , H со спектрами в области определения f . Это аналог монотонной функции в скалярном случае. ${\ Displaystyle 0 \ Pre A \ PreQ H \ Rightarrow F (A) \ Preceq F (H)}$

Оператор вогнутый / выпуклый

Функция f называется операторной вогнутой тогда и только тогда, когда

${\ Displaystyle \ тау е (А) + (1- \ тау) е (Н) \ prevq е \ влево (\ тау А + (1- \ тау) Н \ справа)}$

для всех самосопряженных матриц A , H со спектрами в области f и . Это определение аналогично вогнутой скалярной функции . Операторная выпуклая функция может быть определена переключением на в приведенном выше определении. ${\ Displaystyle \ тау \ в [0,1]}$${\ displaystyle \ prevq}$${\ displaystyle \ successq}$

Примеры

Журнал матрицы является как операторно-монотонным, так и операторно-вогнутым. Матричный квадрат операторно выпуклый. Матричная экспонента не является ни одним из них. Теорема Лёвнера утверждает, что функция на открытом интервале операторно монотонна тогда и только тогда, когда она имеет аналитическое расширение на верхнюю и нижнюю комплексные полуплоскости, так что верхняя полуплоскость отображается сама на себя.

Смотрите также

• Алгебраическое уравнение Риккати
• Формула Сильвестра
• Заказ Loewner
• Матричное исчисление
• Следить за неравенством
• Тригонометрические функции матриц

Примечания

использованная литература

• Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции теории и вычисления матриц . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 9780898717778.