L-полувнутренний продукт - L-semi-inner product

В математике есть два разных понятия полу-внутреннего продукта . Первый и более распространенный - это внутренний продукт, который не обязательно должен быть строго положительным. Эта статья будет иметь дело со вторым продуктом , называемым L-полу-внутренним продуктом или полу-внутренним продуктом в смысле Люмера , который является внутренним продуктом, который не обязательно должен быть сопряженно-симметричным. Он был сформулирован Гюнтером Люмером с целью распространения аргументов типа гильбертова пространства на банаховы пространства в функциональном анализе . Основные свойства позже были исследованы Джайлзом.

Определение

Мы еще раз упоминаем, что представленное здесь определение отличается от определения «полу-внутреннего продукта» в стандартных учебниках по функциональному анализу, где «полу-внутренний продукт» удовлетворяет всем свойствам внутренних продуктов (включая сопряженную симметрию), за исключением того, что он является не обязательно быть строго положительным.

Пол-внутренний продукт , L-пол-скалярное произведение , или пол-скалярное произведение в смысле Лумера для линейного векторного пространства V над полем комплексных чисел является функция от к , обычно обозначается , таким образом, что ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle V \ раз V}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$

1. ${\ Displaystyle [е + g, час] = [е, час] + [g, h] \ quad \ forall f, g, h \ in V}$,
2. ${\ displaystyle [\ alpha f, g] = \ alpha [f, g] \ quad \ forall \ alpha \ in \ mathbb {C}, \ \ forall f, g \ in V,}$
3. ${\ Displaystyle [е, \ альфа g] = {\ overline {\ alpha}} [е, g] \ quad \ forall \ alpha \ in \ mathbb {C}, \ \ forall f, g \ in V,}$
4. ${\ Displaystyle [е, е] \ geq 0,}$
5. ${\ displaystyle \ left | [е, g] \ справа | \ leq [f, f] ^ {1/2} [g, g] ^ {1/2} \ quad \ forall f, g \ in V.}$

Отличие от внутренних продуктов

Полускалярный продукт отличается от внутренних продуктов тем, что он, как правило, не является сопряженно-симметричным, т. Е.

${\ Displaystyle [е, г] \ neq {\ overline {[г, е]}}}$

в целом. Это эквивалентно тому, что

${\ Displaystyle [е, g + h] \ neq [f, g] + [f, h]. \,}$

Другими словами, полу-внутренние продукты обычно нелинейны относительно своей второй переменной.

Полубакальные продукты для банаховых пространств

• Если - полускалярный продукт для линейного векторного пространства, то${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$ ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ | е \ |: = [е, е] ^ {1/2}, \ четырехъядерный е \ в V}$

определяет норму на . ${\ displaystyle V}$

• И наоборот, если является нормированным векторным пространством с нормой, то всегда существует (не обязательно уникальное) полускалярное произведение на , которое согласовано с нормой в том смысле, что${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ | е \ | = [е, е] ^ {1/2}, \ \ \ forall f \ in V.}$

Примеры

• Евклидово пространство с нормой ( )${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq p <+ \ infty}$

${\ displaystyle \ | x \ | _ {p}: = {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} | x_ {j} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / п}}$

имеет последовательный полу-внутренний продукт:

${\ displaystyle [x, y]: = {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j} {\ overline {y_ {j}}} | y_ {j} | ^ {p- 2}} {\ | y \ | _ {p} ^ {p-2}}}, \ quad x, y \ in \ mathbb {C} ^ {n} \ setminus \ {0 \}, \ \ 1 < р <+ \ infty,}$

${\ displaystyle [x, y]: = \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j} \ operatorname {sgn} ({\ overline {y_ {j}}}), \ quad x, y \ в \ mathbb {C} ^ {n}, \ \ p = 1,}$

куда

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (t): = \ left \ {{\ begin {array} {ll} {\ frac {t} {| t |}}, & t \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}, \\ 0, & t = 0. \ End {array}} \ right.}$

• В общем, пространство из -интегрируемых функций на пространстве с мерой , где , с нормой${\ Displaystyle L ^ {p} (\ Omega, d \ mu)}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \ mu)}$${\ Displaystyle 1 \ Leq p <+ \ infty}$

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {p}: = \ left (\ int _ {\ Omega} | f (t) | ^ {p} d \ mu (t) \ right) ^ {1 / p}}$

обладает последовательным полу-внутренним продуктом:

${\ displaystyle [f, g]: = {\ frac {\ int _ {\ Omega} f (t) {\ overline {g (t)}} | g (t) | ^ {p-2} d \ mu (t)} {\ | g \ | _ {p} ^ {p-2}}}, \ \ f, g \ in L ^ {p} (\ Omega, d \ mu) \ setminus \ {0 \} , \ \ 1 <p <+ \ infty,}$

${\ displaystyle [f, g]: = \ int _ {\ Omega} f (t) \ operatorname {sgn} ({\ overline {g (t)}}) d \ mu (t), \ \ f, g \ in L ^ {1} (\ Omega, d \ mu).}$

Приложения

1. Следуя идее Люмера, полускалярные произведения широко применялись для изучения ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах.
2. В 2007 году Дер и Ли применили полу-внутренние продукты для разработки классификации большой маржи в банаховых пространствах.
3. В последнее время полу-внутренние продукты использовались в качестве основного инструмента при разработке концепции воспроизведения банаховых пространств ядра для машинного обучения.
4. Полускалярные произведения также могут быть использованы для установления теории реперов, базисов Рисса для банаховых пространств.

использованная литература