Магнитогидродинамическая турбулентность - Magnetohydrodynamic turbulence

Магнитогидродинамическая турбулентность касается хаотических режимов течения магнитожидкости при высоких числах Рейнольдса . Магнитогидродинамика (МГД) изучает квазинейтральную жидкость с очень высокой проводимостью . Флюидное приближение подразумевает, что основное внимание уделяется масштабам макросов длины и времени, которые намного больше, чем длина столкновения и время столкновения соответственно.

Уравнения несжимаемой МГД

Уравнения несжимаемой МГД:

{\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} & = - \ nabla p + \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} + \ nu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} \\ [5pt] {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} & = \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + \ eta \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} \\ [5pt] \ набла \ cdot \ mathbf {u} & = 0 \\ [5pt] \ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0. \ end {выровнено}}}

где U , В , р представляет скорость, магнитные и общее давление (тепловое + магнитное поле), и представляет собой кинематическую вязкость и магнитную диффузию . Третье уравнение - это условие несжимаемости . В приведенном выше уравнении магнитное поле выражается в единицах Альфвена (то же, что и единицы скорости). ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ eta}$

Общее магнитное поле можно разделить на две части: (среднее + флуктуации). ${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {B_ {0}} + \ mathbf {b}}$

Приведенные выше уравнения в переменных Эльзессера ( ) имеют вид ${\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {\ pm} = \ mathbf {u} \ pm \ mathbf {b}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {z} ^ {\ pm}}} {\ partial t}} \ mp \ left (\ mathbf {B} _ {0} \ cdot {\ mathbf {\ nabla }} \ right) {\ mathbf {z} ^ {\ pm}} + \ left ({\ mathbf {z} ^ {\ mp}} \ cdot {\ mathbf {\ nabla}} \ right) {\ mathbf { z} ^ {\ pm}} = - {\ mathbf {\ nabla}} p + \ nu _ {+} \ nabla ^ {2} \ mathbf {z} ^ {\ pm} + \ nu _ {-} \ nabla ^ {2} \ mathbf {z} ^ {\ mp}}

где . Между альвеновскими флуктуациями происходят нелинейные взаимодействия . ${\ displaystyle \ nu _ {\ pm} = {\ frac {1} {2}} (\ nu \ pm \ eta)}$ ${\ displaystyle z ^ {\ mp}}$

Важными безразмерными параметрами для МГД являются

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ text {число Рейнольдса}} Re & = & UL / \ nu \\ {\ text {Магнитное число Рейнольдса}} Re_ {M} & = & UL / \ eta \\ { \ text {Магнитное число Прандтля}} P_ {M} & = & \ nu / \ eta. \ end {array}}}

Магнитное число Прандтля является важным свойством жидкости. Жидкие металлы имеют малые магнитные числа Прандтля, например, жидкий натрий примерно . Но плазма у нас большая . ${\ displaystyle P_ {M}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 5}}$ ${\ displaystyle P_ {M}}$

Число Рейнольдса - это отношение нелинейного члена уравнения Навье – Стокса к вязкому члену. В то время как магнитное число Рейнольдса - это отношение нелинейного члена и диффузионного члена уравнения индукции. ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u}}$

Во многих практических ситуациях число Рейнольдса потока довольно велико. Для таких потоков обычно скорость и магнитные поля случайны. Такие течения призваны проявлять МГД-турбулентность. Обратите внимание, что это не обязательно должно быть большим для МГД-турбулентности. играет важную роль в проблеме динамо (генерации магнитного поля). ${\ displaystyle Re}$ ${\ displaystyle Re_ {M}}$ ${\ displaystyle Re_ {M}}$

Среднее магнитное поле играет важную роль в МГД-турбулентности, например, оно может сделать турбулентность анизотропной; подавляют турбулентность за счет уменьшения каскада энергии и т. д. Ранние модели МГД турбулентности предполагали изотропность турбулентности, в то время как более поздние модели изучали анизотропные аспекты. В следующих обсуждениях мы резюмируем эти модели. Дополнительные обсуждения МГД-турбулентности можно найти в Бискамп, Верма. и Гальтье.

