Математика раскладки - Mathematics of apportionment

Математика распределения описывает математические принципы и алгоритмы справедливого распределения идентичных предметов между сторонами с разными правами. Такие принципы используются для распределения мест в парламентах между федеративными землями или политическими партиями . См. Разделение (политика) для более конкретных принципов и вопросов, связанных с распределением, и распределение по странам для практических методов, используемых во всем мире.

Математически метод пропорционального распределения - это просто метод округления дробей до целых чисел. Как бы просто это ни звучало, каждый метод округления страдает одним или несколькими парадоксами . Математическая теория распределения стремится решить, каких парадоксов можно избежать, или, другими словами, каких свойств можно ожидать от метода пропорционального распределения.

Математическая теория распределения была изучена еще в 1907 году математиком Агнером Крарупом Эрлангом . Позднее он был детально разработан математиком Мишелем Балински и экономистом Пейтоном Янгом . Помимо применения к политическим партиям, он также применим к справедливому распределению предметов, когда агенты имеют разные права . Это также актуально при планировании рабочей силы - где рабочие места должны распределяться пропорционально характеристикам кадрового резерва, к статистике - где сообщаемые округленные числа процентов должны в сумме составлять 100%, и к проблемам банкротства .

Определения

Вход

Входные данные для метода пропорционального распределения:

• Положительное целое число, представляющее общее количество выделяемых элементов. Его также называют размером дома , поскольку во многих случаях выделяемые места - это места в палате представителей.${\ displaystyle h}$
• Положительное целое число, представляющее количество агентов, которым должны быть выделены элементы. Например, это могут быть федеральные земли или политические партии .${\ displaystyle n}$
• Вектор чисел , представляющих пособия - представляет собой право агента , то есть, количество предметов , к которым имеет право (из общего количества ). Эти права часто нормализуются таким образом, что . В качестве альтернативы их можно нормализовать так, чтобы их сумма была равна ; в этом случае права называются квотами и обозначаются , где и . В качестве альтернативы одному дается вектор популяций ; здесь, то право агента является .${\ Displaystyle (т_ {1}, \ ldots, т_ {п})}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} т_ {я} = 1}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle q_ {i}: = t_ {i} \ cdot h}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} q_ {я} = ч}$${\ displaystyle (p_ {1}, \ ldots, p_ {n})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle t_ {i} = p_ {i} / \ sum _ {j = 1} ^ {n} p_ {j}}$

Выход

Выход представляет собой вектор целых чисел с , называется распределение из , где этого количества элементов , выделенных для агента я . ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} а_ {я} = ч}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle a_ {i}}$

Для каждого агента , реальное число называется квотой на , и обозначает точное число элементов , которые должны быть даны . Как правило, «справедливое» распределение - это такое распределение, при котором каждое распределение максимально приближено к квоте . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle q_ {i}: = t_ {i} \ cdot h}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle q_ {i}}$

Метод распределения может возвращать набор векторов распределения (другими словами: это многозначная функция ). Это необходимо, поскольку в некоторых случаях нет четкого способа различить два возможных решения. Например, если (или любое другое нечетное число) и , то (50,51) и (51,50) являются одинаково разумными решениями, и нет математического способа выбрать одно из них. Хотя на практике такие связи крайне редки, теория должна их учитывать (на практике, когда метод пропорционального распределения возвращает несколько выходных данных, один из них может быть выбран некоторыми внешними правилами приоритета или подбрасыванием монеты , но это выходит за рамки математической теории распределения). ${\ displaystyle h = 101}$${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2} = 1/2}$

Распределение метод обозначаются многозначной функцией ; конкретное -решение - это однозначная функция, которая выбирает одно пропорциональное распределение из . ${\ Displaystyle М (\ mathbf {т}, ч)}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle е (\ mathbf {т}, ч)}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {т}, ч)}$

Частичный метод пропорционального распределения является метод пропорционального распределения конкретных фиксированных значений и ; это многозначная функция, которая принимает только -векторы. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle М ^ {*} (\ mathbf {т})}$${\ displaystyle n}$

