Треугольник Кеплера -Kepler triangle

Треугольник Кеплера — это особый прямоугольный треугольник , длины ребер которого находятся в геометрической прогрессии . Соотношение прогрессии это где золотое сечение , а прогрессию можно записать: , или приблизительно . Квадраты на ребрах этого треугольника имеют площади в другой геометрической прогрессии, . Альтернативные определения того же треугольника характеризуют его с точки зрения трех пифагорейских средних двух чисел или через внутренний радиус равнобедренных треугольников . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi}}}$${\ Displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$${\ Displaystyle 1: {\ sqrt {\ varphi}}: \ varphi}$${\ Displaystyle 1: 1,272: 1,618}$${\ Displaystyle 1: \ varphi: \ varphi ^ {2}}$

Этот треугольник назван в честь Иоганна Кеплера , но его можно найти в более ранних источниках. Хотя некоторые источники утверждают, что древние египетские пирамиды имели пропорции, основанные на треугольнике Кеплера, большинство ученых считают, что золотое сечение не было известно египетской математике и архитектуре.

История

Треугольник Кеплера назван в честь немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571–1630), написавшего об этой форме в письме 1597 года. Две концепции, которые можно использовать для анализа этого треугольника, теорема Пифагора и золотое сечение, интересовали Кеплера, как он писал в другом месте:

У геометрии есть два великих сокровища: одно — теорема Пифагора, другое — деление прямой на крайнее и среднее отношение. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе — с драгоценным камнем.

Однако Кеплер не был первым, кто описал этот треугольник. Сам Кеплер приписывал это «профессору музыки по имени Магирус». Тот же треугольник появляется ранее в книге по арабской математике , Liber mensurationum Абу Бекра, известной из перевода 12-го века Герардом Кремонским на латынь, и в Practica geometriae  [ it ] Фибоначчи (опубликовано в 1220–1221) , который определил его аналогично Кеплеру. Немного раньше Кеплера об этом писал Педро Нуньес в 1567 году, и «вероятно, он был широко распространен в рукописных традициях позднего средневековья и эпохи Возрождения». Он также был открыт несколько раз независимо, позже, чем Кеплер.

По мнению некоторых авторов, золотая пирамида с удвоенным треугольником Кеплера в поперечном сечении точно описывает конструкцию египетских пирамид, таких как Великая пирамида в Гизе ; Одним из источников этой теории является неправильное прочтение Геродота в 19 веке пирамидологом Джоном Тейлором. Для той же пирамиды было предложено множество других теорий пропорций, не связанных с треугольником Кеплера. Поскольку эти разные теории очень похожи в числовых значениях, которые они получают, и из-за неточностей в измерениях, частично вызванных разрушением внешней поверхности пирамиды, такие теории трудно разрешить, основываясь только на физических доказательствах. Совпадение пропорций с треугольником Кеплера вполне может быть числовым совпадением: по мнению ученых, исследовавших эту взаимосвязь, древние египтяне, скорее всего, не знали о золотом сечении и не использовали его в своей математике или архитектуре. Вместо этого пропорции пирамиды можно адекватно объяснить, используя целочисленные соотношения, основанные на прямоугольном треугольнике со сторонами 11 и 14.

Название «треугольник Кеплера» для этой формы использовал Роджер Герц-Фишлер на основе письма Кеплера 1597 года еще в 1979 году. Другое название того же треугольника использовал Матила Гика в своей книге 1946 года о золотом сечении «Геометрия ». Искусства и Жизни , это «треугольник Прайса», по имени пирамидолога В. А. Прайса.

