Логарифмически вогнутая функция - Logarithmically concave function

В выпуклом анализе , A неотрицательной функция F  : R ^п → R ₊ является логарифмический вогнутым (или срубами вогнутого для краткости) , если его домен является выпуклым множеством , и если она удовлетворяет неравенство

${\ Displaystyle е (\ тета х + (1- \ тета) у) \ GEQ е (х) ^ {\ тета} е (у) ^ {1- \ тета}}$

для всех x , y ∈ dom f и 0 <  θ  <1 . Если F строго положителен, то это равносильно тому, что логарифм функции, войти ∘ п , является вогнутым ; это,

${\ Displaystyle \ журнал е (\ тета х + (1- \ тета) у) \ GEQ \ тета \ журнал е (х) + (1- \ тета) \ журнал е (у)}$

для всех x , y ∈ dom f и 0 <  θ  <1 .

Примерами логарифмически вогнутых функций являются индикаторные функции 0-1 выпуклых множеств (что требует более гибкого определения) и функция Гаусса .

Аналогично функция лог-выпуклая, если она удовлетворяет обратному неравенству

${\ Displaystyle е (\ тета х + (1- \ тета) у) \ Leq е (х) ^ {\ тета} е (у) ^ {1- \ тета}}$

для всех x , y ∈ dom f и 0 <  θ  <1 .

Характеристики

• Логарифмическая вогнутая функция также является квазивогнутой . Это следует из того факта, что логарифм монотонен, что означает выпуклость множеств суперуровня этой функции.
• Каждая вогнутая функция, неотрицательная в своем домене, логарифмически вогнута. Однако обратное не обязательно. Примером является функция Гаусса F ( х )  =  ехр (-x ² /2) , который является лог-вогнутой , так как лог ф ( х )  =  - х ² /2 является вогнутой функцией х . Но f не вогнутое, поскольку вторая производная положительна при | х | > 1:

${\ displaystyle f '' (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} (x ^ {2} -1) \ nleq 0}$

• Сверху две точки, вогнутость, лог-вогнутость, квазивогнутость .${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle \ Rightarrow}$
• Дважды дифференцируемая неотрицательная функция с выпуклой областью является лог-вогнутой тогда и только тогда, когда для всех x, удовлетворяющих f ( x )> 0 ,

${\ Displaystyle е (х) \ набла ^ {2} е (х) \ prevq \ набла е (х) \ набла е (х) ^ {T}}$,

т.е.

${\ displaystyle f (x) \ nabla ^ {2} f (x) - \ nabla f (x) \ nabla f (x) ^ {T}}$ является

отрицательный полуопределенный . Для функций одной переменной это условие упрощается до

${\ Displaystyle е (х) е '' (х) \ leq (е '(х)) ^ {2}}$

Операции, сохраняющие логарифмическую вогнутость

• Продукты: Продукт функций бревенчатой ​​вогнутости также является бревенчато-вогнутой. В самом деле, если f и g - логарифмически вогнутые функции, то log  f и log  g вогнуты по определению. Следовательно

${\ Displaystyle \ журнал \, е (х) + \ журнал \, г (х) = \ журнал (е (х) г (х))}$

вогнутая, а значит, и f  g лог-вогнутая.

• Поля : если f ( x , y )  :  R ^{n + m}  →  R логарифмически вогнутая, то

${\ displaystyle g (x) = \ int f (x, y) dy}$

лог-вогнутая (см. неравенство Прекопы – Лейндлера ).

• Это означает, что свертка сохраняет логарифмическую вогнутость, поскольку h ( x , y )  =  f ( x - y )  g ( y ) логарифмически вогнута, если f и g логарифмически вогнуты, и, следовательно,

${\ Displaystyle (е * г) (х) = \ int f (xy) g (y) dy = \ int h (x, y) dy}$

бревенчато-вогнутый.

