Волновая функция Лафлина - Laughlin wavefunction

В физике конденсированных сред , то волновая функция Логлин является Анзац , предложенная Робертом Laughlin для основного состояния в виде двумерного электронного газа , помещенного в однородном фоне магнитного поля в присутствии равномерного желе фона , когда коэффициент заполнения (квантовый эффект Холла ) из нижнего уровня Ландау является , где нечетное положительное целое число. Он был построен для объяснения наблюдения дробного квантового эффекта Холла и предсказал существование дополнительных состояний, а также квазичастичных возбуждений с дробным электрическим зарядом , оба из которых позже были экспериментально обнаружены. За это открытие Лафлин получил треть Нобелевской премии по физике в 1998 году. Будучи пробной волновой функцией, она не является точной, но качественно воспроизводит многие особенности точного решения и количественно имеет очень высокие перекрытия с точным основным состоянием для небольших систем. ${\ displaystyle \ nu = 1 / n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ nu = 1/3}$ ${\ displaystyle \ nu = 1 / n}$ ${\ displaystyle e / n}$

Если мы проигнорируем желе и взаимное кулоновское отталкивание электронов в качестве приближения нулевого порядка, мы получим бесконечно вырожденный нижний уровень Ландау (LLL) и с коэффициентом заполнения 1 / n, мы ожидаем, что все электроны будут лежать в LLL. Включив взаимодействия, мы можем сделать приближение, что все электроны лежат в НУЛ. Если - одночастичная волновая функция состояния LLL с наименьшими орбитальными угловыми моментами , то анзац Лафлина для многочастичной волновой функции имеет вид ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$

{\ displaystyle \ langle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, \ ldots, z_ {N} \ mid n, N \ rangle = \ psi _ {n, N} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, \ ldots, z_ {N}) = D \ left [\ prod _ {N \ geqslant i> j \ geqslant 1} \ left (z_ {i} -z_ {j} \ right ) ^ {n} \ right] \ prod _ {k = 1} ^ {N} \ exp \ left (- \ mid z_ {k} \ mid ^ {2} \ right)}

где позиция обозначается

{\ Displaystyle Z = {1 \ более 2 {\ mathit {l}} _ {B}} \ left (x + iy \ right)}

in ( гауссовские единицы )

{\ displaystyle {\ mathit {l}} _ {B} = {\ sqrt {\ hbar c \ over eB}}}

и и координаты в плоскости ху. Здесь - приведенная постоянная Планка , - заряд электрона , - общее количество частиц, - магнитное поле , перпендикулярное плоскости xy. Индексы на z идентифицируют частицу. Чтобы волновая функция описывала фермионы , n должно быть нечетным целым числом. Это заставляет волновую функцию быть антисимметричной по отношению к обмену частицами. Угловой момент для этого состояния равен . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle n \ hbar}$

Энергия взаимодействия двух частиц

Рисунок 1. Энергия взаимодействия в зависимости от и . Энергия выражается в единицах . Обратите внимание, что минимумы имеют место для и . Как правило, минимумы происходят при .

{\ displaystyle {\ mathit {l}}}

{\ displaystyle n = 7}

{\ displaystyle k_ {B} r_ {B} = 20}

{\ Displaystyle {е ^ {2} \ над L_ {B}}}

{\ displaystyle {\ mathit {l}} = 3}

{\ displaystyle {\ mathit {l}} = 4}

{\ displaystyle {{\ mathit {l}} \ over n} = {1 \ over 2} \ pm {1 \ over 2n}}

Волновая функция Лафлина - это многочастичная волновая функция квазичастиц . Среднее значение энергии взаимодействия для пары квазичастиц

{\ displaystyle \ langle V \ rangle = \ langle n, N \ mid V \ mid n, N \ rangle, \; \; \; N = 2}

где экранированный потенциал равен (см. кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле )

{\ displaystyle V \ left (r_ {12} \ right) = \ left ({2e ^ {2} \ over L_ {B}} \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {{k \; dk \;} \ над k ^ {2} + k_ {B} ^ {2} r_ {B} ^ {2}} \; M \ left ({\ mathit {l}} + 1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; M \ left ({\ mathit {l}} ^ {\ prime} +1,1, - {k ^ {2} \ over 4} \ right) \; {\ mathcal {J}} _ {0} \ left (k {r_ {12} \ over r_ {B}} \ right)}

где это вырожденная гипергеометрическая функция и является функцией Бесселя первого рода. Здесь - расстояние между центрами двух токовых петель, - величина заряда электрона , - квантовая версия ларморовского радиуса , - толщина электронного газа в направлении магнитного поля. В угловых импульсах два отдельных контуров тока являются и где . Длина обратной экранирования определяется выражением ( гауссовы единицы ) ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {0}}$ ${\ displaystyle r_ {12}}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle r_ {B} = {\ sqrt {2}} {\ mathit {l}} _ {B}}$ ${\ displaystyle L_ {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {l}} \ hbar}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {l}} ^ {\ prime} \ hbar}$ ${\ Displaystyle {\ mathit {l}} + {\ mathit {l}} ^ {\ prime} = п}$