Универсальная проблема покрытия Лебега - Lebesgue's universal covering problem

Равносторонний треугольник диаметром 1 не помещается внутри круга диаметром 1.

Проблема универсального покрытия Лебега - нерешенная проблема в геометрии, которая требует выпуклой формы наименьшей площади, которая может покрыть любое плоское множество диаметра один. Диаметр множества по определению есть верхняя грань расстояний между всеми парами точек в наборе. Фигура покрывает набор, если она содержит конгруэнтное подмножество. Другими словами, набор может вращаться, перемещаться или отражаться, чтобы соответствовать форме.

Проблема была поставлена Анри Лебегом в письме Дьюле Палу в 1914 году. Оно было опубликовано в статье Пала в 1920 году вместе с анализом Пала. Он показал, что покрытие для всех кривых постоянной ширины один также является покрытием для всех наборов диаметра один и что покрытие можно построить, взяв правильный шестиугольник с вписанной окружностью диаметра один и удалив два угла шестиугольника, чтобы получить покрытие площади . ${\ displaystyle 2 - {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ приблизительно 0,84529946}$

Форма, обведенная черным, - это решение Пала универсальной проблемы покрытия Лебега. В него включены плоские формы с диаметром один: круг (синий), треугольник Рило (красный) и квадрат (зеленый).

Известные границы

В 1936 году Роланд Спраг показал, что часть покрытия Пала может быть удалена около одного из других углов, сохраняя при этом свое свойство укрытия. Это уменьшило верхнюю границу площади до . В 1992 году Хансен показал, что можно удалить еще две очень маленькие области раствора Спрага, снизив верхнюю границу до . Конструкция Хансена была первой, в которой использовалась свобода использования отражений. В 2015 году Джон Баэз , Карине Багдасарян и Филип Гиббс показали, что если углы, снятые в укрытии Пала, будут обрезаны под другим углом, то можно дополнительно уменьшить площадь, дав верхнюю границу . В октябре 2018 года Филип Гиббс опубликовал статью об arXiv с использованием школьной геометрии и требовал дальнейшего сокращения до 0,8440935944. ${\ displaystyle a \ leq 0.844137708436}$${\ displaystyle a \ leq 0.844137708398}$${\ displaystyle a \ leq 0.8441153}$

Наиболее известная нижняя граница площади была получена Питером Брассом и Мербодом Шарифи с использованием комбинации трех форм для обеспечения оптимального выравнивания . ${\ displaystyle a \ geq 0.832}$

Смотрите также

• Проблема червя Мозера , какова минимальная площадь формы, которая может покрыть каждую кривую единичной длины?
• Проблема с перемещением дивана , проблема поиска формы максимальной площади, которую можно повернуть и перенести через L-образный коридор.
• Набор Kakeya , набор минимальной площади, который может вместить каждый линейный сегмент единичной длины (с разрешенными перемещениями, но не с поворотами)
• Теорема Бляшке о выборе , с помощью которой можно доказать, что проблема универсального покрытия Лебега имеет решение.

использованная литература