Варианты

Иногда входные данные также содержат вектор целых чисел, представляющий минимальные требования - представляет собой наименьшее количество элементов, которые агент должен получить, независимо от его прав. Так что на выходе есть дополнительное требование: для всех . ${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle a_ {i} \ geq r_ {i}}$${\ displaystyle i}$

Когда агенты являются политическими партиями, эти числа обычно равны 0, поэтому этот вектор опускается. Но когда агентами являются штаты или округа, эти числа часто положительны, чтобы гарантировать, что все представлены. Они могут быть одинаковыми для всех агентов (например, 1 для штатов США, 2 для округов Франции) или разными (например, в Канаде или Европейском парламенте).

Иногда есть еще вектор максимальных требований , но он встречается реже.

Базовые требования

Есть основные свойства, которым должен удовлетворять любой разумный метод пропорционального распределения. Разные авторы дали им разные имена: имена слева взяты из Пукельсхайма; Имена в скобках справа - от Балинского и Янга.

• Анонимность (= симметрия ) означает, что распределение не зависит от имен или индексов агентов. Формально, еслиесть какая-либо перестановка, тодоливточно соответствуют перестановкам долей в. ${\ Displaystyle \ mathbf {т '}}$${\ Displaystyle \ mathbf {т}}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {т '}, ч)}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {т}, ч)}$
  • Это требование имеет смысл, когда нет минимальных требований или когда требования одинаковы; если они не совпадают, анонимность должна соблюдаться при соблюдении требований.
• Сбалансированность (= Баланс ) означает, что если два агента имеют равные права, то их распределение должно отличаться не более чем на 1:подразумевается.${\ displaystyle t_ {i} = t_ {j}}$${\ displaystyle a_ {i} \ geq a_ {j} -1}$
• Согласованность (= Слабая монотонность популяции ) означает, что агент со строго более высокими правами получает как минимум столько же предметов:подразумевается.${\ displaystyle t_ {i}> t_ {j}}$${\ displaystyle a_ {i} \ geq a_ {j}}$
• Порядочность (= однородность ) означает, что масштабирование вектора прав не влияет на результат. Формально для каждой константы c (это автоматически выполняется, если входные данные метода пропорционального распределения нормализованы).${\ Displaystyle M (с \ cdot \ mathbf {t}, h) = M (\ mathbf {t}, h)}$
• Точность (= слабая пропорциональность ) означает, что если существует идеальное решение, его необходимо выбрать. Формально, если квота каждого агента является целым числом, то она должна содержать уникальный вектор . Другими словами, если h -распределение точно пропорционально , то оно должно быть единственным элементом . ${\ displaystyle q_ {i} = t_ {i} \ cdot h}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {т}, ч)}$${\ displaystyle (q_ {1}, \ ldots, q_ {n})}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ Displaystyle \ mathbf {т}}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {т}, ч)}$
  • Сильная точность означает, что точность также сохраняется «в пределе». То есть, если последовательность векторов полномочий сходится к целочисленному вектору квоты , то единственным вектором распределения во всех элементах последовательности является . Чтобы увидеть отличие от слабой точности, рассмотрите следующее правило. (a) Дайте каждому агенту округленную в меньшую сторону квоту ; (b) итеративно передать оставшиеся места самым крупным партиям. Это правило является слабо точным, но не сильно точным. Например, предположим, что
  h = 6, и рассмотрим последовательность векторов квот (4 + 1 / k , 2-1 / k ). Приведенное выше правило дает распределение (5,1) для всех k , даже несмотря на то, что предел при k → ∞ является целочисленным вектором (4,2).${\ displaystyle (q_ {1}, \ ldots, q_ {n})}$${\ displaystyle (q_ {1}, \ ldots, q_ {n})}$${\ displaystyle \ lfloor q_ {i} \ rfloor}$
• Сильная пропорциональность означает, что, кроме того, если , и , и существует некоторая h- пропорция, которая точно пропорциональна , то она должна быть уникальным элементом . Например, если одно решение в (3,3), то единственное решение в должно быть (2,2).${\ Displaystyle \ mathbf {а '} \ в М (\ mathbf {т}, ч')}$${\ displaystyle h <h '}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ Displaystyle \ mathbf {а} '}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {т}, ч)}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {t}, 6)}$${\ Displaystyle М (\ mathbf {т}, 4)}$