Определения

Треугольник Кеплера однозначно определяется свойствами прямоугольного треугольника и того, что длины его сторон находятся в геометрической прогрессии или, что эквивалентно, квадраты на его сторонах находятся в геометрической прогрессии. Отношение прогрессии длин сторон равно , где золотое сечение , а прогрессию можно записать: , или приблизительно 1 : 1,272 : 1,618. Квадраты на ребрах этого треугольника имеют площади в другой геометрической прогрессии, . Тот факт, что треугольник с этими пропорциями является прямоугольным, следует из того факта, что для квадратов длин ребер с этими пропорциями определяющий многочлен золотого сечения совпадает с формулой, данной теоремой Пифагора для квадратов длин ребер прямоугольный треугольник: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi}}}$${\ Displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$${\ Displaystyle 1: {\ sqrt {\ varphi}}: \ varphi}$${\ Displaystyle 1: \ varphi: \ varphi ^ {2}}$

Поскольку это уравнение верно для золотого сечения, эти три длины подчиняются теореме Пифагора и образуют прямоугольный треугольник. И наоборот, в любом прямоугольном треугольнике, квадраты длин ребер которого находятся в геометрической прогрессии с любым отношением , теорема Пифагора подразумевает, что это отношение подчиняется тождеству . Следовательно, отношение должно быть единственным положительным решением этого уравнения, золотым сечением, а треугольник должен быть треугольником Кеплера. ${\ Displaystyle \ ро}$${\ Displaystyle \ ро ^ {2} = \ ро +1}$

Длины трех ребер и представляют собой среднее гармоническое , среднее геометрическое и среднее арифметическое двух чисел соответственно . Все эти три способа соединения двух чисел изучались в древнегреческой математике и называются пифагорейскими средствами . И наоборот, это можно принять как альтернативное определение треугольника Кеплера: это прямоугольный треугольник, длины ребер которого равны трем пифагорейским средним некоторых двух чисел. Единственными треугольниками, для которых это верно, являются треугольники Кеплера. ${\ Displaystyle 1}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ varphi}}}$${\ Displaystyle \ варфи}$${\ Displaystyle \ varphi \ pm 1}$

Третий эквивалентный способ определения этого треугольника исходит из задачи максимизации внутреннего радиуса равнобедренных треугольников . Среди всех равнобедренных треугольников с фиксированным выбором длины двух равных сторон, но с переменной длиной основания, тот, у которого самый большой внутренний радиус, образован из двух копий треугольника Кеплера, отраженных друг от друга через кратчайшее ребро. Следовательно, треугольник Кеплера можно определить как прямоугольный треугольник, который среди всех прямоугольных треугольников с одной и той же гипотенузой образует своим отражением равнобедренный треугольник с максимальным внутренним радиусом. Когда треугольник Кеплера отражается от более длинной из двух перпендикулярных сторон, он вместо этого образует равнобедренный треугольник, который для данного периметра содержит максимально возможную полуокружность .

Характеристики

Если короткая сторона треугольника Кеплера имеет длину , то и другие стороны будут иметь длины и . Площадь можно рассчитать по стандартной формуле площади прямоугольного треугольника (половина произведения двух коротких сторон) как . Косинусом большего из двух непрямых углов является отношение прилежащей стороны (более короткой из двух сторон) к гипотенузе, откуда следует, что два непрямых угла равны ${\ Displaystyle с}$${\ displaystyle s {\ sqrt {\ varphi}}}$${\ Displaystyle с \ varphi}$${\ displaystyle {\ tfrac {s ^ {2}} {2}} {\ sqrt {\ varphi}}}$${\ Displaystyle \ варфи}$

а также

Ежи Коцик заметил, что больший из этих двух углов также является углом, образованным центрами троек последовательных окружностей в локсодромной последовательности касательных окружностей Коксетера .

Смотрите также

• Автомедианный треугольник , треугольник, квадраты длин сторон которого образуют арифметическую прогрессию, включая прямоугольный треугольник с длинами сторон.${\ displaystyle 1: {\ sqrt {2}}: {\ sqrt {3}}}$
• Золотой треугольник , равнобедренный треугольник, у которого отношение длины основания к длине стороны является золотым сечением.

использованная литература