Лог-вогнутые распределения

Логарифмически вогнутые распределения необходимы для ряда алгоритмов, например для выборки с адаптивным отклонением . Каждое распределение с логарифмически вогнутой плотностью является максимальной энтропии распределения вероятностей с указанным средним ц и отклонение риска меры D . Как оказалось, многие распространенные распределения вероятностей логарифмически вогнуты. Несколько примеров:

• Нормальное распределение и многомерные нормальные распределения .
• Экспоненциальное распределение .
• Равномерное распределение по любому выпуклого множества .
• Логистическое распределение .
• Распределение экстремальных значений .
• Распределение Лапласа .
• Распределение ци .
• Гиперболической секущая распределения .
• Распределение Уишарта , где n > = p + 1.
• Распределение Дирихле , где все параметры> = 1.
• Гамма - распределение , если параметр формы> = 1.
• Распределение хи-квадрат, если число степеней свободы> = 2.
• Бета - распределение , если оба параметра формы является> = 1.
• Распределение Вейбулла, если параметр формы> = 1.

Обратите внимание, что все ограничения параметров имеют один и тот же основной источник: показатель неотрицательной величины должен быть неотрицательным, чтобы функция была логарифмически вогнутой.

Следующие распределения не являются логарифмически вогнутыми по всем параметрам:

• Распределение Стьюдента .
• Распределение Коши .
• Распределение Парето .
• Логарифмически нормальное распределение .
• F-распределение .

Обратите внимание, что кумулятивная функция распределения (CDF) всех логарифмически вогнутых распределений также логарифмически вогнута. Однако некоторые дистрибутивы без логарифмической вогнутости также имеют логарифмически вогнутые CDF:

• Логарифмически нормальное распределение .
• Распределение Парето .
• Распределение Вейбулла при параметре формы <1.
• Гамма - распределение , когда параметр формы <1.

Ниже перечислены свойства логарифмически вогнутых распределений:

• Если плотность логарифмически вогнутая, то ее кумулятивная функция распределения (CDF) - тоже.
• Если многомерная плотность является логарифмически вогнутой, то же самое можно сказать и о предельной плотности по любому подмножеству переменных.
• Сумма двух независимых логарифмически вогнутых случайных величин является логарифмически вогнутой. Это следует из того факта, что свертка двух логарифмически вогнутых функций логарифмически вогнута.
• Результат двух функций бревенчатой ​​вогнутости является логарифмической вогнутостью. Это означает, что совместные плотности, сформированные путем умножения двух плотностей вероятностей (например, нормального гамма-распределения , которое всегда имеет параметр формы> = 1), будут логарифмически вогнутыми. Это свойство широко используется в программах выборки Гиббса общего назначения , таких как BUGS и JAGS , которые, таким образом, могут использовать выборку с адаптивным отбраковкой для широкого спектра условных распределений, полученных из продукта других распределений.
• Если плотность логарифмически вогнутая, значит и ее функция выживания .
• Если плотность логарифмически вогнутая, она имеет монотонную степень опасности (MHR) и является регулярным распределением, поскольку производная логарифма функции выживаемости является отрицательной степенью опасности, а по вогнутости является монотонной, т. Е.

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log \ left (1-F (x) \ right) = - {\ frac {f (x)} {1-F (x)}}}$ которая убывает, поскольку является производной вогнутой функции.

Смотрите также

• логарифмически вогнутая последовательность
• логарифмически вогнутая мера
• логарифмически выпуклая функция
• выпуклая функция

Заметки

Рекомендации

• Барндорф-Нильсен, Оле (1978). Информационные и экспоненциальные семейства в статистической теории . Ряд Уайли по вероятности и математической статистике. Чичестер: John Wiley \ & Sons, Ltd., стр. Ix + 238 стр. ISBN 0-471-99545-2. Руководство по ремонту  0489333 .
• Дхармадхикари, Судхакар; Джоаг-Дев, Кумар (1988). Унимодальность, выпуклость и приложения . Вероятность и математическая статистика. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., стр. Xiv + 278. ISBN 0-12-214690-5. Руководство по ремонту  0954608 .

• Пфанцагль, Иоганн; при содействии Р. Хамбёкера (1994). Параметрическая статистическая теория . Вальтер де Грюйтер. ISBN 3-11-013863-8. Руководство по ремонту  1291393 .

• Печарич, Йосип Э .; Прошан, Франк; Тонг, Ю.Л. (1992). Выпуклые функции, частичные упорядочения и статистические приложения . Математика в науке и технике. 187 . Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., стр. Xiv + 467 стр. ISBN 0-12-549250-2. Руководство по ремонту  1162312 .