Полнота означает, что если некоторая доля возвращается для сходящейся последовательности векторов полномочий, то возвращается также и для их предельного вектора. Другими словами, набор - набор векторов прав, для которых возможно распределение - топологически замкнут . Неполный метод может быть «завершен» путем добавления пропорционального распределения к любому лимитному праву тогда и только тогда, когда он принадлежит каждому праву в последовательности. Выполнение метода симметричного и пропорционального распределения является полным, симметричным и пропорциональным. ${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ displaystyle \ {\ mathbf {t} | \ mathbf {a} \ in M ​​(\ mathbf {t}, h) \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$

• Полнота нарушается методами, в которых применяется правило разрешения внешних связей, как это делается на практике во многих странах. Правило разрешения ничьей применяется только в предельном случае, поэтому оно может нарушить полноту.
• Полнота и слабая точность вместе означают сильную точность. Если полный и слабо точный метод модифицируется путем добавления соответствующего правила разрыва связи, то результирующее правило больше не является полным, но по-прежнему является строго точным.

Распространенные методы пропорционального распределения

Существует множество методов пропорционального распределения, и их можно разделить на несколько подходов.

1. Методы наибольшего остатка начинаются с вычисления вектора квот, округленного в меньшую сторону, то есть. Если сумма этих округленных значений точно, то этот вектор возвращается как уникальное распределение. Обычно сумма меньше. В этом случае оставшиеся элементы распределяются между агентами в соответствии с их остатками : агент с наибольшим остатком получает одно место, затем агент со вторым по величине остатком получает одно место и так далее, пока не будут распределены все элементы. В зависимости от того, какая квота используется, существует несколько вариантов метода LR: ${\ Displaystyle \ lfloor q_ {1} \ rfloor, \ ldots, \ lfloor q_ {n} \ rfloor}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle q_ {i} - \ lfloor q_ {i} \ rfloor}$
   • Простая квота, также называемая квотой Хара , составляет . Использование LR с квотой Hare приводит к
   методу Гамильтона .${\ displaystyle t_ {i} h}$
2. Хагенбах-Бишофф квота , которая также называется точная Droop квота, является . Квоты в этом методе больше, поэтому остается меньше элементов. Теоретически возможно, что сумма округленных в меньшую сторону квот будет больше , но на практике это случается редко.${\ Displaystyle т_ {я} \ cdot (ч + 1)}$${\ displaystyle h + 1}$${\ displaystyle h}$
3. Imperiali квота является . Эта квота встречается реже, поскольку существует большая вероятность того, что сумма округленных квот будет больше, чем .${\ Displaystyle т_ {я} \ cdot (ч + 2)}$${\ displaystyle h}$
4. Методы делителя , вместо использования фиксированного множителя в квоте (например,или), выберите множитель таким образом, чтобы сумма округленных квот была точно равна, чтобы не было оставшихся элементов для распределения. Формально. Методы делителя различаются методом округления. Метод делителя параметризуется функцией делителя, которая определяет для каждого целого числадействительное число в интервале. Это означает, что все числадолжны быть округлены до, а все числадолжны быть округлены до. Функция округления обозначается, и возвращает целое число,такое что. Само числоможет быть округлено как в большую, так и в меньшую сторону, поэтому функция округления является многозначной. Например, метод Адамса использует, что соответствует округлению в большую сторону; Использует метод Д'Хондта / Джефферсона , который соответствует округлению в меньшую сторону; и метод Уэбстер / Сент-Lague использование , что соответствует округлению до ближайшего целого числа. Метод делителя также может быть вычислен итеративно: изначальноон установлен на 0 для всех сторон. Затем на каждой итерации следующее место выделяется партии, которая максимизирует соотношение .${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h + 1}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle M (\ mathbf {t}, h): = \ {\ mathbf {a} | a_ {i} = \ operatorname {round} (t_ {i} \ cdot H) {\ text {and}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = h {\ text {для некоторого действительного числа}} H \}}$ ${\ displaystyle d (k)}$${\ Displaystyle к \ geq 0}$${\ Displaystyle [к, к + 1]}$${\ Displaystyle [к, d (к)]}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle [д (к), к + 1]}$${\ displaystyle k + 1}$${\ displaystyle \ operatorname {round} ^ {d} (x)}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle д (к-1) \ Leq х \ Leq d (к)}$${\ displaystyle d (k)}$${\ Displaystyle д (к) = к}$${\ Displaystyle д (к) = к + 1}$${\ displaystyle d (k) = k + 0,5}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {t_ {i}} {d (a_ {i})}}}$
5. Методы ранжирования-индекса параметризуются функцией,которая убывает. Доля рассчитывается итеративно. Изначально установленозначение 0 для всех сторон. Затем на каждой итерации выделяйте следующее место агенту, который максимизирует его . Методы делителя - это частный случай методов индекса ранга: метод делителя с функцией делителяэквивалентен методу индекса ранга с индексом ранга .${\ Displaystyle г (т, а)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle г (т_ {я}, а_ {я})}$${\ Displaystyle d (а)}$${\ Displaystyle г (т, а) = т / д (а)}$
6. Методы, основанные на оптимизации, нацелены на достижение, для каждого экземпляра, распределения, которое является «как можно более справедливым» для этого экземпляра. Распределение считается "справедливым", если для всех агентов i ; в этом случае мы говорим, что «несправедливость» распределения равна 0. Если это равенство нарушается, можно определить меру «полной несправедливости» и попытаться минимизировать ее. Можно минимизировать сумму уровней несправедливости или максимальный уровень несправедливости. Каждый критерий оптимизации приводит к другому правилу.${\ displaystyle a_ {i} = q_ {i}}$