Изотропные модели

Ирошников и Крайчнан сформулировали первую феноменологическую теорию МГД-турбулентности. Они утверждали , что в присутствии сильного среднего магнитного поля и волновые пакеты путешествовать в противоположных направлениях с фазовой скоростью , и взаимодействует слабо. Соответствующая шкала времени - время Альвена . В результате энергетический спектр ${\ displaystyle z ^ {+}}$ ${\ displaystyle z ^ {-}}$ ${\ displaystyle B_ {0}}$ ${\ displaystyle (B_ {0} k) ^ {- 1}}$

{\ Displaystyle E ^ {u} (k) \ приблизительно E ^ {b} (k) \ приблизительно A (\ Pi V_ {A}) ^ {1/2} k ^ {- 3/2}.}

где - скорость каскада энергии. ${\ displaystyle \ Pi}$

Позже Добровольный и др. получили следующие обобщенные формулы для каскадных скоростей переменных: ${\ displaystyle z ^ {\ pm}}$

{\ Displaystyle \ Pi ^ {+} \ приблизительно \ Pi ^ {-} \ приблизительно \ tau _ {k} ^ {\ pm} E ^ {+} (k) E ^ {-} (k) k ^ {4 } \ приблизительно E ^ {+} (k) E ^ {-} (k) k ^ {3} / B_ {0}}

где - масштабы времени взаимодействия переменных. ${\ displaystyle \ tau ^ {\ pm}}$ ${\ displaystyle z ^ {\ pm}}$

Феноменология Ирошникова и Крайчнана следует, если мы сделаем выбор . ${\ displaystyle \ tau ^ {\ pm} \ приблизительно 1 / (kV_ {A})}$

Марш выбрал нелинейную шкалу времени в качестве шкалы времени взаимодействия для вихрей и получил энергетический спектр типа Колмогорова для переменных Эльзассера: ${\ displaystyle T_ {NL} ^ {\ pm} \ приблизительно (kz_ {k} ^ {\ mp}) ^ {- 1}}$

{\ Displaystyle E ^ {\ pm} (к) = K ^ {\ pm} (\ Pi ^ {\ pm}) ^ {4/3} (\ Pi ^ {\ mp}) ^ {- 2/3} k ^ {- 5/3}}

где и - скорости энергетических каскадов и соответственно, и - постоянные. ${\ displaystyle \ Pi ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ Pi ^ {-}}$ ${\ displaystyle z ^ {+}}$ ${\ displaystyle z ^ {-}}$ ${\ displaystyle K ^ {\ pm}}$

Маттеус и Чжоу попытались объединить две вышеупомянутые шкалы времени, постулировав время взаимодействия как гармоническое среднее время Альвена и нелинейное время.

Основное различие между двумя конкурирующими феноменологиями (−3/2 и −5/3) - это выбранные временные шкалы для времени взаимодействия. Основное предположение состоит в том, что феноменология Ирошникова и Крайчнана должна работать для сильного среднего магнитного поля, тогда как феноменология Марша должна работать, когда флуктуации доминируют в среднем магнитном поле (сильная турбулентность).

Однако, как мы обсудим ниже, наблюдения солнечного ветра и численное моделирование склонны отдавать предпочтение энергетическому спектру −5/3, даже когда среднее магнитное поле сильнее по сравнению с флуктуациями. Эта проблема была решена Верма с помощью анализа ренормгруппы , показав, что на альвеновские флуктуации влияет масштабно-зависимое «среднее локальное магнитное поле». Локальное среднее магнитное поле масштабируется как , подстановка которого в уравнение Добровольного дает энергетический спектр Колмогорова для МГД-турбулентности. ${\ displaystyle k ^ {- 1/3}}$

Анализ ренормализационной группы был также выполнен для вычисления ренормированной вязкости и удельного сопротивления. Было показано, что масштаб этих диффузионных величин снова дает энергетические спектры, согласующиеся с моделью Колмогорова для МГД-турбулентности. Вышеупомянутый расчет ренормгруппы был выполнен как для нулевой, так и для ненулевой поперечной спиральности. ${\ displaystyle k ^ {- 4/3}}$ ${\ displaystyle k ^ {- 5/3}}$

Вышеупомянутые феноменологии предполагают изотропную турбулентность, чего не происходит при наличии среднего магнитного поля. Среднее магнитное поле обычно подавляет энергетический каскад в направлении среднего магнитного поля.

