Закон нуля или единицы Колмогорова - Kolmogorov's zero–one law

В теории вероятностей , нулевой один закон Колмогорова , названный в честь Андрея Николаевича Колмогорова , указывает , что определенный тип события , называется хвостом событие , либо почти наверняка произойдет или почти наверняка не произойдет; то есть вероятность возникновения такого события равна нулю или единице.

Завершающие события определяются в терминах бесконечных последовательностей из случайных величин . Предположим

{\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ точки}

представляет собой бесконечную последовательность независимых случайных величин (не обязательно одинаково распределенных). Позвольте быть σ-алгеброй, порожденной . Тогда хвостовое событие - это событие, которое вероятностно не зависит от каждого конечного подмножества этих случайных величин. (Примечание: принадлежность к подразумевает, что принадлежность к однозначно определяется значениями, но последнее условие строго слабее и недостаточно для доказательства закона нуля или единицы.) Например, событие, при котором последовательность сходится, и событие что его сумма сходится, оба являются хвостовыми событиями. В бесконечной последовательности подбрасываний монеты последовательность из 100 последовательных голов, повторяющихся бесконечно много раз, является событием хвоста. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ Displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$

Хвостовые события - это именно те события, возникновение которых все еще можно определить, если удалить произвольно большой, но конечный начальный сегмент . ${\ displaystyle X_ {i}}$

Во многих ситуациях можно легко применить закон нуля или единицы Колмогорова, чтобы показать, что какое-то событие имеет вероятность 0 или 1, но на удивление сложно определить, какое из этих двух крайних значений является правильным.

Формулировка

Более общая формулировка закона нуля или единицы Колмогорова верна для последовательностей независимых σ-алгебр. Пусть (Ω, F , P ) быть вероятностное пространство , и пусть F _п будет последовательность взаимно независимых а-алгебр , содержащихся в F . Позволять

{\ displaystyle G_ {n} = \ sigma {\ bigg (} \ bigcup _ {k = n} ^ {\ infty} F_ {k} {\ bigg)}}

наименьшая σ-алгебра, содержащая F _n , F _{n +1} ,…. Тогда закон нуля или единицы Колмогорова утверждает, что для любого события

{\ displaystyle F \ in \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} G_ {n}}

либо P ( F ) = 0, либо 1.

Формулировка закона в терминах случайных величин получается из последнего, если каждый F _n считать σ-алгеброй, порожденной случайной величиной X _n . Тогда по определению хвостовое событие является событием, которое измеримо относительно σ-алгебры, порожденной всеми X _n , но которое не зависит от любого конечного числа X _n . То есть хвостовое событие - это как раз элемент пересечения . ${\ displaystyle \ textstyle {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} G_ {n}}}$

Примеры

Обратимое сохраняющее меру преобразование на стандартном вероятностном пространстве , подчиняющийся закону 0-1 называется автоморфизмом Колмогорова . Все автоморфизмы Бернулли являются автоморфизмами Колмогорова, но не наоборот .

Смотрите также

Ссылки

Строок, Дэниел (1999). Теория вероятностей: аналитический взгляд (пересмотренная ред.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-66349-6..
Бжезняк, Здзислав; Заставняк, Thomasz (2000). Основные случайные процессы . Springer . ISBN 3-540-76175-6.
Розенталь, Джеффри С. (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей . Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО п. 37 . ISBN 978-981-270-371-2.

внешние ссылки

Наследие Андрея Николаевича Колмогорова Биографическая справка и биография. Колмогоровское училище. Кандидат наук. ученики и потомки А. Н. Колмогорова. А. Н. Колмогорова труды, книги, статьи, статьи. Фотографии и портреты А. Н. Колмогорова.

Languages

In other projects