Оставаясь в рамках квоты

Точная квота агента является . Основное требование от метода пропорционального распределения состоит в том, что он выделяет каждому агенту свою квоту, если она является целым числом; в противном случае ему следует выделить целое число, близкое к точной квоте, то есть либо его нижней, либо верхней квоты . Мы говорим, что метод пропорционального распределения - ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle q_ {i} = t_ {i} \ cdot h}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle \ lfloor q_ {i} \ rfloor}$ ${\ Displaystyle \ lceil q_ {я} \ rceil}$

• Удовлетворяет нижней квоте, если для всех (это верно, если и только если ).${\ Displaystyle а_ {я} \ geq \ lfloor q_ {я} \ rfloor}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle a_ {i} +1> q_ {i}}$
• Удовлетворяет верхней квоте, если для всех (выполняется тогда и только тогда ).${\ Displaystyle а_ {я} \ leq \ lceil q_ {я} \ rceil}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle a_ {i} -1 <q_ {i}}$
• Удовлетворяет обеим квотам, если выполняются оба вышеперечисленных условия (выполняется тогда и только тогда ).${\ displaystyle {\ frac {q_ {i}} {a_ {i} +1}} <1 <{\ frac {q_ {i}} {a_ {i} -1}}}$

Метод наибольшего остатка Гамильтона по своей конструкции удовлетворяет как нижней, так и верхней квоте. Это не относится к методам делителей:

• Все методы делителя удовлетворяют обеим квотам при наличии 2 агентов;
• Метод Вебстера - единственный метод делителей, удовлетворяющий обеим квотам для 3 агентов;
• Метод Адамса - единственный метод делителей, удовлетворяющий верхней квоте для любого числа агентов;
• Метод Джефферсона - единственный метод делителей, удовлетворяющий нижней квоте для любого числа агентов;
• Никакой метод делителя одновременно нарушает верхнюю квоту для одного агента и нарушает нижнюю квоту для другого агента.

