Гиперкэлерово многообразие - Hyperkähler manifold

В дифференциальной геометрии , A гиперкэлеровое многообразия является риманов многообразие размерности и группы голономии содержится в $Sp ($ $K$ $)$ (здесь $Sp ($ $K$ $)$ обозначает компактная форма симплектической группы , которые были определен с группой кватернионно-линейных унитарных эндоморфизмов - мерное кватернионное эрмитово пространство). Гиперкэлеровы многообразия - это специальные классы кэлеровых многообразий . Их можно рассматривать как кватернионные аналоги кэлеровых многообразий. Все гиперкэлеровы многообразия являются Риччи-плоским , и, таким образом , Калаби-Яу многообразия (это можно легко увидеть, заметив , что $Sp ($ $к$ $)$ является подгруппой из специальной унитарной группы $SU (2$ $к$ $)$ ). ${\ displaystyle 4k}$ ${\ displaystyle k}$

Гиперкэлеровы многообразия были определены Эухенио Калаби в 1978 году.

Кватернионная структура

Каждое гиперкэлерово многообразие $M$ имеет 2-сферу комплексных структур (т. Е. Интегрируемых почти комплексных структур ), по отношению к которой метрика кэлерова.

В частности, это гиперкомплексное многообразие , что означает наличие трех различных комплексных структур, $I$ , $J$ и $K$ , которые удовлетворяют кватернионным отношениям

{\ Displaystyle I ^ {2} = J ^ {2} = K ^ {2} = IJK = -1. \,}

Любая линейная комбинация

{\ displaystyle aI + bJ + cK \,}

с действительными числами такими, что ${\ displaystyle a, b, c}$

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 1 \,}

также комплексная структура на $М$ . В частности, касательное пространство $Т х М$ является кватернионно векторное пространство , для каждой точки $х$ из $М$ . $Sp (к)$ можно рассматривать как группу ортогональных преобразований , линейные по отношению к $I$ , $J$ и $K$ . Отсюда следует, что голономия многообразия содержится в $Sp ($ $k$ $)$ . Наоборот, если группа голономии риманова многообразия $M$ содержится в $Sp ($ $k$ $)$ , выберите комплексные структуры $I$ $x$ , $J$ $x$ и $K$ $x$ на $T$ $x$ $M,$ которые превращают $T$ $x$ $M$ в кватернионное векторное пространство. Параллельный перенос этих сложных структур дает требуемую кватернионную структуру на $М$ . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4k} = \ mathbb {H} ^ {k}}$

Голоморфная симплектическая форма

Гиперкэлерово многообразие $(M, I, J, K)$ , рассматриваемое как комплексное многообразие $(M, I)$ , голоморфно симплектическое (снабженное голоморфной невырожденной 2-формой). Обратное также верно в случае компактных многообразий в связи с доказательством Шинг-Тунг Яу гипотезы Калаби : данное компактное кэлерово голоморфно симплектическое многообразие $(M, I)$ всегда снабжено совместимой гиперкэлеровой метрикой . Такая метрика единственна в данном кэлеровом классе. Компактные гиперкэлеровы многообразия широко изучаются с использованием методов алгебраической геометрии , иногда под названием голоморфно симплектических многообразий . Группа голономии любой метрики Калаби – Яу на односвязном компактном голоморфно симплектическом многообразии с в точности $Sp ($ $k$ $)$ ; а если односвязное многообразие Калаби – Яу имеет , то это просто риманово произведение гиперкэлеровых многообразий меньшей размерности. Этот факт непосредственно следует из формулы Бохнера для голоморфных форм на кэлеровом многообразии и классификации Бергера групп голономии; по иронии судьбы, это часто приписывают Богомолову, который в той же статье ошибочно утверждал, что компактных гиперкэлеровых многообразий на самом деле не существует! ${\ Displaystyle Н ^ {2,0} (М) = 1}$ ${\ Displaystyle Н ^ {2,0} (М) \ geq 2}$

Примеры

Благодаря классификации комплексных поверхностей Кунихико Кодаира мы знаем, что любое компактное гиперкэлерово 4-многообразие является либо поверхностью K3, либо компактным тором . (Каждое многообразие Калаби – Яу в 4-х (вещественных) измерениях является гиперкэлеровым многообразием, поскольку $SU (2)$ изоморфно $Sp (1)$ .) ${\ displaystyle T ^ {4}}$

Как было обнаружено Бовилем, схема Гильберта из $k$ точек на компактном гиперкэлеровом 4-многообразии является гиперкэлеровым многообразием размерности $4k$ . Это приводит к двум сериям компактных примеров: схемам Гильберта точек на K3-поверхности и обобщенным многообразиям Куммера .

Некомпактные полные гиперкэлеровы 4-многообразия, асимптотические для $H / G$ , где $H$ обозначает кватернионы, а $G$ - конечная подгруппа в $Sp (1)$ , известны как асимптотически локально евклидовы или ALE-пространства. Эти пространства и различные обобщения, включающие различные асимптотики, изучаются в физике под названием гравитационные инстантоны . В Gibbons-Хокинг Анзац дает примеры инвариантным под действием окружности.

Многие примеры некомпактных гиперкэлеровых многообразия возникают как пространств модулей решений некоторых уравнений калибровочной теории , которые вытекают из размерной редукции анти-я дуал уравнений Янга-Миллса : инстантонные пространств модулей, монопольные модулей пространства, пространства решений Найджел Хитчин «с уравнения автодуальности на римановых поверхностях , пространство решений уравнений Нама . Другой класс примеров - разновидности колчана Накадзима , которые имеют большое значение в теории представлений.

Когомологии

Курносов, Солдатенков и Вербицкий (2019) показывают, что когомологии любого компактного гиперкэлерового многообразия вкладываются в когомологии тора таким образом, что сохраняется структура Ходжа .

Смотрите также

Внешние ссылки

Дунайски, Мацей; Мейсон, Лайонел Дж. (2000), «Гиперкелеровы иерархии и их твисторная теория», Коммуникации в математической физике , 213 (3): 641–672, arXiv : math / 0001008 , Bibcode : 2000CMaPh.213..641D , doi : 10.1007 / PL00005532 , Руководство по эксплуатации 1785432 , S2CID 17884816
Киран Г. О'Грейди, (2011) « Многомерные аналоги поверхностей K3 ». MR2931873
Хитчин, Найджел (1991–1992), "Гиперкэлеровы многообразия" , Семинар Н. Бурбаки , 34 (Обсуждение № 748): 137–166, MR 1206066
Курносов, Никон; Солдатенков Андрей; Вербицкий Миша (2019), "строительство Kuga-Сатаке и когомология гиперкэлеровых многообразий", Успехи математических наук , 351 : 275-295, Arxiv : 1703,07477 , DOI : 10.1016 / j.aim.2019.04.060 , MR 3952121 , S2CID 119124485

Languages

In other projects