Преобразование Лапласа применяется к дифференциальным уравнениям - Laplace transform applied to differential equations

В математике , то преобразование Лапласа является мощным интегральное преобразование используется для переключения функции из временной области в с-области . В некоторых случаях преобразование Лапласа может использоваться для решения линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями .

Сначала рассмотрим следующее свойство преобразования Лапласа:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f '\} = s {\ mathcal {L}} \ {f \} - f (0)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f '' \} = s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f \} - sf (0) -f '(0)}$

По индукции можно доказать, что

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f ^ {(n)} \} = s ^ {n} {\ mathcal {L}} \ {f \} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} s ^ {ni} f ^ {(i-1)} (0)}$

Теперь рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {п} а_ {я} е ^ {(я)} (т) = \ фи (т)}$

с заданными начальными условиями

${\ Displaystyle е ^ {(я)} (0) = с_ {я}}$

Использование линейности преобразования Лапласа эквивалентно переписыванию уравнения в виде

${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n} a_ {i} {\ mathcal {L}} \ {f ^ {(i)} (t) \} = {\ mathcal {L}} \ { \ phi (t) \}}$

получение

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ {i} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} f ^ {(j-1)} (0) = {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}}$

Решая уравнение для и заменяя его на единицу, получаем ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {е (т) \}}$${\ Displaystyle е ^ {(я)} (0)}$${\ displaystyle c_ {i}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} + \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} c_ {j-1}} {\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ { я}}}}$

Решение для f ( t ) получается применением обратного преобразования Лапласа к ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \}.}$

Обратите внимание, что если все начальные условия равны нулю, т.е.

${\ displaystyle f ^ {(i)} (0) = c_ {i} = 0 \ quad \ forall i \ in \ {0,1,2, ... \ n \}}$

тогда формула упрощается до

${\ Displaystyle е (т) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{{\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} \ over \ sum _ {я = 0 } ^ {n} a_ {i} s ^ {i}} \ right \}}$

Пример

Мы хотим решить

${\ Displaystyle f '' (t) + 4f (t) = \ sin (2t)}$

с начальными условиями f (0) = 0 и f ′ (0) = 0.

Отметим, что

${\ displaystyle \ phi (t) = \ sin (2t)}$

и мы получаем

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} = {\ гидроразрыва {2} {s ^ {2} +4}}}$

Тогда уравнение эквивалентно

${\ Displaystyle s ^ {2} {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} - sf (0) -f '(0) +4 {\ mathcal {L}} \ {f (t) \ } = {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}}$

Мы выводим

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {е (т) \} = {\ гидроразрыва {2} {(s ^ {2} +4) ^ {2}}}}$

Теперь применим обратное преобразование Лапласа, чтобы получить

${\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {8}} \ sin (2t) - {\ frac {t} {4}} \ cos (2t)}$

Библиография

• А.Д. Полянин, Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN   1-58488-299-9