Следовательно, ни один метод делителя не удовлетворяет как верхней, так и нижней квоте для любого количества агентов. Уникальность Джефферсона и Адамса сохраняется даже в гораздо более широком классе методов ранжирования и индексации .

Это можно рассматривать как недостаток методов делителя, но это также можно считать недостатком критерия квоты:

« Например, предоставить D 26 вместо 25 мест в Таблице 10.1 означало бы занять место от одного из меньших штатов A, B или C. Такой перенос значительно ухудшил бы представительство небольшого государства на душу населения - в как в абсолютном, так и в относительном выражении - при этом состояние D наказывается тем, что получает на единицу меньше его нижней квоты. Можно придумать аналогичные примеры, в которых какое-то государство могло бы разумно получить больше, чем его верхняя квота. Можно утверждать, что оставаться в пределах квоты на самом деле не это вообще совместимо с идеей пропорциональности, поскольку она допускает гораздо большую вариативность в представлении на душу населения более мелких штатов, чем для более крупных штатов ».

При моделировании Монте-Карло метод Вебстера с очень высокой вероятностью удовлетворяет обеим квотам. Кроме того, метод Wesbter является единственным способом подразделения , которое удовлетворяет около квоты : нет агентов , таких , что перемещение сиденья от к принесло бы им оба ближе к их квотам:${\ displaystyle i, j}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle q_ {i} - (a_ {i} -1) ~ <~ a_ {i} -q_ {i} ~~ {\ text {and}} ~~ (a_ {j} +1) -q_ { j} ~ <~ q_ {j} -a_ {j}}$.

Метод Джефферсона можно изменить для удовлетворения обеих квот, получив метод Квоты-Джефферсона. Более того, любой метод делителя может быть изменен для удовлетворения обеих квот. Это дает метод Quota-Webster, метод Quota-Hill и т. Д. Это семейство методов часто называют методами quatatone , поскольку они удовлетворяют как квотам, так и монотонности дома .

Минимизация попарного неравенства

Один из способов оценить методы пропорционального распределения - определить, минимизируют ли они неравенство между парами агентов. Очевидно, что неравенство должно учитывать различные права: если тогда к агентам обращаются «одинаково» (относительно их прав); в противном случае, если тогда предпочтение отдаётся агенту , а если тогда - агенту . Однако, поскольку существует 16 способов переставить равенство , существует, соответственно, много способов, с помощью которых можно определить неравенство. ${\ displaystyle a_ {i} / t_ {i} = a_ {j} / t_ {j}}$${\ displaystyle a_ {i} / t_ {i}> a_ {j} / t_ {j}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle a_ {i} / t_ {i} <a_ {j} / t_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle a_ {i} / t_ {i} = a_ {j} / t_ {j}}$

• ${\ displaystyle | a_ {i} / t_ {i} -a_ {j} / t_ {j} |}$. Метод Вебстера - это уникальный метод распределения, в котором для каждой пары агентов и эта разница минимизирована (то есть перемещение места из в или наоборот не уменьшит разницу).${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$
• ${\ displaystyle a_ {i} - (t_ {i} / t_ {j}) a_ {j}}$ибо это приводит к методу Адамса.${\ displaystyle a_ {i} / t_ {i} \ geq a_ {j} / t_ {j}}$
• ${\ displaystyle a_ {i} (t_ {j} / t_ {i}) - a_ {j}}$для . Это приводит к методу Джефферсона.${\ displaystyle a_ {i} / t_ {i} \ geq a_ {j} / t_ {j}}$
• ${\ displaystyle | t_ {i} / a_ {i} -t_ {j} / a_ {j} |}$. Это приводит к методу Дина.
• ${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {i} / t_ {i}} {a_ {j} / t_ {j}}} - 1 \ right |}$. Это приводит к методу Хантингтона-Хилла.