Анизотропные модели

Среднее магнитное поле делает турбулентность анизотропной. Этот аспект изучается в последние два десятилетия. В пределе Galtier et al. показал с помощью кинетических уравнений, что ${\ displaystyle \ delta z ^ {\ pm} \ ll B_ {0}}$

{\ displaystyle E (k) \ sim (\ Pi B_ {0}) ^ {1/2} k _ {\ parallel} ^ {1/2} k _ {\ perp} ^ {- 2}}

где и - компоненты волнового числа, параллельные и перпендикулярные среднему магнитному полю. Вышеуказанный предел называется пределом слабой турбулентности . ${\ displaystyle k _ {\ parallel}}$ ${\ Displaystyle к _ {\ перп}}$

В пределе сильной турбулентности , Голдерих и Шридхар утверждают, что («критическое сбалансированное состояние»), которое подразумевает, что ${\ displaystyle \ delta z ^ {\ pm} \ sim B_ {0}}$ ${\ displaystyle k _ {\ perp} z_ {k _ {\ perp}} \ sim k _ {\ parallel} B_ {0}}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} E (k) & \ propto k _ {\ perp} ^ {- 5/3}; \\ [5pt] k _ {\ parallel} & \ propto k _ {\ perp} ^ {2 / 3} \ end {выровнено}}}

Вышеупомянутая феноменология анизотропной турбулентности была расширена для МГД с большой поперечной спиральностью.

Наблюдения за солнечным ветром

Плазма солнечного ветра находится в турбулентном состоянии. Исследователи рассчитали энергетические спектры плазмы солнечного ветра по данным, собранным с космического корабля. Спектры кинетической и магнитной энергии, а также более близкие по сравнению с , таким образом, способствуют феноменологии колмогоровского типа для МГД-турбулентности. Межпланетные и межзвездные флуктуации электронной плотности также предоставляют окно для исследования МГД-турбулентности. ${\ displaystyle E ^ {\ pm}}$ ${\ displaystyle k ^ {- 5/3}}$ ${\ displaystyle k ^ {- 3/2}}$

Численное моделирование

Рассмотренные выше теоретические модели проверены с помощью прямого численного моделирования (DNS) с высоким разрешением. Согласно данным недавнего моделирования, спектральные индексы были ближе к 5/3. Есть и другие, которые сообщают спектральные индексы около 3/2. Режим степенного закона обычно составляет менее десяти лет. Поскольку 5/3 и 3/2 довольно близки численно, довольно сложно убедиться в справедливости МГД-моделей турбулентности по энергетическим спектрам.

Потоки энергии могут быть более надежными величинами для проверки моделей МГД турбулентности. Когда (жидкость с высокой поперечной спиральностью или несбалансированная МГД) предсказания потока энергии модели Крайчнана и Ирошникова сильно отличаются от предсказаний модели Колмогорова. С помощью DNS было показано, что потоки, вычисленные с помощью численного моделирования, лучше согласуются с моделью типа Колмогорова по сравнению с моделью Крайчнана и Ирошникова. ${\ displaystyle \ Pi ^ {\ pm}}$ ${\ Displaystyle E ^ {+} (к) \ gg E ^ {-} (к)}$ ${\ displaystyle \ Pi ^ {\ pm}}$

Анизотропные аспекты МГД-турбулентности также изучались с помощью численного моделирования. Предсказания Голдрайха и Шридхара ( ) были проверены во многих симуляциях. ${\ Displaystyle к_ {||} \ сим к _ {\ перп} ^ {2/3}}$

Передача энергии

Передача энергии между различными масштабами между скоростью и магнитным полем является важной проблемой в МГД-турбулентности. Эти величины были рассчитаны как теоретически, так и численно. Эти расчеты показывают значительный перенос энергии от крупномасштабного поля скоростей к крупномасштабному магнитному полю. Кроме того, каскад магнитной энергии обычно идет вперед. Эти результаты имеют решающее значение для проблемы динамо-машины.

В этой области есть много открытых проблем, которые, надеюсь, будут решены в ближайшем будущем с помощью численного моделирования, теоретического моделирования, экспериментов и наблюдений (например, солнечный ветер).

Languages

In other projects