Интерпретация (теория моделей) - Interpretation (model theory)

В теории моделей , интерпретация из структуры М в другой структуру N (обычно другой подпись ) представляет собой техническое понятие , что приближает идею представления M внутри N . Например , каждый редукт или определительное расширение структуры N имеет интерпретацию в N .

Многие теоретико-модельные свойства сохраняются при интерпретируемости. Например , если теория N является стабильной и М является интерпретируемым в N , то теория М также является стабильной.

Определение

Интерпретация из M в N с параметрами (или без параметров , соответственно) представляет собой пару , где п представляет собой натуральное число , и это сюръективны отображение из подмножества N п на М такое , что -preimage (точнее -preimage) из любое множество X  ⊆  M k, определимое в M формулой первого порядка без параметров, определимо (в N ) формулой первого порядка с параметрами (или без параметров, соответственно). Поскольку значение n для интерпретации часто ясно из контекста, сама карта также называется интерпретацией.

Чтобы убедиться, что прообраз каждого определяемого (без параметров) множества в M определим в N (с параметрами или без них), достаточно проверить прообразы следующих определимых множеств:

  • область M ;
  • диагонали из M 2 ;
  • каждое отношение в подписи M ;
  • график каждой функции в сигнатуре M .

В теории моделей термин « определяемый» часто относится к определимости с параметрами; если используется это соглашение, определяемость без параметров выражается термином 0-определяемый . Точно так же интерпретация с параметрами может называться просто интерпретацией, а интерпретация без параметров - 0-интерпретацией .

Двусторонняя интерпретируемость

Если L, M и N - три структуры, L интерпретируется в M, а M интерпретируется в N, тогда можно естественным образом построить составную интерпретацию L в N. Если две структуры M и N интерпретируются друг в друге, то Комбинируя интерпретации двумя возможными способами, можно получить интерпретацию каждой из двух структур как таковой. Это наблюдение позволяет определить отношение эквивалентности между структурами, напоминающее гомотопическую эквивалентность топологических пространств.

Две структуры M и N являются биинтерпретируемыми, если существует интерпретация M в N и интерпретация N в M такая, что составные интерпретации M в себе и N в себе могут быть определены в M и в N , соответственно ( составные интерпретации рассматриваются как операции над M и над N ).

Пример

Частичное отображение f из Z  ×  Z на Q, которое отображает ( x ,  y ) в x / y, если y ≠ 0, дает интерпретацию поля Q рациональных чисел в кольце Z целых чисел (точнее, интерпретация такова: 2,  е )). Фактически, именно эта интерпретация часто используется для определения рациональных чисел. Чтобы увидеть, что это интерпретация (без параметров), нужно проверить следующие прообразы определимых множеств в Q :

  • прообраз Q определяется формулой φ ( x ,  y ), задаваемой ¬ ( y  = 0);
  • прообраз диагонали Q определяется формулой φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ), заданной как x 1 × y 2 = x 2 × y 1 ;
  • прообразы 0 и 1 определяются формулами φ ( x ,  y ), задаваемыми x  = 0 и x  =  y ;
  • прообраз графика сложения определяется формулой φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ), заданной как x 1 × y 2 × y 3 + x 2 × y 1 × y 3 = х 3 × y 1 × y 2 ;
  • прообраз графика умножения определяется формулой φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ), заданной как x 1 × x 2 × y 3 = x 3 × y 1 × y 2 .

Рекомендации

  • Альбрандт, Гизела; Циглер, Martin (1986), "Квази конечно аксиоматизируемая Totally категорична теория", Annals чистых и прикладная логика , 30 : 63-82, DOI : 10.1016 / 0168-0072 (86) 90037-0
  • Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-58713-6 (Раздел 4.3)
  • Poizat, Bruno (2000), курс теории моделей , Springer , ISBN 978-0-387-98655-5 (Раздел 9.4)