Этот анализ был проведен Хантингтоном в 1920-х годах. Некоторые возможности не приводят к стабильному решению. Например, если мы определим неравенство как , то есть случаи, когда при любом распределении перемещение места от одного агента к другому может уменьшить их попарное неравенство. Есть пример с 3 штатами с населением (737 534 329) и 16 местами. ${\ displaystyle | a_ {i} / a_ {j} -t_ {i} / t_ {j} |}$

Предвзятое отношение к крупным / мелким агентам

Когда агентами являются федеральные земли , особенно важно избегать предвзятости между большими и маленькими штатами. Есть несколько способов формально измерить эту систематическую ошибку. Все измерения приводят к выводу, что метод Джефферсона смещен в пользу больших состояний, метод Адамса смещен в пользу малых состояний, а метод Вебстера является наименее смещенным методом делителей.

Свойства консистенции

Свойства согласованности - это свойства, которые характеризуют метод распределения , а не конкретное распределение. Каждое свойство согласованности сравнивает результаты определенного метода на разных входах. Несколько таких свойств были изучены.

Монотонность между государством и населением означает, что, если полномочия агента увеличиваются, его доля не должна уменьшаться. Название происходит от настройки, в которой агентами являются федеральные земли , чьи права определяются их населением. Нарушение этого свойства называется парадоксом населения . Есть несколько вариантов этого свойства. Один вариант - попарный PM - удовлетворяется исключительно методами делителей. Таким образом, метод пропорционального распределения является попарным PM тогда и только тогда, когда он является методом делителя.

Когда и , ни один метод частичного распределения не удовлетворяет попарному PM, нижней и верхней квоте. В сочетании с предыдущими утверждениями это означает, что ни один метод делителя не удовлетворяет обеим квотам. ${\ displaystyle n \ geq 4}$${\ displaystyle h \ geq n + 3}$

Монотонность дома означает, что при увеличении общего количества местни один агент не теряет место. Нарушение этого свойства называется парадоксом Алабамы . Это считалось особенно важным в первые дни существования США, когда размер конгресса увеличивался каждые десять лет. Хаус-монотонность слабее, чем попарно-ПМ. Все методы ранжирования индекса (следовательно, все методы делителей) являются хаус-монотонными - это ясно следует из итерационной процедуры. Помимо методов делителя, существуют и другие методы монотонного дома, и некоторые из них также удовлетворяют обеим квотам. Например, метод квот Балинского и Янга удовлетворяет монотонности дома и верхней квоте по построению, и можно доказать, что он также удовлетворяет нижней квоте. Его можно обобщить: существует общий алгоритм, который дает все методы распределения, которые являются монотонными и удовлетворяют обеим квотам. Однако все эти основанные на квотах методы (Quota-Jefferson, Quota-Hill и т. Д.) Могут нарушать попарно-PM: есть примеры, в которых один агент увеличивает численность населения, но теряет места. ${\ displaystyle h}$

Однородность (также называемая согласованностью ) означает, что если мы возьмем некоторое подмножество агентов и применим один и тот же метод к их объединенному распределению , то результатом будет вектор . Все методы ранжирования и индексации (следовательно, все методы делителей) единообразны, поскольку они назначают места агентам заранее определенным методом, определяемым , и этот порядок не зависит от присутствия или отсутствия других агентов. Более того, каждый унифицированный метод, который также является анонимным и сбалансированным, должен быть методом ранжирования-индекса. ${\ displaystyle 1, \ ldots, k}$${\ displaystyle h_ {k} = a_ {1} + \ cdots + a_ {k}}$${\ Displaystyle (а_ {1}, \ ldots, а_ {к})}$${\ Displaystyle г (т, а)}$

Каждый унифицированный метод, который также является анонимным , слабо точным и согласованным (= подразумевает ), должен быть методом делителей. Причем среди всех анонимных методов: ${\ displaystyle t_ {i}> t_ {j}}$${\ displaystyle a_ {i} \ geq a_ {j}}$

• Метод Джефферсона - единственный унифицированный метод, удовлетворяющий более низкой квоте;
• Метод Адамса - единственный унифицированный метод, удовлетворяющий верхней квоте;
• Метод Вебстера - единственный унифицированный метод, близкий к квоте;
• Ни один единый метод не удовлетворяет обеим квотам. В частности, метод Гамильтона и метод квот не единообразны. Однако метод квот - это уникальный метод, который удовлетворяет обеим квотам в дополнение к монотонности дома и «согласованности квот», что является более слабой формой единообразия.

Поощрение коалиций

Когда агенты являются политическими партиями, они часто разделяются или объединяются, и интересно проверить, как такое разделение / объединение влияет на распределение. Предположим, что определенный метод распределения дает двум агентам некоторые места соответственно, а затем эти два агента образуют коалицию, и метод повторно активируется. ${\ displaystyle i, j}$${\ displaystyle a_ {i}, a_ {j}}$

• Метод пропорционального распределения поощряет коалиции, если коалиция получает хотя бы места (другими словами, он устойчив к расколу - партия не может получить место путем раскола).${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j}}$
• Метод пропорционального распределения способствует расколу, если коалиция получает максимум мест (другими словами, он защищен от слияния - две партии не могут получить место путем слияния).${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j}}$

Среди методов делителя:

• Метод Джефферсона - это уникальный метод делителей, поощряющий коалиции;
• Метод Адамса - это уникальный метод делителей, поощряющий расколы.
• Метод Вебстера не является ни стойким к разделению, ни слиянию, но он «нейтрален коалицией»: когда голоса распределяются случайным образом, коалиция с одинаковой вероятностью получит место, чем потеряет его.

Поскольку это разные методы, ни один метод делителей не дает каждой коалиции ровно мест. Более того, эту уникальность можно распространить на гораздо более широкий класс методов ранжирования и индексации . ${\ displaystyle i, j}$ ${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j}}$

Более слабое свойство, называемое «коалиционной стабильностью», заключается в том, что каждая коалиция должна получать места между и ; таким образом, группа может получить не более одного места путем слияния / разделения. ${\ displaystyle i, j}$${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j} -1}$${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j} +1}$

• Метод Гамильтона коалиционно устойчив.
• Дивизорный метод с дивизором коалиционно устойчив тогда и только тогда, когда ; это верно для всех пяти стандартных методов делителей.${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d (a_ {1} + a_ {2}) \ leq d (a_ {1}) + d (a_ {2}) \ leq d (a_ {1} + a_ {2} +1)}$

Более того, каждый метод, удовлетворяющий обеим квотам, является «почти коалиционно стабильным» - он дает каждой коалиции между и мест. ${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j} -2}$${\ displaystyle a_ {i} + a_ {j} +2}$

Таблица результатов

Метод	Меньшая квота	Верхняя квота	Почти квота	Монотонность дома	Единообразие	Попарно численность населения Монотонность	Обнадеживающий коалиции	Обнадеживающий расколы	Коалиция нейтралитет
Положительные результаты:
Методы делителя	[Только Джефферсон]	[Только Адамс]	[Только Вебстер]	да	да	да	[Только Джефферсон]	[Только Адамс]	[Только Вебстер]
Ранг-индексные методы	[Только Джефферсон]	[Только Адамс]	[Только Вебстер]	да	да	[Только методы делителя]	[Только Джефферсон?]	[Только Адамс?]	[Только Вебстер?]
Гамильтон	да	да	да	Нет	Нет	Нет	?	?	?
Квотные методы делителей	да	да	да	да	Нет	Нет	?	?	?
Результат невозможности:
-	да	да				да
-						да	да	да
-	да	да		да	да
-				да	да		да	да

Смотрите также

• Пропорциональное отображение
• Пропорциональное представление с несколькими атрибутами.
• Распределение при наличии ошибок при подсчете населения.
• Пропорциональная резка торта с разными правами
• Справедливое распределение предметов

использованная литература